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1、0X=amnyx0X=amnyxy0X=amnx0X=amnyx0X=amnyx 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。间的相对位置关系的讨论。 一般分为：一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设设 ,求求 在在 上的最大值与最小值。上的最大值与最小值。分析：将分析：将 配方，得顶点为配方，得顶点为 、对称轴为、对称轴为 当当 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得（1）当）当 时，时， 的最小值是的最小值
2、是 的最大的最大值是值是 中的较大者。中的较大者。在在m，n上的最值：上的最值：（2）当当 时时若若 ，由，由 在在 上是增函数则的最小值是上是增函数则的最小值是 ，最大值是最大值是 。 若若 ，由，由 在在 上是减函数则上是减函数则 的最小值是的最小值是 ，最大值是最大值是 。 1.轴定区间定轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值定二次函数在定区间上的最值”。例例1. 函数函数 在区间在区间0，3上的最大值上的最大值_，最，最小值是小值是_。讨论：（1）若对称轴）若对
3、称轴x=1在区间在区间t,t+1左侧时，有左侧时，有1t,如图如图2-1所示所示：例2已知函数已知函数f(x)=x2-2x+2,xt,t+1上，求它的最值上，求它的最值?解：1)最小值最小值 f(x)=x2-2x+2=（x-1)2+1其对称轴为其对称轴为x=1,顶点坐标为顶点坐标为(1,1),开口向上的抛物线开口向上的抛物线.当x=t时，f(x)min=f(t)=(t-1)2+12.轴定区间动轴定区间动xtt+12-1Oyx=11（2）若对称轴x=1在区间t,t+1上时，有t1t+1，即0t1 。如图3-1所示：tt+1Oxyx=13-1当x=1时，函数取得最小值，即f(x)=f(1)=1（3
4、）若对称轴x=1在区间t,t+1右侧时，有t+11，即t0,如图4-1所示：2）最大值）最大值Oxx=1tt+1y14-1当x=t+1时，函数取得最小值, 即f(x)min=f(t+1)=t2+1。（2）若若 t+11，如图，如图5-1所示所示:Oxyx=1tt+11Oxyx=1t t+115-15-2当当x=t+1 时，函数取得最大值，时，函数取得最大值，即即f(x)max=f(t+1)=t2+1。当当x=t 时，函数取得最大值，即时，函数取得最大值，即f(x)max=f(t)=(t-1)2+1.（2）若若 1/2 t1时时 ，如图，如图 0t1/2时，如图时，如图所示所示:当当x=t+1
5、时，函数取得最大值，时，函数取得最大值，即即f(x)max=f(t+1)=t2+1。当当x=t 时，函数取得最大值，时，函数取得最大值，即即f(x)max=f(t)=(t-1)2+1.3）若若对称轴对称轴x=1在区间在区间t, t+1上时，有上时，有t1t+1，即，即0t1 。tt+1Oxytt+1Oxy综上所述：综上所述：例例3：求函数：求函数f(x)=x2-2ax+1在区间在区间-1,2上的最值上的最值?解解: f(x)=x2-2ax+1=(x-a)2+1-a2 其对称轴为其对称轴为x=a,顶点坐标为顶点坐标为(a,1-a2),开口向上开口向上.1)最小值最小值(1)若对称轴若对称轴x=a
6、在区间在区间-1,2的左侧的左侧,即即a2时，如图时，如图7-2所示所示:当x=2时，函数取得最小值，即时，函数取得最小值，即f(x)min=f(2)=5-4aoyx-12X=a8-1oxy-12X=a8-22)最大值最大值(1)当当 时，如图时，如图8-1所示所示:当当x=2 时，函数取得最大值时，函数取得最大值,即即f(x)max=f(2)=5-4a(2)当当 时，如图时，如图8-2所示所示:当当 x=-1 时，函数取得最大值时，函数取得最大值,即即f(x)max=f(-1)=2+2a综上所述：综上所述：思考：二次函数的图象开口思考：二次函数的图象开口向下，此时又怎样解决？向下，此时又怎样解决？
