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1、 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论内容提要内容提要2-0.回顾回顾2-1.理想气体内能理想气体内能2-2.麦克斯韦速率分布，三种速率麦克斯韦速率分布，三种速率2-3.玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布*2-4.分子平均自由程和碰撞频率分子平均自由程和碰撞频率*第二讲第二讲 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论平衡态理想气体平衡态理想气体:2-0 回顾回顾统计假设统计假设:理想气体模型理想气体模型能均分定理能均分定理: 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论 2-1 理想气体的内能理想气体的内能=分子平均动能分子平均动能 +理
2、想气体：分子与分子间的势能为理想气体：分子与分子间的势能为 0。常温状态，分子可视为刚性，分子内原子与常温状态，分子可视为刚性，分子内原子与原子间的势能也可不计。原子间的势能也可不计。气体分子的平均能量为气体分子的平均能量为分子与分子间的势能分子与分子间的势能+分子中原子与原子间的势能分子中原子与原子间的势能1.气体分子的平均能量气体分子的平均能量 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论 2、理想气体的内能、理想气体的内能1）每个分子的平均能量为个分子的平均能量为:2）1 mol气体分子的内能气体分子的内能:3）m克气体的克气体的内内能能内能：热力学系统的全部微观粒子具
3、有能量总和内能：热力学系统的全部微观粒子具有能量总和对理想气体内能，不计分子间势能，内能仅是对理想气体内能，不计分子间势能，内能仅是温度的单值函数，与气体的压强、体积无关。温度的单值函数，与气体的压强、体积无关。 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论例例 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论认识麦克斯韦认识麦克斯韦2-2. 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理
4、论1.1.统计规律和方法统计规律和方法统计规律和方法统计规律和方法伽尔顿板实验伽尔顿板实验伽尔顿板实验伽尔顿板实验小钉小钉等宽等宽等宽等宽狭槽狭槽狭槽狭槽小球落在哪个槽是偶小球落在哪个槽是偶小球落在哪个槽是偶小球落在哪个槽是偶然事件然事件然事件然事件大量小球一个一个投入或一大量小球一个一个投入或一大量小球一个一个投入或一大量小球一个一个投入或一次投入，分布情况大致相同次投入，分布情况大致相同次投入，分布情况大致相同次投入，分布情况大致相同 统计规律：统计规律：当小球数当小球数 N 足够大时小球的分布具有统足够大时小球的分布具有统 计规律计规律. 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第
5、五章气体动理论设设 为第为第 格中的粒子数格中的粒子数 .归一化条件：归一化条件： 粒子总数粒子总数1）统计描述）统计描述-概率概率2 2）统计平均值）统计平均值）统计平均值）统计平均值FF测量物理量测量物理量测量物理量测量物理量MM: : MM1 1、MM2 2、MMn n 出现次数分别为出现次数分别为出现次数分别为出现次数分别为N N1 1、N N2 2、N Nn n 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论 -统计平均值统计平均值统计平均值统计平均值FFN N足够大：平均值足够大：平均值足够大：平均值足够大：平均值 真实值真实值真实值真实值3）涨落：统计规律总伴随有
6、涨落）涨落：统计规律总伴随有涨落N越大，涨落越小；越大，涨落越小；N越小，涨落越大。越小，涨落越大。热学系统，热学系统，N足够大，涨落很小。足够大，涨落很小。 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论2、速率分布函数：、速率分布函数：1）将速率从将速率从 分割成很多相等的速率区间。分割成很多相等的速率区间。2）总分子数为总分子数为N，概率：概率：3）概率密度：单位速）概率密度：单位速度区间内的概率度区间内的概率分布函数分布函数直方图直方图 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论分布函数分布函数 归一归一化条件化条件 表示在温度为表示在温度为 的平衡
7、的平衡状态下，速率在状态下，速率在 附近附近单位单位速率区间速率区间 的分子数占总数的的分子数占总数的百分比百分比 .物理意义物理意义 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论麦氏麦氏分布函数分布函数3 麦克斯韦气体速率分布定律麦克斯韦气体速率分布定律(1859)1859) 反映理想气体在热动平衡条件反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分子数占总分下，各速率区间分子数占总分子数的百分比的规律子数的百分比的规律 . 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论实验装置实验装置4.测定气体分子速率分布的实验测定气体分子速率分布的实验金属蒸汽金属蒸汽显显示
8、示屏屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论5 三种统计速率三种统计速率1) 最概然速率最概然速率 气体在一定温度下分布在最概然气体在一定温度下分布在最概然速率速率 附近单位速率间隔内的相对附近单位速率间隔内的相对分子数最多分子数最多 .物理意义物理意义 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论2) 平均速率平均速率 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论3) 方均根速率方均根速率 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论计算一个与速率有关的物理量计算一个与速率有关的物理量 g
9、(v) 的统计平均的统计平均值的公式：值的公式：讨论讨论 1）统计量的平均值）统计量的平均值 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论2）三种速率比较）三种速率比较 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论 同一温度下不同同一温度下不同气体的速率分布气体的速率分布 N2 分子在不同温分子在不同温度下的速率分布度下的速率分布讨论：速率分布与温度和分子质量的关系讨论：速率分布与温度和分子质量的关系 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论麦克斯韦速率分布中最概然速率麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念的概念 下面哪种表述正确？下面哪
10、种表述正确？（A A） 是气体分子中大部分分子所具有的速率是气体分子中大部分分子所具有的速率. .（B B） 是速率最大的速度值是速率最大的速度值. .（C C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值. .（D D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大率最大. . 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论6. 6. 举例举例例例1. 试计算，气体分子热运动其速率介于试计算，气体分子热运动其速率介于和和 之间的分子数占总分子数的百分比。之间的分子数占总分子数的百分比。解：解：在在 范围内的分子数占总分
11、子数的比率为：范围内的分子数占总分子数的比率为：代入上式得：代入上式得： 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论 例例2 如图示两条如图示两条 曲线分别表示氢气和曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .2000 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论例例3 假想的气体分子，其速率分布如图所示。假想的气体分子，其速率分布如图所示。当当v5v0时分子数为零。试求时分子数为零。试求1）根据）根据N和和v0，表示常数表示
12、常数a的值；的值；2）速率在）速率在2v0到到3v0间隔间隔内的分子数；内的分子数；3）分子的平均速率。）分子的平均速率。解：解：1）根据速率分）根据速率分布曲线，速率分布可布曲线，速率分布可表示为表示为 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论由归一化条件，有由归一化条件，有 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论解得：解得：2）速率分布在）速率分布在2v03v0间隔间隔内的分子数内的分子数 N 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论3）分子的平均速率为：）分子的平均速率为： 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论
13、第五章气体动理论2-3 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布*设平衡气体的压强随高度变化设平衡气体的压强随高度变化的函数关系为的函数关系为P=P(z),则有：则有：1、等温气压公式等温气压公式Z=0Z=0（地面），令该处的地面），令该处的n=n0 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论等温气压公式等温气压公式 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论2、玻耳兹曼密度分布律、玻耳兹曼密度分布律例：回转体中粒子的径向分布：例：回转体中粒子的径向分布：重力势重力势能能推广推广离心分离机离心分离机 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论例：台风
14、眼：台风中心例：台风眼：台风中心 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论 自由程自由程 ： 分子两次相邻碰撞之间自由通过的分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程路程 .2-4 分子平均自由程和碰撞频率分子平均自由程和碰撞频率 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论 分子分子平均碰撞次数平均碰撞次数：单位时间内一个分子和其：单位时间内一个分子和其它分子碰撞的平均次数它分子碰撞的平均次数 . 分子分子平均自由程平均自由程：每两次连续碰撞之间，一个：每两次连续碰撞之间，一个分子自由运动的平均路程分子自由运动的平均路程 .简化模型简化模型 1 . 分子为刚性
15、小球分子为刚性小球 , 2 . 分子有效直径为分子有效直径为 （分子间距平均值），分子间距平均值）， 3 . 其它分子皆静止其它分子皆静止, 某一分子以平均速率某一分子以平均速率 相相对其他分子运动对其他分子运动 . 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论单位时间内平均碰撞次数单位时间内平均碰撞次数考虑其他分子的运动考虑其他分子的运动 分子平均碰撞次数分子平均碰撞次数 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论 分子平均碰撞次数分子平均碰撞次数 平均自由程平均自由程 一定时一定时 一定时一定时 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论解解 例例 试估计下列两种情况下空气分子的平均自由试估计下列两种情况下空气分子的平均自由程程 :（1）273 K、1.013 时时 ; ( 2 ) 273 K 、1.333 时时. （空气分子有效直径（空气分子有效直径 ： ） 第三讲第三讲 分布规律分布规律第五章气体动理论第五章气体动理论作业：作业：3-4, 3-9，3-10, 3-12, 3-13
