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1、定积分及其应用定积分及其应用基本内容基本内容目录 下页 返回 结束 例题选讲例题选讲习题课习题课1一、基本内容一、基本内容首页 上页 下页 返回 结束 2首页 上页 下页 返回 结束 3首页 上页 下页 返回 结束 4首页 上页 下页 返回 结束 5首页 上页 下页 返回 结束 6首页 上页 下页 返回 结束 7首页 上页 下页 返回 结束 10 首先画出平面图形的大概图形，然后根据图形首先画出平面图形的大概图形，然后根据图形的特点，选择相应的积分变量，确定积分区域写出的特点，选择相应的积分变量，确定积分区域写出图形面积的积分表达式图形面积的积分表达式.7.平面图形的面积平面图形的面积首页 上
2、页 下页 返回 结束 xyo118. 旋转体的体积旋转体的体积首页 上页 下页 返回 结束 129. 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积如果曲线弧的参数方程为如果曲线弧的参数方程为10. 平面曲线的弧长平面曲线的弧长则曲线弧长为则曲线弧长为首页 上页 下页 返回 结束 13 物体在变力物体在变力F(x)的作用下的作用下, 从从x轴上轴上a点移动到点移动到 b点点, 所做的功为所做的功为11. 变力作功变力作功12. 水压力水压力 对液体深度作微元对液体深度作微元,求得压强求得压强,然后对深度积分然后对深度积分可求得物体所受的水压力可求得物体所受的水压力. 计算一根细棒
3、对一个质点的引力计算一根细棒对一个质点的引力,可将细棒置可将细棒置于坐标轴上建立直角坐标系于坐标轴上建立直角坐标系, 对细棒所处的区间取对细棒所处的区间取微元微元,然后积分然后积分.13. 引力引力首页 上页 下页 返回 结束 14二、基本方法二、基本方法首页 上页 下页 返回 结束 15首页 上页 下页 返回 结束 16首页 上页 下页 返回 结束 7、定积分应用的基本方法、定积分应用的基本方法 :微元分析法微元分析法微元形状微元形状 : 条、条、段、段、 带、带、 片、片、扇、扇、环、环、壳壳 等等.17一、一、 定积分的应用及方法定积分的应用及方法几何方面几何方面 : 面积、面积、体积、
4、体积、 弧长、弧长、 表面积表面积 .物理方面物理方面 : 质量、质量、作功、作功、 侧压力、侧压力、引力、引力、转动惯量转动惯量 .首页 上页 下页 返回 结束 18三、例题选讲三、例题选讲首页 上页 下页 返回 结束 19首页 上页 下页 返回 结束 20驻点驻点首页 上页 下页 返回 结束 21首页 上页 下页 返回 结束 22首页 上页 下页 返回 结束 23首页 上页 下页 返回 结束 24首页 上页 下页 返回 结束 25首页 上页 下页 返回 结束 26首页 上页 下页 返回 结束 27首页 上页 下页 返回 结束 28首页 上页 下页 返回 结束 29首页 上页 下页 返回 结
5、束 30解解令令首页 上页 下页 返回 结束 31首页 上页 返回 结束 32解解 这是三叶玫瑰线，由这是三叶玫瑰线，由 sin3 0，有有由对称性由对称性例例 10 求求 = a sin3 所围图形的面积所围图形的面积.首页 上页 下页 返回 结束 33解解旋转体的体积旋转体的体积首页 上页 下页 返回 结束 (P281-13题题)34解解xyo首页 上页 下页 返回 结束 (参见参见P281-15(3)题题)35首页 上页 下页 返回 结束 36首页 上页 下页 返回 结束 37例例14 求抛物线求抛物线在在(0,1) 内的一条切线内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小使
6、它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解 设抛物线上切点为设抛物线上切点为则该点处的切线方程为则该点处的切线方程为它与它与 x , y 轴的交点分别为轴的交点分别为所围面积所围面积首页 上页 下页 返回 结束 38得得 0 , 1 上的唯一驻点上的唯一驻点且为最小点且为最小点 . 故所求切线为故所求切线为首页 上页 下页 返回 结束 39证证 先求先求上微曲边扇形上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积绕极轴旋转而成的体积体积微元体积微元故故绕极轴旋转而成的体积为绕极轴旋转而成的体积为首页 上页 下页 返回 结束 例例 15 证明曲边扇形证明曲边扇形40解解 (1)由方程得由方程得即即故得故得首页
7、 上页 下页 返回 结束 41(2) 旋转体体积旋转体体积首页 上页 下页 返回 结束 又又又又42(P288-7题题) 解解 以水中球心为坐标原点以水中球心为坐标原点, ,建立坐标系如图建立坐标系如图. . 所求功为将所求功为将- -r, r上的微薄片上的微薄片都上提都上提2r功元素的积分功元素的积分.设在设在x处处厚为厚为dx的小薄片在水中的的小薄片在水中的行程为行程为在水上的行程为在水上的行程为首页 上页 下页 返回 结束 43由题设由题设, 球的比重与水的比重相同球的比重与水的比重相同, 水下薄片所受水下薄片所受浮力与重力的合力为零浮力与重力的合力为零, 薄片在水中上升到水面时薄片在水
8、中上升到水面时不作功不作功.再由水面提升时再由水面提升时,克服重力需作功克服重力需作功:首页 上页 下页 返回 结束 44 例例 18 某建筑工程打地基时某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打需用汽锤将桩打进土层进土层,汽锤每次击打汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而都将克服土层对桩的阻力而作功作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比深度成正比(比例系数为比例系数为k, k0),汽锤第一次击打将汽锤第一次击打将桩打进地下桩打进地下 a 米米,根据设计方案根据设计方案,要求汽锤每次击打要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数数 r (0r1),问问: (1) 汽锤打桩汽锤打桩3次后次后,可将桩打进地下多深可将桩打进地下多深? (2) 若击打次数不限若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下汽锤至多能将桩打进地下多深多深?首页 上页 下页 返回 结束 45首页 上页 下页 返回 结束 46(2) 由归纳法可得由归纳法可得首页 上页 返回 结束 47
