《高中数学人教A版必修一课件：1.3.1 单调性与最大小值 第一课时 函数的单调性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版必修一课件：1.3.1 单调性与最大小值 第一课时 函数的单调性（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.31.3函数的基本性质函数的基本性质1.3.11.3.1单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值第一课时函数的单调性第一课时函数的单调性目标导航目标导航课标要求课标要求1.1.理解增函数和减函数的定义理解增函数和减函数的定义. .2.2.理解函数单调性的含义理解函数单调性的含义, ,掌握利用定义证明函数的单调性的方法掌握利用定义证明函数的单调性的方法. .3.3.能够利用定义或图象求函数的单调区间能够利用定义或图象求函数的单调区间, ,能够利用函数的单调性能够利用函数的单调性解决有关问题解决有关问题. .素养达成素养达成通过本节内容的学习通过本节内容的学习, ,使学生准确理解单调性的本
2、质特点使学生准确理解单调性的本质特点, ,提高学提高学生的逻辑推理能力生的逻辑推理能力. .新知探求新知探求课堂探究课堂探究新知探求新知探求素养养成素养养成【情境导学情境导学】 导入一导入一函数是描述事物运动变化规律的数学模型函数是描述事物运动变化规律的数学模型. .如果了解了函数的变化如果了解了函数的变化规律规律, ,那么也就把握了相应事物的变化规律那么也就把握了相应事物的变化规律. .因此研究函数的性质是非常重因此研究函数的性质是非常重要的要的. .日常生活中日常生活中, ,我们有过这样的体验我们有过这样的体验: :从阶梯教室前向后走从阶梯教室前向后走, ,逐步上升逐步上升, ,从从阶梯教
3、室后向前走阶梯教室后向前走, ,逐步下降逐步下降. .很多函数也具有类似性质很多函数也具有类似性质, ,这就是我们要研究这就是我们要研究的函数的基本性质的函数的基本性质函数的单调性函数的单调性. .导入二导入二画出函数画出函数f(x)=x,f(x)=xf(x)=x,f(x)=x2 2和和f(x)= f(x)= 的图象的图象, ,如图所示如图所示: :从图象上不难看出函数从图象上不难看出函数f(x)=xf(x)=x从左到右是上升的从左到右是上升的; ;函数函数f(x)=xf(x)=x2 2在在y y轴左侧轴左侧, ,从左到右是下降的从左到右是下降的, ,而在而在y y轴右侧轴右侧, ,从左到右是
4、上升的从左到右是上升的; ;函数函数f(x)= f(x)= 在在y y轴左轴左侧侧, ,从左到右是下降的从左到右是下降的, ,而在而在y y轴右侧轴右侧, ,从左到右也是下降的从左到右也是下降的. .想一想想一想 导入二中导入二中f(x)f(x)随随x x增大是如何变化的增大是如何变化的? ?(f(x)=x(f(x)=x中中f(x)f(x)随随x x增大而增大增大而增大,f(x)=x,f(x)=x2 2先随先随x x增大而减小增大而减小, ,再随再随x x增大而增大而增大增大.f(x)= .f(x)= 中中f(x)f(x)在在x(-,0)x(-,0)和和(0,+)(0,+)上都是随上都是随x
5、x增大而减小增大而减小) )知识探究知识探究1.1.增函数与减函数的相关概念增函数与减函数的相关概念2.2.函数的单调性及单调区间函数的单调性及单调区间增函数或减函数增函数或减函数 单调性单调性区间区间D D探究探究1:1:函数单调性定义中的函数单调性定义中的x x1 1,x,x2 2有何限制条件有何限制条件? ?答案答案: :(1)(1)任意性任意性, ,即即x x1 1,x,x2 2是在某一区间上的任意两个值是在某一区间上的任意两个值, ,不能以特殊值代换不能以特殊值代换; ;(2)(2)有大小有大小, ,即确定的两个值即确定的两个值x x1 1,x,x2 2必须区分大小必须区分大小, ,
6、一般令一般令x x1 1xx2 2; ;(3)(3)同属一个单调区间同属一个单调区间. .探究探究2:2:函数的单调区间与函数定义域有何关系函数的单调区间与函数定义域有何关系? ?当一个函数有多个单当一个函数有多个单调区间时调区间时, ,如何写函数的单调区间如何写函数的单调区间. .答案答案: :单调区间必须是函数定义域的子集单调区间必须是函数定义域的子集, ,单调区间之间不能用单调区间之间不能用“”, ,而应而应用用“, ,”将它们隔开或用将它们隔开或用“和和”字连接字连接. .【拓展延伸拓展延伸】判断函数单调性的常用方法判断函数单调性的常用方法(1)(1)定义法定义法: :根据增、减函数的
7、定义分为四步进行根据增、减函数的定义分为四步进行. .取值取值: :任取任取x x1 1,x,x2 2D,D,且且x x1 1x0.0.作差作差( (或商或商) )变形变形:y:y2 2-y-y1 1=f(x=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1)=)=( (或或 = = =) ), ,向有利于判向有利于判断差的符号断差的符号( (或商与或商与1 1的大小的大小) )的方向变形的方向变形. .判断判断: :判断判断y y2 2-y-y1 1( (或或 ) )是否大于是否大于0(0(或大于或大于1),1),当不确定时当不确定时, ,要分类讨论要分类讨论. .下结论下结论: :根据定义得出结论根
8、据定义得出结论. .(2)(2)图图象象法法: :画画出出函函数数的的图图象象, ,根根据据图图象象的的上上升升或或下下降降趋趋势势判判断断函函数数的的单单 调调性性. .(3)(3)直直接接法法: :对对于于我我们们所所熟熟悉悉的的函函数数, ,如如一一次次函函数数、二二次次函函数数、反反比比例例函函数数等等, ,可直接写出它们的单调区间可直接写出它们的单调区间. .(4)(4)利用结论利用结论( (以下结论在所指的两个函数的公共定义域内成立以下结论在所指的两个函数的公共定义域内成立) )增函数增函数+ +常数常数= =增函数增函数, ,减函数减函数+ +常数常数= =减函数减函数, ,增函
9、数增函数+ +增函数增函数= =增函数增函数, ,减函数减函数+ +减函数减函数= =减函数减函数, ,增函数增函数- -减函数减函数= =增函数增函数, ,减函数减函数- -增函数增函数= =减函数减函数. .y=f(x)y=f(x)与与y=cy=cf(x)(cf(x)(c为常数为常数,c0),c0),当当c0c0时单调性相同时单调性相同, ,当当c0c0时单调时单调性相反性相反. .若若f(x)0,f(x)0,则则f(x)f(x)与与 单调性相反单调性相反. .若若f(x)0,f(x)0,则则f(x)f(x)与与 单调性相同单调性相同. .自我检测自我检测1.1.( (单调性的定义单调性的
10、定义) )已知函数已知函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为D,D,在区间在区间M M上单调递增上单调递增, ,则则( ( ) )(A)M=D(A)M=D (B)M D (B)M D (C)M (C)MD D (D)D (D)DM MC C2.2.( (单调性的定义单调性的定义) )(2018(2018昆明高一检测昆明高一检测) )下列函数中下列函数中, ,在区间在区间(0,1)(0,1)上上是增函数的是是增函数的是( ( ) )(A)y=|x|(A)y=|x|(B)y=3-x(B)y=3-x(C)y=(C)y= (D)y=-x (D)y=-x2 2+4+4A A3.3.( (单调性的应用单
11、调性的应用) )若若f(x)=ax+1f(x)=ax+1在在R R上单调递减上单调递减, ,则则a a的取值范围为的取值范围为( ( ) )(A)(0,+)(A)(0,+) (B)(-,0) (B)(-,0)(C)1,+)(C)1,+) (D)(-,1 (D)(-,14.4.( (单调性的应用单调性的应用) )已知已知f(x)f(x)为为R R上的减函数上的减函数, ,则满足则满足f f( (| | |) )f(1)f(1)的实数的实数x x的取值范围是的取值范围是( ( ) )(A)(-1,1) (A)(-1,1) (B)(0,1) (B)(0,1)(C)(-1,0)(0,1)(C)(-1,
12、0)(0,1) (D)(-,-1)(1,+) (D)(-,-1)(1,+)B BC C5.5.( (单调性的应用单调性的应用) )如图所示为函数如图所示为函数y=f(x),x-4,7y=f(x),x-4,7的图象的图象, ,则函数则函数f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是. .答案答案: :-1.5,3,5,6-1.5,3,5,6题型一题型一判断或证明函数的单调性判断或证明函数的单调性课堂探究课堂探究素养提升素养提升(2)(2)求证求证: :函数函数f(x)= f(x)= 在在(1,+)(1,+)上是增函数上是增函数. .变式探究变式探究: :函数函数f(x)= f(x)= 在在(
13、-,0)(-,0)上的单调性如何上的单调性如何? ?怎样证明怎样证明. .方法技巧方法技巧 (1)(1)比较比较f(xf(x1 1) )与与f(xf(x2 2) )的大小常用的方法有的大小常用的方法有“作差作差, ,作商作商”两种两种, ,其中差与其中差与0 0比较大小比较大小, ,而商与而商与1 1比较大小比较大小. .(2)(2)常用的变形技巧有常用的变形技巧有:因式分解因式分解. .当原函数是多项式函数时当原函数是多项式函数时, ,作差后作差后常通过因式分解变形常通过因式分解变形. .通分通分. .当原函数含有分式时当原函数含有分式时, ,作差后往往进行通分作差后往往进行通分, ,然后对
14、分子进行然后对分子进行因式分解因式分解. .配方配方. .作差后可以运用配方判断差的符号作差后可以运用配方判断差的符号. .分子或分母有理化分子或分母有理化. .当函数中含有根式时当函数中含有根式时, ,作差后主要考虑分子或分作差后主要考虑分子或分母有理化母有理化. .即时训练即时训练1 1- -1:1:(2018(2018海南中学高一期中海南中学高一期中) )试用函数单调性的定义证明试用函数单调性的定义证明:f(x)= :f(x)= 在在(1,+)(1,+)上是减函数上是减函数. .【备用例备用例1 1】证明证明: :函数函数f(x)=xf(x)=x2 2- - 在区间在区间(0,+)(0,
15、+)上是增函数上是增函数. .题型二题型二 求函数的单调区间求函数的单调区间【例例2 2】 求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间. .(1)f(x)=3|x|;(1)f(x)=3|x|;(2)f(x)=|x(2)f(x)=|x2 2+2x-3|.+2x-3|.解解: :(2)(2)令令g(x)=xg(x)=x2 2+2x-3=(x+1)+2x-3=(x+1)2 2-4.-4.先作出先作出g(x)g(x)的图象的图象, ,保留其在保留其在x x轴及轴及x x轴上方部分轴上方部分, ,把它在把它在x x轴下方的图象轴下方的图象翻到翻到x x轴上方就得到轴上方就得到f(x)=|xf(x)=|x2
16、 2+2x-3|+2x-3|的图象的图象, ,如图所示如图所示. .由图象易得由图象易得, ,函数的递增区间是函数的递增区间是-3,-1,1,+);-3,-1,1,+);函数的递减区间是函数的递减区间是(-,-3,-1,1.(-,-3,-1,1.方法技巧方法技巧 判断函数单调区间时判断函数单调区间时, ,若所给函数是常见的一次函数、二次函数、若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等反比例函数等, ,可根据其单调性写出函数的单调区间可根据其单调性写出函数的单调区间, ,若函数不是上述函数若函数不是上述函数且函数图象容易作出且函数图象容易作出, ,可作出其图象可作出其图象, ,根据图象写
17、出函数单调区间根据图象写出函数单调区间. .即时训练即时训练2 2- -1:1:作出函数作出函数f(x)= f(x)= 的图象的图象, ,并指出函数的单调区间并指出函数的单调区间. .解解: :f(x)= f(x)= 的图象如图所示的图象如图所示. .由图象可知由图象可知, ,函数的单调减区间为函数的单调减区间为(-,1,(1,2;(-,1,(1,2;单调递增区间为单调递增区间为(2,+).(2,+).【备用例【备用例2 2】 求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间. .(1)f(x)= (x-2,4);(1)f(x)= (x-2,4);(2)y= .(2)y= .题型三题型三 函数单调性的
18、应用函数单调性的应用【例例3 3】 已知函数已知函数f(x)=-xf(x)=-x2 2-2(a+1)x+3.-2(a+1)x+3.(1)(1)函数函数f(x)f(x)在区间在区间(-,3(-,3上是增函数上是增函数, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是; ;(2)(2)函数函数f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(-,3,(-,3,则实数则实数a a的值为的值为. .解析解析: :f(x)=-xf(x)=-x2 2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2 2+(a+1)+(a+1)2 2+3.+3.因此函数的单调递增区间为因此函数的单
19、调递增区间为(-,-a-1.(-,-a-1.(1)(1)由由f(x)f(x)在在(-,3(-,3上是增函数知上是增函数知3-a-1,3-a-1,即即a-4.a-4.(2)(2)由题意得由题意得-a-1=3,a=-4.-a-1=3,a=-4.答案答案: :(1)(-,-4(1)(-,-4(2)-4(2)-4变式探究变式探究: :若本题改为函数若本题改为函数f(x)=-xf(x)=-x2 2-2(a+1)x+3-2(a+1)x+3在区间在区间(1,2)(1,2)上是单调函数上是单调函数, ,则则a a的取值范围是的取值范围是. .答案答案: :(-,-3-2,+)(-,-3-2,+)误区警示误区警
20、示 函数的单调区间与函数在某一区间上单调是两个不同的函数的单调区间与函数在某一区间上单调是两个不同的概念概念, ,其中后者的区间是函数单调区间的子集其中后者的区间是函数单调区间的子集. .即时训练即时训练3 3- -1:1:函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-2mx-3-2mx-3在区间在区间1,21,2上单调上单调, ,则则m m的取值范围是的取值范围是. .解解析析: :二二次次函函数数在在某某区区间间内内是是否否单单调调取取决决于于对对称称轴轴的的位位置置, ,函函数数f(x)= f(x)= x x2 2-2mx-3-2mx-3的对称轴为的对称轴为x=m,x=m,函数在区间函数在区间
21、1,21,2上单调上单调, ,则则m1m1或或m2.m2.答案答案: :(-,12,+)(-,12,+)【备用例【备用例3 3】 已知函数已知函数f(x)= f(x)= 是是(-,+)(-,+)上的减函数上的减函数, ,则实则实数数a a的取值范围是的取值范围是. .题型四题型四 易错辨析易错辨析忽视函数定义域致误忽视函数定义域致误【例例4 4】 已知已知y=f(x)y=f(x)在定义域在定义域(-1,1)(-1,1)上是减函数上是减函数, ,且且f(1-a)f(2a-1),f(1-a)f(2a-1),则则实数实数a a的取值范围为的取值范围为. .纠错纠错: :忽视了函数定义域忽视了函数定义域. .即时训练即时训练4 4- -1:1:已知已知f(x)f(x)是定义在区间是定义在区间-1,1-1,1上的增函数上的增函数, ,且且f(x-2)f(1-f(x-2)f(1-x),x),则则x x的取值范围是的取值范围是. .点击进入点击进入课时作业课时作业
