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1、桥梁结构理论桥梁结构理论Bridge structure principle第1篇桥梁结构分析的有限元法finite element method of analysis of bridge structuren桥梁结构有限元法的分析过程Analysis procedure of finite element of bridge structuren桁架桥结构分析Analysis of truss bridge structuren梁式桥结构分析Analysis of beam bridge structuren刚架桥结构分析Analysis of rigid bridge structure
2、n薄壁箱梁桥结构分析Analysis of thin walled box girder bridge structuren复杂组合截面桥梁结构分析的虚拟层合单元Combining virtual laminated elements for analysis of complex co-section bridge structure n小结Summarizen本章参考文献ReferencejNN1850年矩阵符号问世matrixsignfunctionappearedin1850，1956年Turner等人将刚架位移法framemethodwasspreadandexploitatedto
3、推广应用到弹性力学的平面问题elasticplaneproblembyTurnerin1956，并在分析飞机结构获得成功andsucceedintheanalysisofaircraftstructure.现代有限元法在各个领域都得到广泛应用:modernfiniteelementmethodiswidelyusedinmanyfields.1.由弹性力学平面问题fromelasticplaneproblemextendsto扩展到空间问题和板壳问题spatialstructureproblemandplateandshellproblem：拱坝archdam、涡轮叶片turbineblade
4、、飞机airplane、船体ship及大型桥梁longspanbridge2.由平衡问题扩展到稳定问题与动力问题fromequilibriumproblemsextendstostabilityproblemsanddynamicproblems：结构地震structuralseismic、抗风与波浪力windresistanceandwaveforce、动力反应dynamicresponse3.由弹性问题扩展到弹塑性与粘弹性问题fromelasticproblemextendstoelastic-plasticproblemandviscoelasticityproblem、土力学soilm
5、echanics与岩石力学问题androckmechanicsproblem，疲劳与脆性断裂问题Fatigueandbrittlefractureproblem4.由结构计算问题扩展到结构优化设计问题fromcalculationproblemextendstoOptimalStructureDesigning5.由固体力学扩展到流体力学、渗流与固结理论、热传导与热应力问题（焊接残余应力、原子反应堆结构的热应力）、磁场问题（感应电动机的磁场分析）以及建筑声学与噪音问题fromsolidmechanicsextendstofluidmechanics,vadoseandconsolidation
6、theory,heatconductionandthermalstress, Welding Residual Stress, thermal stress of atomic reactor structure, magnetic fieldproblem(analysisofmagneticfieldofinductionMotor),architecturalacousticsandnoiseprogram6.由工程力学扩展到力学的其它领域（冰川与地质力学、血管与眼球力学等）fromengineeringmechanics extends to other fields of mecha
7、nics (glacier and geomechanics, blood vessel and eyesmechanics,etc)Withtheimprovementof传统traditional的杆单元barelement、板单元plateelement、块单元blockelement、壳单元shellelement不断完善，索单元cableelemnet、虚拟层合单元combiningvirtuallaminatedelement,etc等使得复杂结构分析得以简化.makethecomplexstructuretobesimple.本章-简述有限元法的基本思路outlinebasici
8、deaoffiniteelement汇 总 出 桥 梁 结 构 分 析 中 的 常 用 单 元 刚 度 矩 阵 Summarizingrigidmatrixmostinuseinanalysisofbridgestructure介绍一种通用三维单元构造方法introductionofageneral3Delementconstructionmethod虚拟层合单元在桥梁结构分析中的应用applicationofcombiningvirtuallaminatedelementinanalysisofbridgestructure桥梁结构有限元法的分析过程Analysisprocessofbrid
9、gestructurefiniteelementmethod 结结构构有有限限元元法法的的分分析析过过程程六六个个步步骤骤six steps of analysis process of structure finite element method：（1）结结构构的的离离散散化化 A discretization method for structure将将要要分分析析的的桥桥梁梁结结构构物物分分割割成成有有限限个个单单元元体体，并并在在单单元元体体的的指指定定点点设设置置结结点点，使使相相邻邻单单元元的的有有关关参参数数具具有有一一定定的的连连续续性性，并并构构成成一一个个单单元元的的集集
10、合合体体，以以它它代代替替原原来来的结构。的结构。（2）选择位移模式）选择位移模式choosing displacement model 假假定定suppose 位位移移是是坐坐标标的的某某种种函函数数，称称为为位位移移模模式式或或插插值值函函数数interpolating function。根根据据所所选选定定的的位位移移模模式式，就就可可以以导导出出derive用用结结点点位位移移表表示示单单元元内内任任一一点点位移的关系式：位移的关系式：贺贺:例如分析例如分析对象对象analysis object是是桁架桁架桥桥时，可以取时，可以取每根每根杆件杆件member作为作为一个单元一个单元，因
11、，因为桁架桥本来为桁架桥本来就是由杆件组就是由杆件组成成is composed of 的。但如的。但如果分析的对象果分析的对象是连续体是连续体contimuums，如，如板桥，板桥，那那末为了有效地末为了有效地逼近逼近approximate effectively实实际的连续体，际的连续体，就需要考虑选就需要考虑选择择单元的形状单元的形状和分割方案和分割方案subdivision scheme以及以及确定单元和结确定单元和结点的数目等问点的数目等问题题。贺贺:选择适当的选择适当的位移函数是有限位移函数是有限单元法分析中的单元法分析中的关键。通常关键。通常选择选择多项式多项式polynomial
12、作作为位移模式。其为位移模式。其原因是因为多项原因是因为多项式的式的数学运算数学运算operation（微（微分分differential和和积分积分integral）比较方便比较方便，并且，并且由于所有光滑函由于所有光滑函数数partial of smooth function的局部，的局部，都可以用多项式都可以用多项式逼近。逼近。至于多项至于多项式的项数和阶次式的项数和阶次order的选择，的选择，则要考虑到单元则要考虑到单元的自由度的自由度degree freedom和解的和解的收敛性收敛性astringency要要求求。一般来说，。一般来说，多项式的多项式的项数项数terms应等于单应
13、等于单元的自由度数元的自由度数，它的阶次它的阶次order应包含常数项应包含常数项constant term和线性项等。这和线性项等。这里所谓单元的里所谓单元的自自由度是指单元结由度是指单元结点独立位移点独立位移independent displacement的个数的个数。（3）分析单元的力学特性）分析单元的力学特性analysis of mechanical characteristic 利利用用几几何何方方程程geometric equation ，由由位位移移表表达达式式导导出出用用结结点点位位移移表表示示单单元元应变应变 利用本构方程利用本构方程constitutive equatio
14、n，由应变的表达式导出用结点位移表示单元应力，由应变的表达式导出用结点位移表示单元应力 利用变分原理利用变分原理variational principle ，建立单元的平衡方程，建立单元的平衡方程equilibrium equation 单单元元坐坐标标系系element coordination与与结结构构坐坐标标系系structure coordination不不一一致致时时，需用坐标转换需用坐标转换coordination conversion 单单元元刚刚度度矩矩阵阵是是单单元元特特性性分分析析的的核核心心内内容容element rigid matrix is the core con
15、cept of analysis of element characteristics.（4）建立整个结构的平衡方程equilibrium equation 两个方面：一是将各个单元的刚度矩阵，集合are integrated成整个物体的整体刚度矩阵the whole rigidity coefficient matrix；二是将作用于各单元的等效结点力列阵equivalent nodal force vector，集合成总的荷载列阵overall load vector。常用方法the most often used method-直接刚度法 集合所依据的理由reason是要求所有的相邻的a
16、djacent单元在公共结点处的位移相等。整个结构的平衡方程（5）求解未知结点node位移 考虑几何边界条件geometrical boundary condition将方程作适当修改revise之后，根据方程组equations的特点，选择合适的计算方法，可解出未知位移。（6）计算单元应力及所需要的结果 利用已求出的结点位移，计算各单元应力，加以整理得出所要求的结果。 桁架桥结构一般均为空间结构，可按空间杆单元进行分析，每个桁架杆即为一个单元。取结构坐标系（ ），单元坐标系（ ）桁架桥结构分析单元坐标系下单元刚度矩阵经运算，在结构坐标系单元刚度矩阵为桁架桥及其单元在初步设计时，可将空间问题简
17、化reduced为平面问题planeproblem，用平面桁架来计算，如图所示。结点位移列阵结点力列阵单元坐标系下单元刚度矩阵表达式expression同前，但结构坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但平面桁架及其单元多梁式简支multi-girdersimple-supportedstructure、连续及悬臂梁桥，可取板梁组合component单元，也可取抗扭torsion梁单元。如图所示，此种梁单元的结点位移列阵为结点力列阵为梁式桥及其单元梁式桥结构分析单元刚度矩阵elementrigidmatrix梁及其单元单梁式梁桥，单元坐标系和结构坐标系一致（下图），去掉扭转位移，单元结点位移向量可写
18、为结点力列阵虑剪切变形影响时consideringsheardeformationeffects，梁单元刚度矩阵剪切影响系数shearinfluencecoefficient杆截面沿轴axis方向的有效抗剪面积sheararea材料抗剪模量modulus分析悬臂梁桥时，会遇到一端铰接hingedconnection另一端刚接的梁单元，单元结点位移列阵铰接hinged悬臂梁铰接悬臂梁单元单元刚度矩阵结点力列阵刚架桥结构分析空间梁单元是分析刚架桥的常用单元，如图所示，单元两端各有6个自由度结点位移列阵空间梁单元结点力列阵单元刚度矩阵elementstiffnessmatrixsymmetry考虑剪
19、切变形影响的单元刚弯矩阵stiffnessmatrixconsideringsheardeformationeffectssymmetry对 、 轴方向的剪切影响系数 、 杆截面沿 、 轴方向的有效effective抗剪面积单梁式single-girder刚架桥rigid-framedbridge可按平面刚架进行分析，如图所示刚架桥及其单元在结构坐标系structure coordination中，单元刚度矩阵elementstiffnessmatrix采用同样方法，亦可考虑剪切变形的影响。 薄壁箱梁桥结构分析薄壁箱梁桥结构分析thin walled box girder bridge 在初等
20、梁理论在初等梁理论general beam theory中，计入翘曲变形中，计入翘曲变形warping deformation、剪力滞及畸变影响、剪力滞及畸变影响shear lag effect后，发展起来的薄壁梁解析理论后，发展起来的薄壁梁解析理论analytical theory能合理地反映薄壁箱梁结构的固有变形特性能合理地反映薄壁箱梁结构的固有变形特性inherent deformation characteristic。本节以单箱室对称截面。本节以单箱室对称截面symmetrical section箱形箱形梁为对象梁为对象object，建立结构空间分析的刚度矩阵及其求解方程，建立结构空
21、间分析的刚度矩阵及其求解方程solving equations。 薄壁箱梁断面及分析采用的坐标系（1）位移模型及平衡方程节点位移列阵截面形心位置sectioncentroid； 截面剪切中心位置； 截面畸变中心位置distortioncenter； 形心位置 沿 方向（梁轴方向）位移； 剪切中心位置 在 方向（横向lateral）位移； 剪切中心位置 在 方向（竖向vertical）位移； 分别为断面绕三坐标轴的角位移angledisplacement； 扭转tortion翘曲位移； 畸度角； ，畸变翘曲位移distortionwarpingdeflection； 上翼板upperslab最大
22、相对剪切转角位移差。翘曲和剪滞位移只在轴向产生，薄壁箱梁的断面位移模型单元平衡方程Elementequilibriumequation由弯曲变形分析给出由扭转变形分析给出由畸变分析给出直线梁的弯、扭变形bendingandtorsionbehavior互不耦联hybrid，可分别讨论discussseparately（2）弯曲变形刚度弯曲变形Flexuraldeformation刚度方程单元刚度系数翼板局部坐标，其原点除悬臂板取在悬臂端cantileverend外， 其余均取板中点，且方向与 轴一致 翼板修正系数correctionfactor，可根据试验test或解析analysis取得 除
23、平面 内的力素外，在平面 各力素如下（3） 扭转变形刚度扭转变形刚度方程 刚度系数 为（4）畸变刚度复杂组合截面桥梁结构分析的虚拟层合单元 上世纪90年代初，浙江大学徐兴教授从8-20节点三维实体等参元出发，直接引进基本假定，构造了一系列退化的单元，形成了退化单元系列： 中厚板单元 Kirchhoff板单元 膜单元 空间梁单元 平面梁单元等 它们均是协调单元，单元自由度数与已有相应的单元相同。 其突出的优点是： 单元列式简单划一， 各类退化单元间及实体单元连结十分方便 后来发展了虚拟层合单元对于 层合结构（钢与concrete） 复杂的箱形、T形结构的总体分析十分简单有效，计算精度能够满足工程
24、需要。大大提高了复杂组合结构的静、动力和非线性分析的计算效率。 1） 经典classical的三维实体three-dimensional entity等参元isoparameter element一般的实际practical问题都是空间space问题，解决问题的方法就是建立用三维坐标描述described的空间模型进行求解。描述空间问题最简单的单元是四面体tetrahedroid，但是一个空间区域分割divided一些四面体小区域非常困难，甚至有些使人难以想象，如果用六面体hexahedron来分割空间区域就能清楚地区分各个六面体之间的相互关系，因此用六面体来进行有限元分割是最方便的。空间三维
25、等参元常用的是八节点二十节点的六面体，其中八节点六面体的形状完全由其八节点的位置或坐标所决定，其棱边edge是直线，其侧面是由两族直线所构成的直纹面ruledsurface，所以其计算精度calculationaccuracy和逼近物体的弯曲边界有时显得不够理想，二十节点六面体空间等参元能很好地满足计算精度和逼近approximate物体的弯曲边界boundary的要求，对空间问题通常是最有效的单元，而十二节点、十六节点六面体空间等参元是空间八节点等参元在一个或两个方向提高了精度improveaccuarcy8-20结点等参元母单元8-20 nodes isoparameter parent
26、element8-20结点等参数单元 实际单元坐标与母单元坐标之间的关系可表示为形函数Shapefunction记 三 维等 参 元的 节 点位 移 矢量为那么单元内任一点的位移可表示为按几何关系geometrical relation可得应变计算式有下列关系Jacobi矩阵matrix 本构关系Constitutiverelationship 弹性矩阵 三维等参元的刚度矩阵可分成 个子矩阵，典型的子矩阵submatrix单元体积力 等效到节点上的等效节点力equivalentnodalforce为 将 单 元的表 面 力surfaceforceJacobi行列式determinant的值 等
27、效到节点上的等效节点力为（2）退化的实体单元degenerated solid element经典的板壳单元都是根据板壳理论theoryofplatesandshells构造出来的，而经典板壳理论则是一般的三维弹性理论根据板壳结构特殊的几何形状引入一定的简化假定后得到的，因此可以认为板壳理论是一种特定条件下简化的三维弹性理论。从三维弹性理论直接导出的是三维实体等参元。由此不难看出，板壳单元其实是一种特定条件specifiedcondition下的简化simplified的三维实体等参元，只要在三维实体等参元中引入leadinginto必要的简化的假定necessarysimplifiedass
28、umption即可发展成can be developed to由三维实体等参元退化degenerated的板壳单元，如图所示，称之为退化的实体单元。 三维弹性理论三维弹性理论薄板壳理论厚板假定Thickplateassumption薄板单元三维实体等参元3Dentityisoparameterelement中厚板壳单元Moderatelythick薄板假定单元构造单元构造单元构造 板壳理论与板壳单元厚板假定薄板假定（a）相对位移的引入leadingintorelativedisplacement如图所示的16节点板壳单元，每个节点有 、 、 三个自由度，共48个自由度。单元坐标和位移插值形函数
29、displacementinterpolatingfunction和三维实体单元相同。考虑到扁平flat单元会使刚度矩阵病态ill-conditionedmatrix，采用R.D.Wood的建议，用相对位移comparativedisplacement的办法克服。记16节点三维等参元的节点位移矢量为 16节点板壳单元引入byintroductionof相对位移后，单元节点位移矢量改为. （b）Reissner厚板单元 板的弹性理论是三维弹性理论的退化形式，我们在写出Reissner板的弹性本构关系时仍保留三维弹性理论的形式，为方便起见，取坐标 方向为板法线方向，根据Reissner板理论的假定
30、 ， ，因此可以忽略 不计，有即 为不独立的应变分量，对上式沿厚度方向积分，得相对挠度假定suppose约束 后16节点的单元自由度数从48降至40，与8节点40自由度厚壳单元相同，但在所有自由度中没有转角自由度而只有位移自由度，这样产生的单元，可以方便地与其它单元连接，而且有限元列式更加简单统一。如果引入中面不伸长的假定又将约束 自由度，单元变成16节点24自由度厚板单元，与8节点24自由度厚板元相同。为了与三维单元的形式一致， 和 的约束也可用罚系数的方法来实现。在三维弹性应力应变关系中引入一个罚系数 ，当计算刚度矩阵时， 取一大数，一般可取1000，使得 ，当计算应力时，取 =1或 =0
31、，使 这样在三维弹性理论中，引入了Reissner板的假定，将三维弹性理论退化成Reissner板理论，具体的Reissner板的应力应变关系为（c）Kirchhoff板单元根据Kirchhoff板理论假定， ，即薄板横向的剪切刚度无限大，为此对相应的刚度系数进行修正，即乘以一个大数 =1000。此时应力应变关系修正为其它约束处理同Reissner板（d）薄膜单元thin-filmelement根据类似分析onthesimilarmethod如果引入约束可得到16节点24自由度膜单元 （e）单元刚度矩阵上述above分析表明，通过修正应力-应变关系和约束一部分相对位移可引入Reissner板、
32、Kirchhoff板和膜的理论的基本假定。简单比较可见Reissner板、Kirchhoff板和膜结构的应力-应变关系扩阶后与三维弹性问题相似，因此板、膜单元的元素矩阵和三维块体等参元元素矩阵的具有完全相同的形式。 （f）相对位移引入后刚度矩阵的修改考虑如下形式的单元平衡方程作变换则单元平衡方程变为整理得 对于一般的壳问题，上述推导在以法向 方向的局部坐标系内仍然成立。适当的坐标变换可把上述推导推广到一般壳单元，也可以得到一系列的正交曲线坐标系下的壳单元。采用类似的方法，可以从平面单元退化得到平面梁单元。 （3）三维梁单元在12-20节点三维等参单元中，引入梁的基本假设，便可得到三维梁单元。它
33、可以用以分析各种截面形状（包括变截面的）的空间梁的弯曲、扭转，也能很方便地与三维块体单元、三维板壳单元连接，以解决复杂桥梁结构分析问题。根据梁的几何特点引入以下假定：横向正应力相对于其他应力是小量，可以忽略。即由假设可知 ， 不独立， ， 也不独立，且为小量，也应约束掉。如果不考虑剪切变形，则还有 为梁的轴线方向。考虑横向剪切变形的梁的应力应变关系可以表示为不考虑横向剪切变形的梁的应力应变关系与一维梁单元比较，不考虑扭转翘曲的梁单元每个节点有6个自由度， 。矩形截面三维梁单元，每个截面4个节点，每个节点3个自由度 ，共12个自由度。根据假定令平截面假定有 共有6个约束方程，故每个截面也只有6个
34、自由。与一维单元相同。除应力应变关系略有不同外，单元的元素矩阵相同，同样可以构造虚拟的层合的梁单元。可以方便地分析杆件的约束扭转问题 （4） 虚拟层合单元由不同材料组成的桥梁结构（如结合梁、钢筋混凝土结构、钢管混凝土、钢箱混凝土等）的总体分析是一个比较烦琐的力学问题，目前对这类结构的有限元分析常采用两种方法（a）用三维实体单元对桥梁结构进行细致的离散。这一方法的优点是能够准确地描述桥梁的几何形状，它的缺点是庞大的计算量对总体分析而言是一种浪费（b）另一种方法则是把结构简化为杆、梁、板、壳或它们的组合结构。这种方法的优点是计算量少，但很难描述复杂桥梁结构的实际几何特性，特别是变截面主梁和有中空的
35、区域箱梁，因此其结果往往不能反映桥梁的整体特性。如何建立一个能描述结构几何形状、受力特征的简洁有效的有限元模型是整体分析的关键。（1）层合板壳单元在上节三维等参元的单元刚度和单元外力计算公式中，我们可以看出这些计算都是在单元内的积分，如果将区域积分用一些小区域（m个）的积分之和来替代，或者说将区域积分分解成一些小区域的积分，如用上可对八节点二十节点空间三维等参实体单元进行改进。由于同一单元中可能包含m个不同的材料区域，单元元素矩阵的积分按m个不同的材料区域分区进行，为不失一般性，假定每种材料区域可以由8-20个单元内节点描述。每个单元内节点可由该节点在母单元中的坐标表示。记第 个材料区域第 个
36、节点的母单元坐标为 ，则材料区域中任意点的母单元坐标为则单元的元素矩阵可改为材料分区数 区域内坐标变换矩阵的Jacobi行列式的值 在每个材料区域采用高斯积分，有分别为一个材料区域内的各个方向的 高 斯积分点数目； 高斯积分点的权系数。（2）虚拟层合单元对图所示的一矩形箱梁，如用传统有限元分析，为了反映箱梁有中空的区域的结构特征，划分单元的必须采用相当多的实体单元来离散箱梁结构如图a），如果将该箱梁划分成三个经典的二十节点空间三维等参元如图b），那么箱梁的中空结构特征就描述不出来了。ab悬臂矩形箱梁用上述的分区积分的办法，将单元积分区域分成两个区域（a）有真实材料的区域（顶板、底板和腹板）（b
37、）没有材料的区域（中空区域）在这个中空区域中由于没有材料，它的积分值将是零，因此单元的积分只要在有材料的区域内积分就可以了，这样就可以将箱梁有中空区域的复杂结构整体特征反映出来了。再进一步分析如果有材料的区域（顶板、底板和腹板）有不同的材料特性（弹性模量、质量密度），还可以分为不同材料特性参数的区域（如顶板、底板与腹板的材料特性参数不同）的积分没有材料的区域（中空区域）可以认为是材料特性（弹性模量、质量密度）为“零”的材料。将单元的积分区域人为地分为几个小的积分区域，在每个小的积分区域内有不同的材料特性参数，包括“零”材料特性参数，此概念亦可在虚拟段上，无论虚拟层，还是虚拟段，或者二者兼有，均
38、称为虚似层合单元。这就改进了原来的空间实体单元，达到用较少段单元来描述复杂空间结构整体特征的要求，大大的提高有限元的效率。有虚拟区域单元示意真实节点虚拟节点（3）虚拟三维层合板壳单元图为一典型的虚拟层合板壳单元，在该单元中，母单元的边界定义为、。的表面为层合板壳底面，的表面为层合板壳顶面，和之间分为层，底面、每层界面和顶面的坐标由底到顶依次为；同理，在每一层中，对坐标也类似的边界及界面定义。为保证在计算单元刚度矩阵、单元质量矩阵和应力时，分层或分层段高斯积分简单易行，必需注意使各层或各段的界面坐标值及为常数，该单元与母单元间的变换关系为单元位移插值模式为单元刚度矩阵元素 为层数， 为段数为在每
39、层及层中的每一段采用高斯积分，将上式进行线性变换（5）桥梁结构的虚拟层合单元建模（a）肋梁式桥常见的肋梁式桥梁结构截面形式不外乎T型、带马蹄T形和I字形，由于所采用的材料不同（如组合结构）或配筋不同（混凝土结构）而使得结构的承载能力特性在各个方向上并不相同，表现出各向异性的特性。初步分析时，可按上、下翼板（马蹄）、腹板划层、根据纵向钢筋的疏密程度划段；精细分析时，需将不同性质的材料单独划层或段。（b）箱梁桥空心板或箱梁桥是典型的带有中空截面结构，除考虑横、纵截面上材料的不同性质分层外，对空腔部分按虚拟层（段）进行处理（c）力筋的等效连续化力筋（钢筋或预应力钢筋）在混凝土中的铺设一般在某一个或几
40、个确定的方向上，对结构整体分析而言，纵向主筋的影响最大，横向主筋对横向变形及内力的贡献较大，分析时，可按正交异性材料处理。而将离散分布的钢筋按下图等效为连续钢筋层钢筋等效层 小结（1）有限元分析已经渗透到桥梁结构分析的各个领域，其分析精度亦因所采用的单元形式，单元数量和单元划分情况等不同而有所差异。在大型通用分析软件普级及广泛应用情况下，桥梁结构建模在有限元分析中非常重要，科学合理的建模，不仅可以得到更为精确和期望结果，而且可节约计算时间，提高计算效率。（2）桥梁结构的恒载内力与施工方法关系密切，变形、内力等有累计、重分布等特点，同一座桥如采用不同的施工方法，其恒载内力差异很大，大多情况下需跟
41、踪分析，活载内力计算时的动态加载非常重要，除桥梁专用分析软件外，通用软件一般不具备此功能，其基本方法可参见文献。（3）退化单元及虚拟层合单元为桥梁结构分析提供了全新建模思路，具有划时代意义，它不但打通了单元之间连接通道，而且可精确地描述各种复杂桥梁结构几何特征，把握各种力学现象，已在复杂结构分析、动力分析及非线性分析中发挥其独一无二的作用。 Referencesn1M.J.Turner,R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp.Stiffiness and deflection analysis of complex structuresJ.Aeronaut Sei,
42、Vol.23, No.9,19562杨炳成、孙明斜拉桥索力的非线性优化倒拆分析中国公路学报，杨炳成、孙明斜拉桥索力的非线性优化倒拆分析中国公路学报，Vol.11, No.3,19983肖世诚、项海帆大跨径悬索桥结构分析理论及其专用程序系统的研究中国公路学肖世诚、项海帆大跨径悬索桥结构分析理论及其专用程序系统的研究中国公路学报，报，Vol.11, No.4,19984凌道盛、张金江、项贻强、徐兴虚拟层合单元法及其在桥梁工程中的应用土木工凌道盛、张金江、项贻强、徐兴虚拟层合单元法及其在桥梁工程中的应用土木工程学报，程学报，Vol.31, No.3,19985X.XU, R.F.Cai. A New
43、 Plat Shell Element of 16 Nodes 40 Deyrees of Freedom by Relative Displacement Method. Communication in Numerical Methods in Engineering, Vol.9, 1520，19936杨炳成、陈偕民、郝宪武结构有限元素法西安：西北工业大学出版社，杨炳成、陈偕民、郝宪武结构有限元素法西安：西北工业大学出版社，19967丁皓江、何福保、谢贻权、徐兴弹性和塑性力学中的有限单元法北京：机械工业丁皓江、何福保、谢贻权、徐兴弹性和塑性力学中的有限单元法北京：机械工业出版社，出版社，
44、19928Argyris J.H.Recent Advances in Matrix Methods of Structureal Analysis, Pergamon Press, 19649黄剑源、谢旭城市高架桥的结构理论与计算方法北京：科学出版社，黄剑源、谢旭城市高架桥的结构理论与计算方法北京：科学出版社，200110施笃铮预应力混凝土斜拉桥施工控制研究浙江大学博士学位论文，施笃铮预应力混凝土斜拉桥施工控制研究浙江大学博士学位论文，2002.211杨炳成公路桥梁电算（第二版）北京：人民交通出版社，杨炳成公路桥梁电算（第二版）北京：人民交通出版社，199912贺拴海、杨炳成桥梁贺拴海、杨炳
45、成桥梁CAD系统中的几个技术问题研究西安公路交通大学学报，系统中的几个技术问题研究西安公路交通大学学报，Vol.15, No.4,1995第2篇 结构承载力n条件线性承载力n条件非线性承载力 n条件极限承载力 n极限承载力 n超载能力 n残余承载力n小结定义：结构在某限制条件下承受外荷载的最大能力.影响因素：（1）材料（2）结构型式（3）施工质量（4）加载方式（5）限制条件。条件线性承载力( )n定义：在恒载及不断增大的工作荷载作用下，按照弹性理论分析，当结构的某构件或部位的应力、挠度或裂缝等达其规定限值时，所对应的工作荷载值。由于应力、挠度、裂缝等的限值并不匹配，以先达到者所对应的工作荷载为
46、核结构的条件线性承载力。n功能：描述结构在某种状态下所能承受的荷载量 简支梁承受满布均布载计算一般方程式中：外载（工作荷载）所对应的某个内力、应力、位移或裂缝等 对应的限值。 条件非线性承载力( ) n定义 ：在恒载及不断增大的工作荷载作用下，按照非线性理论分析，当结构的某构件或部位的应力、挠度或裂缝等达到其规定限值时，所对应的工作荷载值。亦以先达到者为结构的条件非线性承载力。n功能：描述结构在某种状态下所能承受的荷载量 计算考虑剪切变形影响（放弃同一高度处横截面应变相等的假定）的简支梁挠度为以挠度控制的考虑横截面应力非线性分布的条件非线性承载力。同理亦可计算放弃虎支定律或放弃小变假定的条件非
47、线性承载力。条件非线性承载力(LFn)的一般方程与上节无异，但计算有区别。 条件极限承载力( ) n定义:在恒载及不断增大的工作荷载作用下，采用适当方法进行分析，以结构中某构件或部位首先破坏或达到相应极限状态时所对应的工作荷载为结构的条件极限承载力n功能：描述结构在某种状态下所能承受的荷载量 梁的条件极限承载力结构在正常使用极限状态下要求变形控制、裂缝控制，而在承载能力极限状态下要求强度控制进行验算，以保证结构的适用性、耐久性和安全性。在承载能力极限状态下的结构抗力效应要大于荷载组合效应这三个方面的控制分别对应着最不利截面的（1）变形控制弯矩(2）裂缝控制弯矩（3)强度控制弯矩这三个弯矩即为所
48、对应控制方式下梁的条件极限承载能力值。变形控制弯矩梁的跨中弯矩与最大竖向挠度的关系取极限平衡状态有裂缝控制弯矩受弯构件的最大裂缝宽度（mm）取极限平衡状态有由有式中：考虑钢筋表面形状、荷载作用及结构形式的系数；受拉钢筋直径；钢筋弹性模量；钢筋应力；裂缝宽度计算含筋率，当取0.006，当时取0.02；强度控制弯矩对于第一类T型截面有式中：对于第二类T型截面有式中：受拉钢筋强度；混凝土抗压强度；受拉钢筋材料安全系数；T梁配筋率；第二类T梁受压截面重心至受压表面的距离。强度控制弯矩桥的条件极限承载力设多梁式桥中某片梁的抗弯刚度为配筋率为则利用合适的桥梁横向分布计算理论可直接分析各梁诸截面的横向分布系
49、数（表示沿桥纵向截面位置）。杠杆法刚接板梁法G-M法。变形控制按变形控制时，桥上所能承受的标准车队汽车或挂车荷载应满足以下条件或式中：车道折减系数，对于挂车取j号梁i截面的车辆荷载横向分布系数；标准车队中i截面汽车轴重；桥上一列车队的车辆数；梁弯矩影响线i截面纵坐标；以j号梁计算桥所能承受的均布载集度；梁弯矩影响线面积，对于简支梁j号梁跨中截面荷载横向分布系数；j号梁所对应的标准汽车车队轴重或挂车轴重系数桥上可通行的车辆最大轴重；桥上可通行的分布载最大集度。裂缝控制对于裂缝控制，分为短期荷载控制（车辆）和长期荷载控制（恒载），规范中对此两种荷载规定了不同的荷载作用系数。（1）对于车辆荷载，只要
50、将变形控制改为由裂缝控制即可。（2）对于长期荷载，等截面梁桥的恒载应满足令若，则该桥满足要求，否则应考虑减轻自重。式中：j号梁荷载横向分布影响线纵坐标；-k号梁的恒载集度强度控制按强度控制，桥上所能承受的标准车队汽车或挂车荷载应满足 或式中：冲击系数，当为挂车荷载时，；且式中的应为.极限承载力()桥梁结构的极限承载力：-桥梁承受外荷载的最大能力。用途（1）用于其极限设计，（2）了解其结构破坏形式，（3）准确地知道结构在给定荷载下的安全贮备或超载能力，（4）为安全施工和营运管理提供依据和保障。分析方法全过程分析-通过逐级增加工作荷载集度来考察结构的变形和受力特征，一直计算至结构破坏。极限承载力求
51、解技术逐步搜索法*用途只要求出极值荷载，而对曲线下降段不感兴趣的情况*基本思路加一荷载增量，如计算发散，退回上级荷载状态并改用荷载步长，若计算收敛，则再加一级荷载为。若加后计算发散，则再改用荷载步长为。如此搜索，若原步长预计为5%的破坏荷载，则已接近1%的极限荷载，对桥梁结构来说，已可满足精度要求。当然还可向前再搜索一步到。位移控制法*用途不控制荷载增量而控制位移增量，且考虑曲线的下降段部分*基本思路对于一般结构，将刚度矩阵重新排列，使得要控制的位移排到最后一项，同时将原刚度矩阵分块，其有限元方程变为式中：参考荷载向量；控制荷载的步长系数；求解迭代过程中的不平衡力向量。改写方程为求解方程时可控
52、制指定的值，求出相应的位移及荷载增量比例因子。由于与位移有关，求解时需要迭代，使得值趋于零，以满足精度要求。单元模式梁单元，用于极限承载力分析的梁单元模式主要有三种(1)带有塑性较的一般梁单元(2)不分层的等参梁单元，常常沿梁轴向和横截面上取一定数量的高斯点来反映梁元上不同点的应力、应变情况，单元刚度阵通过这些点的高斯积分来形成。这两种单元模式只适用于规则同材质的截面形式，其应用受限制。(3)分层梁单元，它可以克服前面的缺点，但输入数据和计算过程都较复杂，应根据实际情况选用。破坏形状的模拟（1）当某个高斯点处出现裂缝时，其应力释放的计算比较麻烦。可通过将梁单元取短，并假定单元内应力、应变沿轴向
53、不变，即沿梁轴向仅取一个高斯点的方法来解决这一问题，这样，梁单元刚度阵可写成显式。（2）一旦出现裂缝，梁元便可退出工作。由此带来的求解规模的增加，可以通过试探法来解决。即先对结构进行一次预分析，找出可能出现塑性区或开裂的部位，对构件加密后再作极限承载力分析对各级荷载增量循环给定变位初值组成结构总切线刚度矩阵及荷载阵边界条件处理解非线性方程输出变位对单元循环求单元杆端力求截面几何中心的应变、曲率求折减刚度截面内所有子块混凝土的应变是否超限结束是否用折减刚度法计算极限承载力的流程图折减刚度法塑性铰法实际桥梁结构，往往要形成足够的塑性铰并使其成为机动结构后，才破坏，以此为出发点来计算极限承载力方法称
54、为塑性铰法塑性铰法是用塑性铰来修正杆件进入塑性区后的结构刚度的近似方法。塑性铰法同样可以考虑截面分层刚度的折减，但为了简化计算，常将单元作为线弹性，把塑性变形集中在单元两端塑性铰处。 塑性铰法的基本思路是：步长 内，计算结构每一构件两端的弯矩增量 和 ，判别每一构件两端弯矩与极限弯矩的关系，从而去调整每一构件单元刚度矩阵，形成新的总刚矩阵； 当杆两端未形成塑性铰时，仍用弹性单元刚阵； 当单元 的端弯矩超过极限弯矩而出现塑性较时，对后期荷载，用 端为铰， 端为固接的单元刚度矩阵，反之亦然； 当单元的 和 端弯矩都超过极限弯矩而出现塑性铰时，对后期荷载用两端都为铰的单元刚度矩 如果在加载过程中塑性
55、铰中的弯矩发生卸载，则塑性铰可能消失，这一点在计算中必须注意现以平面框架为例介绍这种方法的基本原理和求解方程设结构上作用外荷载荷载增量系数随着的增大，结构中各个截面的内力也不断增大，当某些截面的内力满足形成塑性铰的条件时，这些截面左、右两边的单元转角不再协调，弯矩不再改变，也就是说结构体系发生了改变。新的荷载增量必须在新的结构体系下产生反应。随着结构中塑性铰数不断增加，结构总刚度不断削弱，直至结构破坏。计算各种截面的屈服条件对荷载增量循环求解非线性方程组成切线刚度矩阵和荷载阵出现塑性铰？结构成机动体系？停修改主从关系单元两端编号支座处理是否否是用塑性铰性计算极限承载力流程图超载能力()定义：在
56、某种限制条件下，结构所能承受的最大工作荷载与其设计工作荷载的差值功能：描述结构能承受设计工作荷载以外的荷载量，是结构潜力的具体体现计算：式中：某限定条件下结构的承载能力，设计工作荷载。判断结构是否具有超载能力，可定义若，则该桥具有超载能力，否则该桥没有超载能力。残余承载力()定义：以损伤后的结构（如截面被消弱，某构件损伤或破坏等）所计算的承载力。功能：描述被损坏后的结构所能承受的荷载量，对旧桥评估、维修加固非常重要。计算：模糊分级法英国的桥梁检测优先权标准美国的桥梁缺陷分级中国的公路桥梁综合评定方法折减系数计算法荷载试验法仿真分析法桥梁结构承载能力随时间的变化处在自然环境下的桥梁结构，受各种因
57、素的影响，其结构性能是随时间不断变化的，若以其承载能力为纵轴，以时间（年）为横轴，下图给出桥梁结构承载力随时间的变化趋势由于结构损伤千变万化，检测手段的不完善，一些损伤和缺陷还不能完全认知，要准确计算还有很多工作要做。目前流行的做法大致有三类（1）模糊分级法此类方法是将桥梁残余承载力的定量计算转换为定性评定，给予那些综合能力较差桥梁更多关注。下面介绍几种典型方法。英国的桥梁检测优先权标准，采用下式来确定桥梁检测的先后次序式中：桥龄评价等级（15）桥型评价等级（15）桥梁薄弱部位评价等级（15）年均日交通量（AADT）评价等级（15）桥梁所处地理位置评价等级（15）桥梁所处道路重要性评价等级（0
58、5）对TA值高者优先检测美国则将桥梁缺陷分为10级（09），见下表美国公路桥梁结构缺陷分级9优越状态8甚好状态未发现问题 7良好状态一些小问题 6满意状态结构杆件显示某些次要缺陷5尚好状态所有主要结构构件完好但可能有次要截面损失（如坏化、剥落或冲刷）4不良状态截面损失（坏化、剥落或冲刷）扩大3严重状态截面的损失（坏化、剥落或冲刷）已经严重影响到结构的主要部件，可能有局部破坏，钢构件中可能有疲劳裂缝，混凝土构件可能有剪切裂缝2临界状态主要结构构件坏化扩大，存在着钢构件中的疲劳裂缝，混凝土构件的剪切裂缝。冲刷已淘空下部结构的支承，除非密切监测，否则可能必须封闭桥梁，直到采取了纠正措施。1急迫的破坏
59、状态在关键结构部件上的重大坏化或截面损失，或者明显的垂直或水平位移，影响结构的稳定。桥梁须封闭交通，但经修整可恢复轻型交通服务0破坏状态不能使用，无法修复用于结构评估中的评估定级 9较目前所希望的数据优越 8与目前所希望的数据相同7较目前的最低标准为好 6与目前的最低标准相同5比保持现状的最低容忍限度的状态略好 4与保持现状的最低容忍限度相符 3基本上不能容忍，要求优先采取纠正措施2基本上不能容忍，要求优先更换 1定格规则中，不用本值 0桥梁关闭 中国的公路桥梁综合评定方法8，则采用下式对桥梁技术状态评分式中：各部件评定标度（05），分为四类五种各部件权重越大者表示桥梁技术状况越好此外交通部公
60、路科研所的“公路桥梁管理系统”，陆亚兴等的“上海市公路路面桥梁管理系统”，长安大学的“辽宁省干线公路桥梁状况评价系统”等，均先后采用类似思路，考虑更多更全因素进行桥梁评价，各自提出了相应的评价方式。后者还给出了桥梁性能随时间的变化规律。此类方法并不能计算真正意义上的桥梁残余承载力，而仅是桥梁目前状况的一个判断。（2）折减系数计算法2（3）荷载试验法9对结构分级施加外荷载，以结构关键部位的应力、应变或变形等的大小判断结构的承载力。此外，应用动力方法进行桥梁残余承载力预测方法研究亦取得一定进展210。示例条件非线性承载力条件线性承载力条件极限承载力l极限承载力超载能力小结（1）是描述结构在某种状态
61、下所能承受的荷载量（2）、（3）研究极限承载力最有意义。（4）而是描述结构能承受设计工作荷载以外的荷载量，是结构潜力的具体体现。（5）是描述被损坏后的结构所能承受的荷载量，对旧桥评估、维修加固非常重要。对桥梁结构承载力的研究方兴未艾，其中以极限承载力问题最有意义，且往往与结构的第二类稳定问题联系在一起。结构残余承载力研究难度较大，其焦点在对现存结构的损伤及缺陷的度量上。本章仅给出一些思路和基本方法，更详细内容可参阅章末文献n 1中华人民共和国交通部标准（JTJ023-85）公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范北京：人民交通出版社，1985n2贺拴海基于动力试验的钢筋混凝土梁式桥预测研究浙江大学博士学位论文，2000n3李国豪桥梁结构稳定与振动中国：中国铁道出版社，1996n4郑振飞、彭大文超静定钢筋混凝土拱的非线性分析福州大学学报，NO.2,1985n5张翔、黄赤、贺拴海大跨径混凝土桥梁结构的极限承载力分析华东公路，No.6，1990Reference
