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1、4. 空间中的平面与直线空间中的平面与直线u空间中的平面及其方程。空间中的平面及其方程。u空间直线及其方程。空间直线及其方程。1 1、平面的点法式方程、平面的点法式方程、平面的点法式方程、平面的点法式方程几何上，任给空间中某一点，及某一方向，都可且几何上，任给空间中某一点，及某一方向，都可且只可做一条过该定点且垂直于给定方向的平面。下面用只可做一条过该定点且垂直于给定方向的平面。下面用解析式描述此几何关系解析式描述此几何关系.任取平面任取平面 上一点上一点M(x, y, z).故故 n M0M=0.设：平面设：平面 过定点过定点M0(x0, y0, z0)且垂直于方向且垂直于方向n=(A, B
2、,C).由已知，由已知，n M0M， M0Mxzy0 n一、空间中的平面及其方程一、空间中的平面及其方程 (A, B, C) (x x0, y y0, z z0)= A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)= 0.即平面即平面 上任意点上任意点M(x, y, z)都满足方程都满足方程(1).反之反之若若(x, y, z)满足满足(1)，则由，则由(1).(1)n与与 M0M 垂直垂直. 即即M在平面在平面 上上.我们称垂直于平面我们称垂直于平面 的任何非零向量为的任何非零向量为 的法方的法方向或法向，向或法向，因此，因此，n即为即为 之一个法向之一个法向.方程方程(1)依赖于法向依赖于法
3、向n及定点及定点M(x0, y0, z0). 故故(1)称称为平面为平面 的法点式方程的法点式方程.A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0法点式方程法点式方程解解取取所求平面的点法式方程为所求平面的点法式方程为化简得化简得取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解一般地，设平面一般地，设平面 过过M1, M2, M3三点三点, M1, M2, M3不共线不共线. 即即则得平面方程为：则得平面方程为：即即平面的三平面的三点式方程点式方程.2 2、平面的一般方程、平面的一般方程、平面的一般方程、平面的一般方程由点法式方程由点法式方程法向量法向量平面的平面的一般（式）一
4、般（式）方程。方程。平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.设平面设平面 ：由过由过 原点知原点知所求平面方程为所求平面方程为解解3 3、平面的截距式方程、平面的截距式方程、平面的截距式方程、平面的截距式方程设平面方程为设平面方程为将三点坐标代入方程，得将三点坐标代入方程，得平面的平面的截距式截距式方程方程x轴上截距轴上截距y轴上截距轴上截距z轴上截距轴上截距4 4、点到平面的距
5、离、点到平面的距离、点到平面的距离、点到平面的距离解解：如图：如图 M1NM0 设平面设平面 : Ax+By+Cz+D=0. 则则平面上点平面上点M1(x1, y1, z1)满足满足A1x+B1y+C1z+D1=0.由于由于 M0N 为之法向为之法向.故故 M0N / (A, B, C).n 即即即即点到平面的点到平面的距离公式距离公式例例5. 设平面设平面 过点过点M1(1, 0, 0), M2(1, 1, 1)且与且与平面平面 1：x+y+z=0垂直，垂直， 求平面求平面 .而而 过点过点M1, M2. 故故平面平面 / M1M2 .设设 1法向法向n1=(1, 1, 1).因此，平面因此
6、，平面 n1 M1M2 . n1 M1M2 即即 的法向的法向 n =n1 M1M2 .则则 平面平面 / n1 .解解：故得平面故得平面 方程为方程为即即n二、空间直线及其方程二、空间直线及其方程1. 1.由直线上一点与直线由直线上一点与直线由直线上一点与直线由直线上一点与直线 l l 的方向决定的直线方程的方向决定的直线方程的方向决定的直线方程的方向决定的直线方程 如果一个如果一个非零非零向量平行于直线向量平行于直线L L，就称这个向，就称这个向量为直线量为直线 的一个的一个方向向量方向向量u 点点 在在 直线直线 l 上的充要条件是上的充要条件是 （1）式叫做直线）式叫做直线 l 的的向
7、量式参数方程向量式参数方程直线的直线的(坐标式坐标式)参数方程参数方程将直线的参数方程中的参数将直线的参数方程中的参数 t 消去，则可得到消去，则可得到直线直线L的的标准方程标准方程或或对称式方程对称式方程。直线直线L的一组的一组方向数。方向数。方向向量的方向余弦称为该直线的方向向量的方向余弦称为该直线的方向余弦方向余弦解解所以交点为所以交点为取取所求直线方程所求直线方程两点式方程。两点式方程。注：注：2. 2.直线的一般方程直线的一般方程直线的一般方程直线的一般方程若空间直线若空间直线L为两平面为两平面则则的交线，的交线，空间直线的空间直线的一般方程一般方程。(不唯一不唯一)在直角坐标系下在直角坐标系下， 两平面的法向量分别为两平面的法向量分别为所以直线所以直线 l 的方向向量可取为的方向向量可取为例例 8 将直线将直线L 化成对称式方程化成对称式方程解：解：平面平面 的法向量的法向量平面平面 的法向量的法向量求直线求直线L上一点上一点M0(x0,y0,z0)令令x0=1 则则得得 Y0=4,z0=4所求直线所求直线L方程为方程为解解 先作过点先作过点M且与已知直线且与已知直线 L 垂直的平面垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,LM N代入平面方程，得代入平面方程，得交点交点取方向向量取方向向量所求直线方程为所求直线方程为
