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1、兰州交通大学数理与软件工程学院第十二章第十二章 微分方程微分方程第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程第三节第三节 齐次方程齐次方程第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 第五节第五节 全微分方程全微分方程第六节第六节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程第七节第七节 高阶线性微分方程高阶线性微分方程第八节第八节 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程第九节第九节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程兰州交通大学数理与软件工程学院第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、问题的提出一、问
2、题的提出二、微分方程的定义二、微分方程的定义三、主要问题三、主要问题求方程的解求方程的解四、总结四、总结兰州交通大学数理与软件工程学院一、问题的提出一、问题的提出解：解：兰州交通大学数理与软件工程学院解：兰州交通大学数理与软件工程学院代入条件后知代入条件后知故故开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需兰州交通大学数理与软件工程学院二、微分方程的定义二、微分方程的定义 1.1.凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程. .例例说明说明: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的某些导数未知函数以及未知函数的某些导数( (或微分或
3、微分) )之间的关系式之间的关系式. .分类分类1:1: 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. .兰州交通大学数理与软件工程学院2. 2. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶 数称数称微分方程的阶微分方程的阶.分类分类2：一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶( (n) )微分方程微分方程例兰州交通大学数理与软件工程学院三、主要问题三、主要问题-求方程的解求方程的解1. 1. 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方微分方程的解程的解. . 2.微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1
4、)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同的个数与微分方程的阶数相同. .兰州交通大学数理与软件工程学院(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. .解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .兰州交通大学数理与软件工程学院初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .一阶一阶
5、:过定点的积分曲线过定点的积分曲线;二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.兰州交通大学数理与软件工程学院解解兰州交通大学数理与软件工程学院所求特解为所求特解为补充补充: : 微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等积分法初等积分法. .求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)兰州交通大学数理与软件工程学院四、总结四、总结本节基本概念：本节基本概念：微分方程；微分方程；微分方程的阶；微分方程的阶；微分方程的解；微分方程的解；通解通解; ; 初始条件；初始条件； 特解；特解；初值问题；初值问题； 积分曲线积分曲线
