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1、空间向量法解决立体几何问题数学专题二1、判断直线、平面间的位置关系；、判断直线、平面间的位置关系； (1)直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。、求解空间中的距离。 利用空间向量解决立体几何问题，是利利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展。主要用平面向量解决平面几何问题的发展。主要变化是维数增加了，讨论的对象由二维图形变化是维数增加了，讨论的对象由二维图形变为三维图形。变为三维图形。 为了用空间向量解
2、决立体几何问题，首为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来。出来。 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为为直线的方向向量直线的方向向量。如图，在空间直角坐标系中，由。如图，在空间直角坐标系中，由A(x1,y1,z1)与与B(x2,y2,z2)确定的直线确定的直线AB的方向向量是：的方向向量是：zxyABnv如果表示向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平的有向线段所在的直线垂直于平面面,称这个向量垂直于平面称这个向量垂直于平面,记作记作n,这时向量这时向量n叫做叫做
3、平面平面的法向量的法向量. 1、如何确定一个点在空间的位置？、如何确定一个点在空间的位置？OP2、如何确定一条直线在空间的位置？、如何确定一条直线在空间的位置？3、如何确定一个平面在空间的位置？、如何确定一个平面在空间的位置？O 因为方向向量与法向量可以确因为方向向量与法向量可以确定直线和平面向量，所以我们可以定直线和平面向量，所以我们可以利用利用直线的方向向量直线的方向向量和和平面的法向平面的法向量量表示空间直线、平面间的平行、表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系垂直、夹角等位置关系。 设直线设直线 的方向向量为分别为的方向向量为分别为 ，平面，平面 的法向量分别为的法向量分别为
4、1、设、设 分别是直线分别是直线 的方向向量，根据下列条的方向向量，根据下列条件判断直线件判断直线 的位置关系。的位置关系。2、设、设 分别是平面分别是平面 的法向量，根据下列条件的法向量，根据下列条件判断平面判断平面 的位置关系。的位置关系。定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。则这两个平面平行。已知：直线已知：直线 和平面和平面 ，其中，其中 ， 相交，相交， ，求证：求证：1、已知、已知A（1，0，1），），B（0，1，1），），C（1，1，0），求平面），求平面ABC的一个法向量。的一个法向量。依题意得：依题意
5、得：解：设平面解：设平面ABC的一个法向量的一个法向量 ，令令 ， 则则所以，平面所以，平面ABC的一个法向量为的一个法向量为1v第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).v第二步(列):根据na = 0且nb = 0可列出方程组v第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.v第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标. v2、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量. A AABCDOA1B1C1D1zxy解：以解：以A为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）（如图）
6、,设平面设平面OA1D1的法向量的法向量为的法向量的法向量为n=(x,y,z), 则则O（1，1，0），），A1（0，0，2），），D1（0，2，2）由由 =（-1，-1，2），）， =（-1，1，2）得得 ，解得，解得 取取z =1得平面得平面OA1D1的法向量的坐标的法向量的坐标n=(2,0,1).v2、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量. A AABCDOA1B1C1D1zxy解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2
7、，2）由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）得 ，解得 取z =1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).二二.立体几何问题的类型及解法立体几何问题的类型及解法v1.判定直线、平面间的位置关系v(1)直线与直线的位置关系v 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b. 若ab,即a=b,则ab. 若ab,即ab = 0,则abababv例例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求证: C C1BDA1B1C1D1CBADv证明：设 a, b, c,v依题意有| a |=| b |，v于是 a bv = c (a b)
8、= ca cbv = |c|a|cos|c|b| cos=0v C C1BD v(2)直线与平面的位置关系v 直线L的方向向量为a,平面的法向量为n,且L . v若an,即a =n,则 L v若an,即an = 0,则a .nanaLLv例例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,vD,E分别是AC,CC1的中点,求证:v(I)A1E 平面DBC1;v(II)AB1 平面DBC1A1C1B1ACBEDzxyv解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则vA(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C
9、1(1,0,2).v设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则v 解之得 ，v取z = 1得n=(-2,0,1)v(I) =- n,从而A1E 平面DBC1v(II) ,而 n =-2+0+2=0vAB1 平面DBC1v(3)平面与平面的位置关系v平面的法向量为n1 ,平面的法向量为n2v n1v n1 n2v n2v若n1n2,即n1=n2,则v若n1n2,即n1 n2= 0,则v例例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面AED面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1v 证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A- xyz, 设正方体的棱长为
10、2,则E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0),v于是v设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得v 解之得 v取z=2得n1=(-1,0,2)v同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1)vn1 n2 = -2+0+2=0v面AED面A1FD2.求空间中的角v(1)两异面直线的夹角v利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.v例例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_. BC
11、 A MxzyB1C1D1A1CDv解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标系A- xyz, 设正方体的棱长为2,则vM(1,0, 0),C(2,2,0), B1(2, 0, 2),D(0,2 ,0),v于是, vcos=.v(2)直线与与平面所成的角v若n是平面的法向量, a是直线L的方向向量,则L与所成的角= -或= - (下图) .v n a avvv v于是,v因此nv例例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBOv解:建立如图示的直角坐标系,则vA( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0,). C(- ,0,
12、 )v设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)v由 得 v ，解得 ，v取y= ,得n=(3, ,0)v而vvv（3）二面角v设n1 、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n1 、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.n1n1n2n2v例例7在四棱锥S-ABCD中DAB=ABC=90，侧棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的余弦值.BCzxyABCDS解：建立如图所示的空间直角坐标系
13、O-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）. v设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由v 得v n1=(1,1,2). v而面SAD的法向量n2 = (1,0,0).v于是二面角A-SD-C的大小满足v v二面角A-SD-C的余弦值为.3.求解空间中的距离v(1)异面直线间的距离v两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.v如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n, 这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.v v即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两
14、两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值线的方向向量模的比值.nabABv例例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A1v解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由 ,得v n=(-1,-1,2). v v ,v异面直线AC1与BD间的距离v(2)点到平面的距离vA为
15、平面外一点(如图), n为平面的法向量,过A作平面的斜线AB及垂线AH.v v =v = . v于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值的比值.nABHv例例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90,v求B1到面A1BC的距离.zxyCC1A1B1ABv解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz ,则 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1, ). 设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由
16、得v n=(- ,0,1). v v , vv或 ,vv或 ,vv可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关. v会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.v例例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB= 4, ABC=60, 侧棱PA底面AC且PA= 4,E是PA的中点,求PC与平面BED间的距离. xzyPBEADCF解:以A为原点、AB为x轴、ACD中CD边上的高AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则Fv为CD的中点,于是vA(0,0,0) , B(4,0,0), F(0,2 ,0), C(2, 2 ,0), vD(-2,
17、 2 ,0), P(0,0,4), E(0,0,2).v设面BED的法向量n=(x,y,z),由v 得 v n=(1, ,2).vvn 2+6-8=0，故PC面BED, vPC到面BED的距离就是P到面BED的距离,vv.v空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题量运算解决立体几何问题 。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。
