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1、第五章积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分定积分 第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 定积分的性质定积分的性质定积分的概念及性质 一、定积分问题举例一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成 ,求其面积 A .矩形面积梯形面积解决步骤解决步骤 :1) 大化小大化小.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底 ,为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3) 近似和近似和.4) 取
2、极限取极限. 令则曲边梯形面积2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1) 大化小大化小.将它分成在每个小段上物体经2) 常代变常代变.得已知速度n 个小段过的路程为3) 近似和近似和.4) 取极限取极限 .上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限二、定积分定义二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数在区间上的定积分定积分,即此时称 f ( x ) 在 a , b 上可可积积 .
3、记作积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量用什么字母表示无关 , 即定积分的几何意义定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和定理定理1.定理定理2.且只有有限个间断点 可积的充分条件可积的充分条件:(证明略)例例1. 利用定义计算定积分解解: 将 0,1 n 等分, 分点为取例例2. 用定积分表示下列极限:解解:说明说明:根据定积分定义可得如下近似计算方法:将 a , b 分成 n 等份: (左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森公式, 复化求积公式等, 并
4、有现成的数学软件可供调用.三、定积分的性质三、定积分的性质(设所列定积分都存在)( k 为常数)证证:= 右端证证: 当时,因在上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,于是当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如则有6. 若在 a , b 上则证证:推论推论1. 若在 a , b 上则推论推论2.证证:即7. 设则例例3. 试证:证证: 设则在上 , 有即故即8. 积分中值定理积分中值定理则至少存在一点使证证:则由性质性质7 可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.说明说明: 可把故它是有限个数的平均值概念的推广. 积分中值定理对因例例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度. 解解: 已知自由落体速度为故所求平均速度内容小结内容小结1. 定积分的定义 乘积和式的极限2. 定积分的性质3. 积分中值定理矩形公式 梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算
