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1、18.2平行四边形的判定第2课时1.1.熟记平行四边形的判定定理熟记平行四边形的判定定理3 3：对角线互相平分的四边形是：对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形.(.(重点重点) )2.2.能根据平行四边形的判定定理能根据平行四边形的判定定理3 3，判定一个四边形是否是平，判定一个四边形是否是平行四边形行四边形.(.(重点重点) )3.3.综合应用平行四边形的性质和判定定理解决几何问题综合应用平行四边形的性质和判定定理解决几何问题.(.(重点、重点、难点难点) )一、平行四边形的判定定理一、平行四边形的判定定理3 3如图，先将如图，先将ACAC，BDBD的中点重合并钉好，然后再将另外四条
2、木棒的中点重合并钉好，然后再将另外四条木棒钉好钉好. .【思考思考】(1)(1)图图中中AOBAOB与与CODCOD全等全等吗吗？AODAOD和和COBCOB呢？呢？提示：提示：点点O O分别是分别是ACAC，BDBD的中点，的中点，AO=COAO=CO，BO=DOBO=DO，又，又AOB=CODAOB=COD，AOBCOD(S.A.S.)AOBCOD(S.A.S.)，同理，同理AODCOB.AODCOB.(2)AB(2)AB与与CDCD，ADAD与与BCBC有何位置关系？有何位置关系？为为什么？什么？提示：提示：由问题由问题(1)(1)知，知，AOBCODAOBCOD，BAO=DCOBAO=
3、DCO，由内由内错角相等，两直线平行，得错角相等，两直线平行，得ABCDABCD，同理，同理ADBC.ADBC.(3)(3)根据根据(2)(2)可以得四可以得四边边形形ABCDABCD是什么四是什么四边边形？形？提示：提示：由问题由问题(2)(2)知知ABCDABCD，BCDABCDA，由平行四边形的定义得，由平行四边形的定义得四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .【总结总结】判定定理判定定理3 3：对角线：对角线_的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形. .二、平行四边形的其他判定方法二、平行四边形的其他判定方法两组对角两组对角_的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形
4、. .互相平分互相平分分别相等分别相等 ( (打打“”“”或或“”)”)(1)(1)对角线互相垂直的四边形是平行四边形对角线互相垂直的四边形是平行四边形.( ).( )(2)(2)四边形四边形ABCDABCD的两条对角线的两条对角线ACAC，BDBD交于点交于点O O，且，且AO=COAO=CO，则四边形则四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.( ).( )(3)(3)对角线相等的四边形是平行四边形对角线相等的四边形是平行四边形.( ).( )(4)(4)两组角相等的四边形是平行四边形两组角相等的四边形是平行四边形.( ).( )知识点知识点 1 1 从从对对角角线线的角度判定平行四
5、的角度判定平行四边边形形 【例例1 1】已知如已知如图图，E E，F F是平行四是平行四边边形形ABCDABCD对对角角线线ACAC上的两点，上的两点，并且并且AE=CF.AE=CF.求求证证：四：四边边形形BFDEBFDE是平行四是平行四边边形形. .【解题探究解题探究】(1)(1)若利用若利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四证明四边形边形BFDEBFDE是平行四边形，需要作辅助线：连结是平行四边形，需要作辅助线：连结BDBD交交EFEF于点于点O.O.(2)(2)因为四边形因为四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，所以所以AO=AO
6、=_，BO=BO=_. .因为因为AE=CFAE=CF，所以所以AO-AE=CO-AO-AE=CO-_，所以所以_= =_. .又又BO=BO=_，所以四边形，所以四边形BFDEBFDE是平行四边形是平行四边形. .COCODODOCFCFEOEOFOFODODO【总结提升总结提升】判定平行四边形的方法选择判定平行四边形的方法选择已知条件已知条件证明思路证明思路一组对边相等一组对边相等1.1.另一组对边也相等另一组对边也相等2.2.相等的边也平行相等的边也平行一组对边平行一组对边平行1.1.另一组对边也平行另一组对边也平行2.2.平行的边也相等平行的边也相等一组对角相等一组对角相等另一组对角也
7、相等另一组对角也相等对角线相交对角线相交对角线互相平分对角线互相平分知识点知识点 2 2 平行四平行四边边形的性形的性质质与判定的与判定的综综合合应应用用 【例例2 2】(2012(2012沈阳中考沈阳中考) )已知，如已知，如图图，在平行四，在平行四边边形形ABCDABCD中，中，延延长长DADA到点到点E E，延，延长长BCBC到点到点F F，使得，使得AE=CFAE=CF，连结连结EFEF，分，分别别交交ABAB，CDCD于点于点M M，N N，连结连结DMDM，BN.BN.(1)(1)求证：求证：AEMCFN.AEMCFN.(2)(2)求证：四边形求证：四边形BMDNBMDN是平行四边
8、形是平行四边形. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)ABCDADBCABCDADBC，DAB=BCDDAB=BCD，E=FE=F，EAM=FCNEAM=FCN，AE=CF AE=CF AEMCFN.AEMCFN.(2)(2)ABCD ABCD ABCDABCD，AB=CD AB=CD BMDNBMDN，BM=DN BM=DN 结论结论. .【自主解答自主解答】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，DAB=BCDDAB=BCD，EAM=FCNEAM=FCN，ADBCADBC，E=FE=F，AE=CFAE=CF，AEMCFN.AEMCFN.(2)(2)由由(1)(1)
9、得得AM=CNAM=CN，又又四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ABCDABCD，AB=CDAB=CD，BMDNBMDN，BM=DNBM=DN，四边形四边形BMDNBMDN是平行四边形是平行四边形. .【总结提升总结提升】平行四边形性质与判定的应用平行四边形性质与判定的应用(1)(1)利用平行四边形的性质与判定可解决以下问题：利用平行四边形的性质与判定可解决以下问题：求线段的长，证明线段相等或平行，证明线段的倍分关系求线段的长，证明线段相等或平行，证明线段的倍分关系. .求角的度数，证明角相等或互补等求角的度数，证明角相等或互补等. .(2)(2)利用平行四边形的性质与判
10、定解决问题时，有时需要先证利用平行四边形的性质与判定解决问题时，有时需要先证一个四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质去解题一个四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质去解题. .题组一：题组一：从对角线的角度判定平行四边形从对角线的角度判定平行四边形1.(20131.(2013泸州中考泸州中考) )四边形四边形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC，BDBD相交于点相交于点O O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( () )A.ABDCA.ABDC，ADBCADBCB.AB=DCB.AB=DC，AD=BCAD=BCC.AO=C
11、OC.AO=CO，BO=DOBO=DOD.ABDCD.ABDC，AD=BCAD=BC【解析解析】选选D.AD.A中两组对边分别平行，则该四边形是平行四边中两组对边分别平行，则该四边形是平行四边形，形，A A正确；正确；B B中两组对边分别相等，则该四边形是平行四边形，中两组对边分别相等，则该四边形是平行四边形，B B正确正确.C.C中对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，中对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，C C正确；正确；D D中四边形中四边形ABCDABCD的一组对边平行，另一组对边相等，不能判定的一组对边平行，另一组对边相等，不能判定该四边形是平行四边形，该四边形是平行四边形，D
12、 D错误错误. .2.2.四四边边形形ABCDABCD，ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，如果，如果给给出条件出条件ABCDABCD，那么，那么还还不能判定四不能判定四边边形形ABCDABCD为为平行四平行四边边形，以下形，以下说说法正确的是法正确的是( () )如果再加上条件如果再加上条件BC=ADBC=AD，那么四，那么四边边形形ABCDABCD一定是平行四一定是平行四边边形；形；如果再加上条件如果再加上条件AO=COAO=CO，那么四，那么四边边形形ABCDABCD一定是平行四一定是平行四边边形；形；如果再加上条件如果再加上条件DBA=CABDBA=CAB，那么四，那么四边边形
13、形ABCDABCD一定是平行四一定是平行四边边形形. .A.A. B. B. C. C.D.D.【解析解析】选选C.C.不一定是平行四边形不一定是平行四边形.可判定可判定ABOABOCDOCDO，就有，就有AB=CDAB=CD，故可判定为平行四边形，正确，故可判定为平行四边形，正确.不一定不一定是平行四边形是平行四边形. .3.3.在四在四边边形形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，ADBCADBC，ACAC与与BDBD相交于点相交于点O.O.若若AC=6AC=6，则线则线段段AOAO的的长长度等于度等于. .【解析解析】因为因为ABCDABCD，ADBCADBC，所以四边形，所以四边形
14、ABCDABCD是平行四边是平行四边形，形，AO= AC=3.AO= AC=3.答案：答案：3 34.4.已知：如已知：如图图，在四，在四边边形形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，对对角角线线ACAC，BDBD相交于点相交于点O O，BO=DO.BO=DO.求求证证：四：四边边形形ABCDABCD是平行四是平行四边边形形. .【证明证明】ABCDABCD，ABO=CDOABO=CDO，BAO=DCO.BAO=DCO.又又BO=DOBO=DO，AOBCODAOBCOD，AB=CDAB=CD，四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .5.5.已知：如图，平行四边形已知：如图
15、，平行四边形ABCDABCD中，中，M M，N N分别是分别是CDCD，ABAB上的点，上的点，E E，F F是是ACAC上两点，若上两点，若CM=ANCM=AN，AE=CFAE=CF，试说明：四边形，试说明：四边形MENFMENF是平是平行四边形行四边形. .【解析解析】如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，中，CDABCDAB，所以所以1=2.1=2.在在CMFCMF和和ANEANE中，中，CM=ANCM=AN，1=21=2，CF=AECF=AE，所以所以CMFANECMFANE，所以所以MF=NEMF=NE，MFC=NEAMFC=NEA，所以所以MFE=NEFMFE=N
16、EF，所以所以MFNE.MFNE.又因为又因为MF=NEMF=NE，所以四边形所以四边形MENFMENF是平行四边形是平行四边形. .【一题多解一题多解】如图，连结如图，连结MNMN交交ACAC于于O O，连结，连结AMAM，CN.CN.在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，中，DCAB.DCAB.因为因为CM=ANCM=AN，所以四边形所以四边形AMCNAMCN是平行四边形，是平行四边形，所以所以OM=ONOM=ON，OA=OC.OA=OC.因为因为AE=CFAE=CF，所以所以OA-AE=OC-CFOA-AE=OC-CF，即，即OE=OF.OE=OF.又因为又因为OM=ONOM=ON
17、，所以四边形所以四边形MENFMENF是平行四边形是平行四边形. .题组题组二：二：平行四平行四边边形的性形的性质质与判定的与判定的综综合合应应用用1.1.如如图图，ABCABC中，中，ABC=BACABC=BAC，D D是是ABAB的中点，的中点，ECABECAB，DEBCDEBC，ACAC与与DEDE交于点交于点O.O.下列下列结论结论中，不一定成立的是中，不一定成立的是( () )A.AC=DEA.AC=DEB.AB=ACB.AB=ACC.AD=ECC.AD=ECD.OA=OED.OA=OE【解析解析】选选B.ECABB.ECAB，DEBCDEBC，四边形四边形BDECBDEC是平行四边
18、形，是平行四边形，BD=CEBD=CE，B=E.B=E.又又ABC=BACABC=BAC，CEO=DAO.CEO=DAO.又又D D是是ABAB的中点，的中点，AD=BDAD=BD，AD=CEAD=CE，AODCOEAODCOE，OA=OE.OA=OE.BC=DEBC=DE，BC=ACBC=AC，AC=DE.AC=DE.而而AB=ACAB=AC无法证得无法证得. .2.2.四四边边形形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，要使四，要使四边边形形ABCDABCD为为平行四平行四边边形，需形，需要增加条件要增加条件( (只需填上一个你只需填上一个你认为认为正确的即可正确的即可).).【解析解析
19、】由由ADBCADBC，可以添加条件，可以添加条件AD=BCAD=BC或或ABCDABCD或或A=CA=C可可以使四边形以使四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形. .答案：答案：AD=BC(AD=BC(或或ABCDABCD或或A=C)A=C)3.3.如图，在如图，在ABCDABCD中，点中，点E E，F F分别在边分别在边ADAD，BCBC上，且上，且BEDFBEDF，若若EBF=45EBF=45，则，则EDFEDF的度数是的度数是度度. .【解析解析】四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ADBC.ADBC.又又BEDFBEDF，四边形四边形BFDEBFDE是平行
20、四边形，是平行四边形，EDF=EBF=45.EDF=EBF=45.答案：答案：45454.4.已知：如图，在已知：如图，在ABCDABCD中，点中，点E E在在ADAD上，连结上，连结BEBE，DFBEDFBE交交BCBC于点于点F F，AFAF与与BEBE交于点交于点M M，CECE与与DFDF交于点交于点N.N.求证：四边形求证：四边形MFNEMFNE是平行四边形是平行四边形. .【证明证明】四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，AD=BCAD=BC，ADBC.ADBC.又又DFBEDFBE，四边形四边形BEDFBEDF是平行四边形是平行四边形. .DE=BF.DE=BF
21、.AD-DE=BC-BFAD-DE=BC-BF，即，即AE=CF.AE=CF.又又AECFAECF，四边形四边形AFCEAFCE是平行四边形是平行四边形. .MFNEMFNE，四边形四边形MFNEMFNE是平行四边形是平行四边形. .【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，中，ACAC交交BDBD于于点点O O，点，点E E，点，点F F分别是分别是OAOA，OCOC的中点，请判断线段的中点，请判断线段BEBE，DFDF的关的关系，并说明你的结论系，并说明你的结论. .提示：提示：线段线段BEBE，DFDF的关系包括位置关系和数量关系，本题只说的关系包括位置关系和数量关系，本题只说明了位置关系，遗漏数量关系明了位置关系，遗漏数量关系BE=DF.BE=DF.
