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1、无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究函数性质研究函数性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数付氏级数付氏级数第九章 无穷级数 第一节第一节 常数项级数的概念与基常数项级数的概念与基本性质本性质一、级数的概念一、级数的概念二、级数的基本性质二、级数的基本性质三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件一尺之椎，日取其半，永世不竭一尺之椎，日取其半，永世不竭 . , 一、级数的概念一、级数的概念1. 级数的定义级数的定义:称为称为(实实)常数项无穷级数常数项无穷级数 . 简称简称(实数项实数项)级数级数 . (4) sn 称为级数的部分和数列
2、称为级数的部分和数列 .称为级数的前称为级数的前 n 项部分和项部分和 . 问题：问题：上述级数定义中的上述级数定义中的“和式和式”只是形式上的，只是形式上的，该如何理解无穷多个数量相加呢？该如何理解无穷多个数量相加呢？2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散:(1) 若级数的部分和数列若级数的部分和数列 sn 有极限有极限 s , (有限数有限数)(2) 若部分和数列若部分和数列sn没有极限没有极限 , 常数项级数收敛常数项级数收敛存在存在 (不存在不存在)(发散发散)(3) 余项余项显然，级数收敛则其每个余项收敛；显然，级数收敛则其每个余项收敛； 级数是以级数是以“和和”的形式出现的一个特殊
3、数列的形式出现的一个特殊数列(部分和部分和数列数列)的极限，本质上是一个极限的极限，本质上是一个极限. 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性, 可以先求可以先求 sn , 再求再求 . 解解 级数级数发散发散; 级数级数发散发散; 级数级数收敛收敛;级数级数发散发散. 综上综上的收敛性的收敛性 . . 例例2 2 判别无穷级数判别无穷级数解解技巧技巧 可利用将通项可利用将通项 an 拆项以求出拆项以求出 sn . . 解解例例3 3 判别无穷级数判别无穷级数 的收敛性的收敛性 . . 技巧技巧 可利用对数运算性质求出可利用对数运算性质求出 sn . . 例例4 4 证明调和级数证明调和级数 发散
4、发散. . 课本课本 Page 230 例例3 证明证明 假设调和级数收敛于假设调和级数收敛于 S , 则有则有但但矛盾矛盾! 所以假设不真所以假设不真 . 故故调和级数调和级数 发散发散. . 解解练习：练习： 判别无穷级数判别无穷级数 的收敛性的收敛性 . . 技巧技巧 可利用等比数列求和公式求出可利用等比数列求和公式求出 sn . . 二、级数的基本性质二、级数的基本性质证明证明在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性.结论结论: : 级数的每一项同乘一个非零常数级数的每一项同乘一个非零常数, ,敛散性不变敛散性不变. .结论结论: : 收
5、敛级数可以逐项相加或逐项相减收敛级数可以逐项相加或逐项相减. .思考思考:注意注意收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛. 收敛收敛 发散发散推推论论 如如果果加加括括号号后后所所成成的的级级数数发发散散 , 则则原原来来级级数数也发散也发散.性质性质4 收敛级数任意加括号后所成的级数仍然收敛级数任意加括号后所成的级数仍然收敛于原来的和收敛于原来的和.例例1 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性 . . 注注 当级数的通项为若干项之和时当级数的通项为若干项之和时, 可分别考虑以可分别考虑以 其其中每一项为通项的级数的敛散性中每一项为通项的级数的敛散性, 再
6、利用级数逐项再利用级数逐项相加相加(减减)的性质的性质. ( (收敛收敛) )( (发散发散) )例例2 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性 . . 解解 考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数发散发散, , 从而原级数发散从而原级数发散 . .三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件证明证明可见可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 . 级数级数发散发散.注意注意并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件. .但此级数发散但此级数发散. .例例1 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性 . . ( (三个级数均发散三个级数均发散) )注注(4) 判断级数判断级数 的敛散性的敛散性 . . ( (发散发散) )四、小结四、小结常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念级数的基本审敛法级数的基本审敛法3. 按基本性质按基本性质. 杂例：杂例：例例1的收敛性的收敛性 . . 例例2的收敛性的收敛性 . . 例例3例例4练习练习解解: (1) 令令则则故故从而从而这说明级数这说明级数(1) 发散发散.判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和若收敛求其和:因因进行拆项相消进行拆项相消这说明原级数收敛这说明原级数收敛 , 其和为其和为(2) 练习题练习题练习题答案练习题答案
