动态电路的方程及其解

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1、第第 12 讲动态电路的方程及其解讲动态电路的方程及其解 、电路的初始值一、动态电路方程一、动态电路方程1、动态电路方程动态电路方程：在 动态电路中， 除有电阻、 电源外， 还有动态元件(电容、电感)，而动态元件的电流与电压的约束关系是导数与积分关系， 因此根据KCL 、KVL和元件的VCR所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分积分方程。 如果电路中的无源元件都是线性时不变的，那么动态电路方程是线性常系数微分方程。 2、一阶电路一阶电路：只有一个动态元件的电路， 其电路方程为一阶微分方程， 故称为一阶电路。3、n阶电路阶电路：含有n个独立的动态元件的电路， 其电路方程为n阶微分方

2、程， 称为n阶电路。R0i(t)Cu uoc oc(t)(t)u uR R0 0(t) (t)u uc c(t) (t)G0i(t)Ci isc sc(t)(t)u uc c(t) (t)若给定初始条件以及若给定初始条件以及tt0时的时的uoc(t)或或i isc(t),便可由方程解得便可由方程解得tt0时的时的uc(t) ,然后然后用置换定理将电容置换为电压源求得所用置换定理将电容置换为电压源求得所有的电压、电流。有的电压、电流。)()()(0tututuoccR=+)()(0tutudtduCRoccc=+)()(0tituGdtduCsccc=+N1i(t)Cu uc cN2若给定初始条

3、件以及若给定初始条件以及tt0时的时的uoc(t)或或i isc(t),便可由方程解得便可由方程解得tt0时的时的uL(t) ,然后用然后用置换定理将电感置换为电流置换定理将电感置换为电流源源求得所有的电压、电流。求得所有的电压、电流。对于电感同理可得：对于电感同理可得：状态变量状态变量：电容电压和电感电流电容电压和电感电流状态变量状态变量：指一组最少的变量，若已知它们在：指一组最少的变量，若已知它们在t0时的数值（初时的数值（初始条件），则连同所有在始条件），则连同所有在tt0时的输入就能确定在时的输入就能确定在tt0时电路中时电路中的任何电路变量。的任何电路变量。)()(00tiidtdi

4、LGtuiRdtdiLscLLocLL=+=+R0i(t)Lu uoc oc(t)(t)u uR R0 0(t)(t)u uL L(t)(t)+-G0i(t)Li isc sc(t)(t)u uL L(t)(t)二阶电路二阶电路GiLCi is su uLiCiGiC+ iG + iL= iS iC = iGuG=iL-=tduL)(1uG+duLt)(1=+-iSu1RC+duLCt)(1=+-iSdtdu1C1RC+uLC1=+iSdtd2u1Cdtdudtd建立动态方程的一般步骤建立动态方程的一般步骤是：是： (1) 根据电路建立根据电路建立KCL或或/和和KVL方程，写出各元件的伏安关

5、方程，写出各元件的伏安关系；系； (2) 在以上方程中消去中间变在以上方程中消去中间变量，得到所需变量的微分方程。量，得到所需变量的微分方程。二二. 电路的过渡过程（是动态电路的一个特征）电路的过渡过程（是动态电路的一个特征）1、过渡过程、过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。K未动作前未动作前i = 0 , uC = 0i = 0 , uC= Usi+uCUsRCK+uCUsRCi t = 0K接通电源后很长时间接通电源后很长时间 2、过渡过程产生的原因、过渡过程产生的原因换路：换路： 电路中开关的闭合、断开电路中开关的闭合、

6、断开或电路参数突然变化统称或电路参数突然变化统称为为换路换路。使电路由原来的工作使电路由原来的工作状态转变到另一个工状态转变到另一个工作状态（稳态）作状态（稳态）4、 稳态分析和动态分析的区别稳态分析和动态分析的区别稳稳 态态 动动 态态换路发生很换路发生很长长时间时间换路换路刚刚发生发生iL 、 uC 随时间随时间变变化化代数代数方程组描述电路方程组描述电路微分微分方程组描述电路方程组描述电路IL、 UC 不变不变3、 换路时刻换路时刻：闭合时刻在闭合时刻在t=0进行进行t=0_，开关未合上但将合上的瞬间开关未合上但将合上的瞬间t=0+，开关合上但刚刚合上的瞬间开关合上但刚刚合上的瞬间K+u

7、CUsRCi t = 0bat0+t0_换路经历的时间为换路经历的时间为t=0_t=0_到到t=0t=0+ +=sabUU0三、三、 固有响应和强迫响应、暂态响应和稳态响应固有响应和强迫响应、暂态响应和稳态响应 如果将独立源(uS和iS)作为激励， 用f(t)表示， 把电路变量(u或i)作为响应，用y(t)表示，则描述一阶和二阶动态电路的方程的一般形式可分别写为(有时等号右端还有f(t)的导数)()()(00tfbtyadttdy=+和)()()()(00122tfbtyadttdyadttdy=+对于线性时不对于线性时不变动态电路，变动态电路，a0、 a1 、 b0等等都是常数。都是常数。

8、线性常系数微分方程的解由两部分组成： y(t) = yh(t) + yp(t) 齐次方程的通解齐次方程的通解（齐次解）（齐次解）满足非齐次方程的特解对于)()()(00tfbtyadttdy=+特征方程为：s+ a0 =0， 特征根s=- a0 ， 故齐次解为yh(t)=Kest= Ke - a0 t（ K为待定常数，由初始条件确定）而特解与激励有相似的形式。对于)()()()(00122tfbtyadttdyadttdy=+其齐次解yh (t)的函数形式由其特征方程 s2 + a1 s+ a0 =0 的根(即特征根) s1 、 s2确定。 表3 - 1中列出了特征根s1 、 s2为不同取值时

9、的相应齐次解。而特解与激励有相似的形式。表3 -2列出了常用激励形式与其所对应的特解Yp(t)。当特解形式确定后，将其代入原微分方程，求出待定常数Ai，则特解就确定了。 例 3.2 1 如图3.2 -3的RC电路，当t=0时开关闭合，若电容的初始电压uC(0)=U0，电压源Us为常数，求t0时的uC (t)。 解： (1) 建立电路方程。当t0时，开关已闭合，由KCL有 uR + uC = Us 由于i=iC=C 故 uR =Ri=RC ， 将它代入上式， 并除以RC，得 令=RC（称为时间常数）， 则 (2) 求齐次解uCh。的特征方程为其特征根s= -1/， 故uC的齐次解为 uCh =K

10、e st=Ke -t/ (3) 求特解uCp。由于激励US为常数，故特解也是常数。 令uCp =A，并将它代入电路方程， 得故得uS 的特解 uCp (t)=A= US (4) 求完全解。 电容电压的完全解为 uc(t)= uch(t)+ ucp(t)=Ke + US （t0） -t/式中常数K由初始条件确定。 当t=0时， 由上式和给定的初始电压，得 uc (0)=K+ US = U0 可解得K= U0 - US ，故得完全解为sCR- tsUeUUtuc+-=)()(0（t0）固有响应固有响应强迫响应强迫响应US强迫响应强迫响应U0-US固有响应固有响应U0全响应全响应0tuCU0USUS

11、强迫响应强迫响应U0-US固有响应固有响应U0全响应全响应固有响应：固有响应：决定于特征根，决定于特征根， 仅仅与电路的结构和元件的参数有关，与电路的结构和元件的参数有关，反映了电路的固有特征。反映了电路的固有特征。强迫响应：强迫响应：是外部激励作用的结是外部激励作用的结果，果， 它与激励有相同的函数形它与激励有相同的函数形式。式。暂态响应和稳态响应暂态响应和稳态响应sCR- tsUeUUtuc+-=)()(0（t0）按指数规律衰减，当t趋近于无限大时， 该项衰减为零， 称为暂态响应暂态响应任何时刻都保持稳定， 它是t趋近于无限大时，暂态响应衰减为零时的响应，称为稳态响应稳态响应注意注意：与把

12、完全响应分为固有响应和强迫响应不同， 将完全响应区分为暂态响应和稳态响应是从电路响应的波形上来观察的。 当换路时，如果接入的激励为直流或周期信号直流或周期信号(如正弦信号、方波信号等)， 可将完全响应区分为暂态响应和稳态响应。否则无意义。四、电路的初始值四、电路的初始值 所描述的线性时不变动态电路的方程是常系数线性微分方程，在求解常微分方程时，需要根据给定的初始条件确定解答中的待定常数。独独立立初初始始值值与非非独独立立初初始始值值：n阶微分方程就需要n个初始条件，它们是所求变量(电压或电流)及其1， 2， ， (n-1)阶导数在t=0+时的值(设换路时刻t=t0=0)， 也称为初始值。其中电

13、容电压和电感电流的初始值uC(0+)和iL(0+)由初始储能决定，称为独立的初始值或初始状态， 其余各变量(如iC ， uL， iR ， uR等)的初始值称为非独立的初始值，它们将由激励(电压源或电流源)以及独立初始值uC (0+)和iL (0+)来确定。 1、独立初始值、独立初始值换路定律换路定律 电容电压和电感电流反映了电路储能的状况， 它们都具有连续的性质。 设换路时刻为t=t0， 电容电流iC和电感电压uL在t=t0时为有限值，则换路前后瞬间电容电压uC和电感电流iL;是连续的，即有 uC(t0+)= uC(t0-) iL(t0+)= iL (t0-) 上式称为换路定律换路定律。2、

14、非独立初始值非独立初始值 除独立初始值uC(t0+ )、iL(t0+ )以外的各电流、 电压的初始值，称为非独立初始值，可根据激励和已求得的独立初始值求得。方法方法：采用替代定理画出初始值等效电路电路（0+等等值电路值电路），再采用求解电阻电路的各种方法求解。(2) 由换路定律由换路定律 uC (0+) = uC (0-)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路等效电路(1) 由由0-电路求电路求 uC(0-)+-10V+uC-10k40kuC(0-)=8V(3) 由由0+等效电路求等效电路求 iC(0+)例例1+-10ViiC+uC-k10k40k求求 iC(0+)iC(0-)=0

15、iC(0+) iL(0+)= iL(0-) =2A例例 2iL+uL-L10VK1 4 t = 0时闭合开关时闭合开关k , 求求 uL(0+)+uL-10V1 4 0+电路电路2A求初始值的步骤求初始值的步骤1. 由换路前电路（稳定状态）求由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和和 iL(0-)。2. 由换路定律得由换路定律得 uC(0+) 和和 iL(0+)。3. 画画0+等值电路。等值电路。 电容电容（电感电感）用）用电压源电压源（电流源电流源）替代。）替代。 取取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、时刻值，方向同原假定的电容电压、 电感电流方向。电感电流方向。4. 由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。例例3K(t=0)+ +uLiLC+ +uCLRISiC求求 iC(0+) , uL(0+)iL(0+) = iL(0-) = ISuC(0+) = uC(0-) = RIS0+电路电路uL+iCRISR IS+uL(0+)= - RIS第第 12 讲动态电路的方程及其解讲动态电路的方程及其解 、电路的初始值结结 束束作业：作业：P190 3-14、 3-17预习预习: 动态电路的响应动态电路的响应