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1、第二节第二节离散型随机变量离散型随机变量一、离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量的概率分布 定义定义2.1称为离散型随机变量的称为离散型随机变量的概率分布或分布律概率分布或分布律.分布律还可以简单地表示为：分布律还可以简单地表示为： 分布律具有以下性质分布律具有以下性质:Xx1x2 xkPp1p2 pk例例1解解X的分布律为的分布律为:例例2 2 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯个信号灯, , 每个信号灯以每个信号灯以1/21/2的概率允许或禁止的概率允许或禁止汽车通过汽车通过. .以以X X表示汽车首次停下时表示汽车首次停下时, ,它已通
2、过的它已通过的信号灯数信号灯数( (设各信号灯的工作是相互独立的设各信号灯的工作是相互独立的),),求求X X的分布律的分布律. .解解以以p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率表示每个信号灯禁止汽车通过的概率,易易知知X的分布律为的分布律为X01234Pp(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4X01234P0.50.250.1250.06250.0625解解由分布律的性质由分布律的性质,得得二、几种重要的离散分布二、几种重要的离散分布1.1. 两点分布两点分布( (0-10-1分布分布) )XabPk1-pp如如果果随随机机变变量量X只只取取两两个个值值,就就称称X服服从从两两点点
3、分分布布,一般两点分布取值为一般两点分布取值为a和和b,分布律为分布律为:如果如果a=0,b=1,则称则称X服从服从0-1分布分布,记作记作X01Pk0.550.45X01Pk0.10.6+0.3则则X服从服从0-1分布分布,其分布律为其分布律为解解令令例例2商商店店里里有有10张张同同类类CD片片,其其中中6张张为为一一级级品品,3张张为为二二级级品品,1张张为为不不合合格格品品.顾顾客客购购买买时时任任取取其其中中一一张张,求取得合格品的概率求取得合格品的概率.例例3在在100件产品中件产品中,有有95件正品件正品,5件次品件次品.现从中现从中随机地取一件随机地取一件,假如取到每件产品的机
4、会都相等假如取到每件产品的机会都相等.若定义随机变量若定义随机变量X为为则有则有P(X=0)=0.05,P(X=1)=0.95若定义随机变量若定义随机变量Y为为则有则有P(Y=0)=0.95,P(Y=1)=0.05从中看到从中看到X,Y都服从都服从(0-1)分布分布2.超几何分布超几何分布例例4在在N件产品中件产品中,有有M件次品件次品.现从中随机地取现从中随机地取出出n件件(不放回抽样不放回抽样),假如取到每件产品的机会都假如取到每件产品的机会都相等相等.求取出的求取出的n件产品中次品数件产品中次品数X的分布律的分布律.其其中中(MN, nN)。解解依题意依题意,的可能取值为的可能取值为,1
5、,2,n, 由于从由于从N件中任取件中任取n件件,共有共有种取法种取法,而而n件中有件中有X=m件件次品的取法共有次品的取法共有因此因此称此分布为称此分布为超几何分布超几何分布,记做记做H(n,M,N)3.二项分布二项分布定义定义若随机变量若随机变量X的可能取值为的可能取值为0,1,2,n且其分且其分布律为布律为则称则称X服从服从参数为参数为n,p的的二项分布二项分布,记做记做XB(n,p)例例5从次品率为从次品率为20%的一大批产品中任取的一大批产品中任取5件产件产品品,求次品数求次品数X的分布率的分布率,并求并求P(X3)之值之值.解解由于产品数量大由于产品数量大,抽取件数少抽取件数少,可
6、视为可视为有放回抽有放回抽样样.因此每取一件产品可看作是一次试验因此每取一件产品可看作是一次试验,这是一个这是一个贝努利概型贝努利概型.次品数次品数X服从二项分布服从二项分布B(5,0.2)例例6一办公室内有一办公室内有8台计算机台计算机,在任一时刻每台计算在任一时刻每台计算机被使用的概率为机被使用的概率为0.6,计算机是否被使用相互独立计算机是否被使用相互独立,问在同一时刻问在同一时刻:(1)恰有恰有3台计算机被使用的概率是多少台计算机被使用的概率是多少?(2)至多有至多有2台计算机被使用的概率是多少台计算机被使用的概率是多少?(3)至少有至少有2台计算机被使用的概率是多少台计算机被使用的概
7、率是多少?解解设为在同一时刻设为在同一时刻8台计算机中被使用的台数台计算机中被使用的台数,则则XB(8,0.6),于是于是X012345678P0.00070.00790.04130.12390.23220.27870.20900.08960.0168当当k从从0增加时增加时,概率概率P(X=k)经历了一个从小到大经历了一个从小到大,又从又从大变小的过程大变小的过程,事件事件“X=5”发生的概率最大发生的概率最大,我们称之我们称之为为最可能事件最可能事件,“5次次”为为最可能次数最可能次数.一般地一般地,若若XB(n,p),则当则当(n+1)p是整数时是整数时,X有两个有两个最最可能次数可能次
8、数(n+1)p及及(n+1)p-1;当当(n+1)p不是整数时不是整数时,最可能次数最可能次数为为(n+1)p(即即(n+1)p的整数部分的整数部分).0-1分布和二项分布的关系分布和二项分布的关系X01Pi1-pp由于贝努里试验是由于贝努里试验是n次相互独立的重复试验次相互独立的重复试验,每每次试验只有两个可能结果次试验只有两个可能结果,即事件即事件A发生或者不发生发生或者不发生,如果令如果令即即二项分布随机变量可以分解成二项分布随机变量可以分解成n个个0-1分布随机变分布随机变量之和量之和,而且这而且这n个随机变量的取值互不影响个随机变量的取值互不影响.反之反之,n个取值互不影响的个取值互
9、不影响的0-1分布随机变量之和服从二项分布随机变量之和服从二项分布分布.超几何分布和二项分布的关系超几何分布和二项分布的关系定理定理定理定理1 1 如果随机变量如果随机变量如果随机变量如果随机变量X X服从超几何分布服从超几何分布服从超几何分布服从超几何分布HH( (n,M,Nn,M,N), ),则当则当则当则当NN时，时，时，时，X X近似地服从二项分布近似地服从二项分布近似地服从二项分布近似地服从二项分布B B( (n,pn,p), ),即即即即证明证明证明证明 见教材见教材见教材见教材注：注：注：注：定理定理定理定理1 1表明，当一批产品总数表明，当一批产品总数表明，当一批产品总数表明，
10、当一批产品总数N N很大，而抽取很大，而抽取很大，而抽取很大，而抽取的样品数的样品数的样品数的样品数n n远小于总数远小于总数远小于总数远小于总数N N时，则时，则时，则时，则不放回抽样不放回抽样不放回抽样不放回抽样( (超几何超几何超几何超几何分布分布分布分布) )与与与与有放回抽样有放回抽样有放回抽样有放回抽样( (二项分布二项分布二项分布二项分布) )将无很大的差别。将无很大的差别。将无很大的差别。将无很大的差别。4.泊松分布泊松分布定义定义如果随机变量如果随机变量X所有可能取值为所有可能取值为0,1,2,3,而取各个值的概率为而取各个值的概率为其中其中0为常数为常数,则称则称X服从服从
11、参数参数为为的的泊松分布泊松分布,记做记做XP().易知易知泊松分布在实际中具有十分广泛的应用泊松分布在实际中具有十分广泛的应用,例如电话交例如电话交换台在一个时间间隔内收到的电话换台在一个时间间隔内收到的电话呼唤次数呼唤次数,某车辆某车辆收费站每天过往收费站每天过往车辆的台数车辆的台数,车站某时段车站某时段候车人数候车人数及及购物中心来往购物中心来往顾客的人数顾客的人数,在一个时间间隔内某种放在一个时间间隔内某种放射性物质发出的射性物质发出的,经过计数器的经过计数器的粒子数粒子数等都服从泊松等都服从泊松分布分布.泊松分布也是概率论中的一种重要分布泊松分布也是概率论中的一种重要分布.例例7统计
12、资料表明某路口每天经过某特种车辆的次统计资料表明某路口每天经过某特种车辆的次数服从参数为数服从参数为6的泊松分布的泊松分布,求该路口一天内至少经求该路口一天内至少经过两次特种车的概率过两次特种车的概率.解解设该路口每天经过特种车的次数为设该路口每天经过特种车的次数为X,由题设由题设,XP(6),因此因此,所求概率为所求概率为即即该该路路口口一一天天内内至至少少经经过过两两次次特特种种车车的的概概率率为为0.9826解解(1) 例例8 8 某某种种商商品品日日销销量量XP(5), , 求求以以下下事事件件的的概概率率 (1) (1) 日销日销3 3件的概率件的概率; ; (2) (2) 日销量不
13、超过日销量不超过1010件的概率件的概率; ; (3) (3) 在在已已售售出出1 1件件的的条条件件下下, , 求求当当日日至至少少售售出出3 3件的概率件的概率. .(2)(3) 例例8 8 某某种种商商品品日日销销量量XP(5), , 求求以以下下事事件件的的概概率率 (1) (1) 日销日销3 3件的概率件的概率; ; (2) (2) 日销量不超过日销量不超过1010件的概率件的概率; ; (3) (3) 在在已已售售出出1 1件件的的条条件件下下, , 求求当当日日至至少少售售出出3 3件的概率件的概率. .二项分布的泊松逼近二项分布的泊松逼近其中其中二二项项分分布布的的计计算算比比
14、较较复复杂杂.如如果果XB(n,p),当当n10, p0.3时时,可利用泊松定理作近似计算可利用泊松定理作近似计算.泊松定理泊松定理证明证明证毕证毕例例9设某人每次射击的命中率为设某人每次射击的命中率为0.98.独立射击独立射击300次次,试求至少有试求至少有5次未击中的概率次未击中的概率.解解将每次射击看成一次试验将每次射击看成一次试验.设未击中的次数为设未击中的次数为X,则则XB(300,0.02).其分布率为其分布率为至少有至少有5次未击中的概率次未击中的概率例例10某地有某地有2500人参加某种人寿保险人参加某种人寿保险,每人在年每人在年初向保险公司交付保险金初向保险公司交付保险金20
15、0元元,若在一年内投保若在一年内投保人死亡人死亡,则由其家属从保险公司领取则由其家属从保险公司领取5万元万元,设该类设该类投保人死亡率为投保人死亡率为0.2%,求保险公司获利不少于求保险公司获利不少于10万万元的概率元的概率.解解设设X为投保人中一年内的死亡人数为投保人中一年内的死亡人数,由题设知由题设知XB(2500,0.002).若投保人中有若投保人中有X人死亡人死亡,则保险公则保险公司将付出司将付出50000X元元,而这一年保险公司收入为而这一年保险公司收入为元元,所求概率为所求概率为例例11有有80台同类型设备台同类型设备,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发发生故障的概率都是
16、生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障由一人处且一台设备的故障由一人处理理.考虑两种配备维修工人的方法考虑两种配备维修工人的方法:一是由一是由4人维护人维护,每每人负责人负责20台台;二是由二是由三人共同维护三人共同维护80台台.试比较这两种试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.即有即有PA1+A2+A3+A40.0175解解按第一种方法按第一种方法.以以X记记“第第1人维护的人维护的20台中同台中同一时刻发生故障的台数一时刻发生故障的台数”,以事件以事件Ai=第第i人维护的人维护的20台中发生故障不能及时维修台中发生故障不能
17、及时维修(i=1,2,3,4),则知则知80台中发生故障不能及时维修的概率为台中发生故障不能及时维修的概率为PA1+A2+A3+A4PA1=PX2而而XB(20,0.01),这时这时=np=0.2,故有故有解解按第二种方法按第二种方法.以以Y记记80台中在同一时刻发和故台中在同一时刻发和故障的台数障的台数.此时此时YB(80,0.01),=np=0.8,故故80台中发台中发生故障不能及时维修的概率为生故障不能及时维修的概率为所以第二种方法较第一种方法而言所以第二种方法较第一种方法而言,不仅节约了人力不仅节约了人力,而且设备发生故障时不能及时维修的概率要小得多而且设备发生故障时不能及时维修的概率要小得多.例例11有有80台同类型设备台同类型设备,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发发生故障的概率都是生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障由一人处且一台设备的故障由一人处理理.考虑两种配备维修工人的方法考虑两种配备维修工人的方法:一是由一是由4人维护人维护,每每人负责人负责20台台;二是由二是由三人共同维护三人共同维护80台台.试试比较比较这两种这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小概率的大小.
