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1、第八章材料的变形与断裂deformationandfracture金属构件在使用过程中，最终的失效形式有两种：塑性变形和断裂，此外塑性变形也是金属材料的一种主要成型方式：锻造、轧制等。对于工程结构材料来说，最重要的是它的机械性能：强度、塑性等，而这些性能又和材料的塑性变形行为密切相关，因此研究金属的变形和断裂行为十分重要，是本课程的一个重点内容。1强度和塑性的概念。2单晶体塑性变形的宏观规律和位错机制。3多晶体塑性变形特点。4塑性变形对金属组织、性能的影响。5金属强化机制。6冷变形金属的回复和再结晶。第一节金属变形概述金属拉伸试验曲线（应力-应变曲线）(stress-straincurve)均
2、匀塑性变形和局部塑性变形两种拉伸曲线：载荷伸长曲线和应力应变曲线金属拉伸曲线分析。1弹性变形阶段：呈直线关系。（弹）塑性变形阶段：-不遵循虎克定律2均匀塑性变形阶段：屈服阶段：增加，基本保持不变，呈非线性关系。3颈缩阶段（局部变形阶段）：变形集中在局部区域。4断裂阶段：从颈缩到断裂。拉伸试验可以得到以下强度指标和塑性指标：ReH,ReL(s)屈服强度（极限）Rp0.2(0.2)规定非比例延伸强度（条件屈服强度）Rm(b)抗拉极限两个塑性指标：延伸率elongationrateA（），断面收缩率Zpercentageofareareduction（）。在拉伸试验中，试样拉断后其缩径处横截面积的最
3、大缩减量与原始横截面积的百分比，称为断面收缩率。强度指标表示材料抵抗塑性变形和破坏的能力，塑性指标表示材料产生塑性变形的能力。这两个指标均和金属塑性变形有关，反映了一个问题的两个方面。泊松比:法国数学家SimeomDenisPoisson为名。在材料的比例极限内，由均匀分布的纵向应力所引起的横向应变与相应的纵向应变之比的绝对值。比如，一杆受拉伸时，其轴向伸长伴随着横向收缩(反之亦然)，而横向应变e与轴向应变e之比称为泊松比V。材料的泊松比一般通过试验方法测定。第二节金属的弹性变形elasticdeformation定义：随外力撤销而消失的变形。弹性变形的实质双原子模型：在平衡距离Ro处，两原子
4、间的引力和斥力相等，合力为零，能量处于最低状态，两原子处于最稳定状态。晶体也同样，正常状态下，点阵中每一原子都处于各自的平衡位置晶格点阵的结点处。晶体受到外力作用后，无论是拉伸还是压缩，平衡都会受到破坏，使原子离开各自的平衡位置，相互间就会产生作用力（拉伸时是引力，压缩时是斥力），犹如原子间被弹簧所连接。这些作用力力图将原子拉回到原来的平衡位置，但由于存在外力与之抗衡，原子无法回到平衡位置，于是微观上就产生点阵畸变，宏观表现就是变形（伸长或收缩）。外力撤销后，在原子相互间作用力的作用下，原子将回到原平衡位置，微观上看点阵畸变消失，宏观上看变形消失。弹性变形的实质弹性变形的实质 ：晶体在外力作用
5、下，原子偏离原平衡位置，但相对位移不超过一个原子间距，使晶格点阵产生畸变，产生弹性变形。这时由于原子间相互作用力的存在使各原子有自发回到原平衡位置的倾向，当外力撤销后，各原子迅速回到各自的原平衡位置，弹性变形消失。弹性变形的特点：1变形可逆reversible；2应力应变成正比，服从虎克定律；E，G，GE/2(1+)3在弹性变形范围内，弹性变形量与弹性模量有关，不同材料的在相同应力作用下产生的弹性变形量是不同的，/E。金属材料一般不会超过1（E70350GPa），高分子材料由于弹性模量低（橡胶只有1MPa），弹性变形量可达到1001000。弹性模量的物理意义：E/，弹性模量相当于产生单位弹性变
6、形所需的应力，反映了不同材料中原子间结合力的不同，代表了在外力作用下，晶体中原子离开平衡位置的难易程度。它的大小与材料中原子键的强弱有关，离子键、共价键键强大，弹性模量最高（250600GPa），金属键键强也较大，所以弹性模量也很高，分子键键强最弱，弹性模量只有几百几千MPa，甚至更低。因此陶瓷、金属材料的弹性变形量很小，如金刚石，弹性模量最高1000GPa，而塑料、橡胶的弹性则很高。弹弹性性模模量量是是一一个个组组织织不不敏敏感感指指标标，组组织织变变化化对对它它的影响不大，和力学性能指标不同。的影响不大，和力学性能指标不同。第三节单晶体金属的塑性变形定义：外力超过金属的屈服强度yields
7、trength后，外力撤销后，变形不消失而被永久保留下来的变形。塑性变形plasticdeformation的实质塑性变形的实质在外力作用下，晶体晶格点阵上的原子偏离平衡位置，但相对位移距离超过了一个原子间距，达到一个甚至几个原子间距，位移后晶格点阵中的原子所处的新位置依然是平衡位置，从能量和周围环境来看，这些新的平衡位置和原来老的平衡位置是一样的，所以当外力撤销后，这些处于新平衡位置的原子就不会恢复到原来的位置，变形被永久保留下来了。弹性变形和塑性变形的本质区别？弹性变形和塑性变形的本质区别在于在外力作用下点阵原子位移距离的大小：弹性变形位移小于一个原子间距；塑性变形位移超过一个原子间距。塑
8、性变形中包含了弹性变形。金属材料的塑性变形方式有两种：滑移和孪生，以滑移为主。滑移：晶体沿某一晶面（滑移面）和某一晶向（滑移方向）上下两部分发生相对位移，滑移面两侧晶体的结构类型和晶体取向均末有改变，这种位移方式称为滑移，即晶体沿某一晶面发生分层滑动，它是金属塑性变形的最基本方式。滑移的开动意味着塑性变形的开始。一、单晶体滑移的宏观规律（1）滑移观察如果将表面抛光的单晶体金属试样进行拉伸，在试样的表面上会出现许多相互平行的线条，这些线条称为滑移带(slipband)。滑移带在金相显微镜下看到的平行或交叉的条纹（细线）。滑移线(slipline)在电子显微镜下看到的平行小台阶（更细的线），它们组
9、成了滑移带。滑移线（带）的产生是晶体中原子分层相对滑动的结果。（2）滑移系slipsystem滑移带的分布不是任意的，说明单晶体中的滑移是沿着一定的晶面和晶向进行的，这些特定的晶面和晶向叫滑移面和滑移方向，一一个个滑滑移移面面和和该该面面上上一一个个滑滑移移方方向的组和构成一个滑移系。向的组和构成一个滑移系。不同晶体结构中滑移系是不同的，一般来说滑移面是晶体中的原子密排面，滑移方向是晶体中的原子密排方向。SLIP SYSTEM IN FCC: 111 Close-packed planes: 111 4 per unit cell: Close-packed directions: 3 per
10、 slip plane: e.g. for（111）for (111) 4 X3 = 12 distinct close-packed slip systems体心立方晶体中滑移面不太稳定，通常在低温时是112，中温时是011，高温时是123，因为bcc金属的致密度不如fcc和hcp晶体，缺乏密排程度足够高的原子密排面，但它的滑移方向却很稳定，只有一个，始终是原子密排方向。体心立方晶体中的滑移系共48个，分别为：SLIP SYSTEM IN BCC: 110 密排六方晶体中的滑移方向为，比较稳定，滑移面与轴比c/a有关，当c/a1.633时，滑移面是（0001），可形成3个滑移系；当c/a1.
11、633时，（0001）面不再是原子最密排面，滑移面变成柱面或斜面。可组成的滑移系分别为3个和6个，滑移系数量远小于fcc和bcc晶体。滑移系的判定一个滑移面和一个滑移方向组成滑移系的充分必要条件是该滑移方向必须位于该滑移面上，对于立方晶系，判定条件是（hkl）uvw0，六方晶系则需画图判定。滑移系数量与金属的塑性滑移系代表了晶体滑移时可能采取的空间取向，晶体中滑移系数量越多，滑移时可能采取的空间取向就越多，滑移就越容易进行，金属的塑性便越好。面心立方金属：Cu，Al，Au，Ag,，Ni，Fe，奥氏体钢，体心立方金属Fe，铁素体，Mo，Nb的塑性很好，而密排六方金属Mg，Zr，Be，Zn的塑性则
12、较差。当然滑移系数量并不是决定金属塑性高低唯一的因素，合金的成分、强度的高低、加工硬化的能力等也会影响到金属的塑性。试验表明，奥氏体钢的塑性要优于铁素体钢。（3）SchmidLaw和晶体的临界分切应力c滑移是在外加切应力作用下进行的，作用在滑移系上的外加切应力必须达到或超过某一临界值，以克服滑移面两侧原子间的相互作用力才能使滑移系开动，这个临界值称为临临界界分分切切应应力力c，它的大小和金属的种类、成分有关，是金属本身固有的特性，不同金属的临界分切应力值是不同的，见表81。单晶体受到拉伸时，是否能发生塑性变形，需要计算作用在该晶体滑移系上的分切应力是否达到或超过临界分切应力。拉伸条件下滑移系上
13、分切应力的计算。(c)2003Brooks/Cole,adivisionofThomsonLearning,Inc.ThomsonLearningisatrademarkusedhereinunderlicense.滑移面法线与拉伸轴的夹角滑移方向与拉伸轴的夹角=coscos滑移系开动时，晶体屈服：c，s，SchmidLaw：cscoscoscoscos取向因子或Schmidfactor。SchmidLaw讨论：1分切应力的大小与晶体受力位向有关，即与Schmid因子有关，在拉应力一定时，取向因子越大，分切应力越大。取向因子大的方向称为软取向，取向因子小的方向称为硬取向。2单晶体屈服强度s具有
14、各向异性，不是定值。sc/coscoss随取向因子而变，取向因子越大，s越小，当45时，取向因子达到最大，s最小3如果滑移面平行或滑移方向垂直于拉伸方向，取向因子为零，这时无论外加应力有多大，晶体都不会产生塑性变形。当外加应力超过晶体的断裂强度时，晶体断裂。断裂是塑性变形不能进行的最终结果。（4）金属晶体在滑移时的转动和对滑移的影响(c)2003Brooks/Cole,adivisionofThomsonLearning,Inc.ThomsonLearningisatrademarkusedhereinunderlicense.晶体中的滑移系随晶体一块转动，拉伸时，开动滑移系转向与拉力轴平行的
15、方向；压缩时，滑移系转向与压力轴垂直的方向，无论哪种转动，都会使开动滑移系的取向因子变小，极限情况下为零，结果使该滑移系的滑移难以进行下去。（5）单滑移、多（复）滑移和交滑移单滑移晶体中只有一个滑移系开动。多滑移两个或多个滑移系同时或交替开动，产生原因有二：多个滑移系上的分切应力同时达到临界分切应力，晶体转动所致。交滑移两个滑移系沿一个相同的滑移方向（即两个滑移面的交线方向）同时或交替开动。产生原因：两个滑移系上的分切应力同时达到临界分切应力，滑移在滑移面上受阻所致。滑移类型滑移带单滑移平行直线多滑移相互交叉的直线交滑移波纹线或弯曲的折线照片见书图813，为什么？多滑移和交滑移的各自的特点和区
16、别。判断滑移类型（6）滑移系上分切应力的计算（fcc晶体）fcc晶体中有12个滑移系，当外加拉应力作用在晶体上时，哪个滑移系首先开动？1力轴作用在001方向4力轴作用在任意方向二、孪晶（孪生）变形孪生也是金属塑性变形的一种形式，一般情况下，金属晶体优先以滑移的方式进行塑性变形，但是当滑移难以进行时，塑性变形就会以生成孪晶的方式进行，称为孪生。例如滑移系较少的密排六方晶格金属，当处于硬取向时，滑移系难以开动，就常以孪生方式进行变形。滑移系较多的fcc、bcc结构的金属一般不发生孪生变形，但在极低的温度下变形或是形变速度极快时，也会以孪生的方式进行塑性变形。定义：晶体在难以进行滑移时而发生的另一种
17、塑定义：晶体在难以进行滑移时而发生的另一种塑性变形方式，其特点是变形以晶体整体切变的形式性变形方式，其特点是变形以晶体整体切变的形式进行而不是沿滑移系发生相对位移。进行而不是沿滑移系发生相对位移。孪生过程孪生只能在一定的晶面（孪晶面）上沿一定的晶向（孪生方向）进行。fcc晶体结构金属的孪生过程孪生特点（1）在切应力作用下，部分晶体发生了均匀切变，即数层晶面发生相对位移，每层晶面的相对位移量相同。（2）切变晶体的位向发生了改变，和未切变晶体构成晶面对称关系，但晶体结构未变，切变晶体称为孪晶，对称面称为孪晶面。（3）孪生变形本身产生的形变量很小，如镉的孪生变形量只有7.39%，而滑移变形量可达到3
18、00。虽然孪生变形本身对塑性变形量贡献不大，但它在金属的塑性变形中却起到非常重要的作用，特别是hcp结构金属。因为它可以调整晶体位向，使硬取向转向软取向，使滑移重新继续进行下去。（4）孪生变形的临界分切应力远高于滑移，如镉，滑移临界分切应力为0.20.3MPa，孪生临界分切应力为17MPa，接近晶体的理论切变强度。这也正是金属受力后，优先以滑移方式进行塑性变形的原因。（5）孪生变形后在晶体表面产生浮凸，由于该区域内（孪晶）晶体位向发生了改变，即使将表面重新抛光，通过侵蚀或在偏光显微镜下很容易识别，滑移则没有。孪生和滑移的区别？An optical micrograph of twins wit
19、hin a grain of brass (x 250).第四节晶体滑移的位错机制晶体整体滑移模型开始人们认为晶体的滑移是晶体的一部分相对于另一部分同时作整体的刚性移动，Frenkel按此模型计算出的最小滑移切应力是=G/2G/30是试验值的1001000倍。金属理论剪切强度和试验值金属 切变模量GMPa理论剪切强度MPa试验剪切强度MPaAlCu-FeMg24400407006895016400383064801096026300.7860.492.750.393位错滑移模型通过位错在切应力作用下沿着滑移面逐步滑动，这样遇到的阻力就很小，按此模型计算的结果与试验结果在数量级上完全吻合，位错在
20、很小的切应力作用下就能滑动的现象称为位错的易动性。如在切应力作用下，刃型位错的半个原子面逐渐向前滑动，并不是整个滑移面向前滑动，因而需克服的阻力就很小，这就解释了为什么试验切变强度远远低于整体刚性模型计算的理论切变强度。所以晶体滑移实际上是通过位错滑动来实现的。刃型位错在切应力作用下的滑动模型刃型位错在切应力作用下的滑动模型螺型位错在切应力作用下的滑动模型位错滑动的特点：1无论是哪种类型的位错，滑动时只有位错线附近少量原子参与滑动，即只有畸变区（管道内）中的原子发生滑动，滑移面上大部分远离位错线的原子保持不动。2位错滑动时，每个原子滑动距离很小，不到一个原子间距，均小于b，但累积起来却使位错线
21、向前移动了一个b，所以位错线滑动时仍然是一个b一个b的向前滑动，当位错线滑出晶体，在晶体表面就留下高度b的台阶（滑移线）。3位错滑动时只需克服少量原子间的相互作用力（晶格阻力），该阻力远远小于晶体整体滑动时遇到的阻力。Peierls-Nabarro根据位错的半点阵模型对刃型位错在简单立方晶格点阵中滑动遇到的晶格阻力做了理论计算，结果如下：派纳力式中a滑移面面间距，b滑移方向上的原子间距。此力称为派纳力。派纳力是使位错滑动时所需要的最小切应力，或是位错滑动时所遇到的晶格阻力。作用在滑移系上的分切应力达到此力时，微观上看，位错开始滑动，宏观上看滑移系开动，晶体屈服。所以从理论上讲，p-N=c在简单
22、立方点阵中，ab，取0.3p-N/G=3.6104它与试验值在数量级上完全吻合。充分证明了晶体滑移的确是通过位错滑动实现的，位错的存在和易动性大大降低了晶体（金属）的强度。金属c/MPaG/MPac/GAl0.79261003105Cu0.98483002105Fe27.6816003.4104Mg0.76173004.4105Ti12.8438002.9104派纳力计算值与试验值比较4晶体中存在滑移系的原因位错滑动时总是优先沿着p-N最小的晶面和晶向进行，p-N的大小与a，b有关，a越大，b越小，p-N就越小。晶体原子密排面面间距最大，原子密排方向原子间距最小，所以，沿滑移系滑移遇到的晶格阻
23、力最小，最容易发生滑移。5位错滑动也要沿一定的滑动晶面进行，它是由位错线和柏氏矢量决定的平面。刃型位错、混合型位错的滑动面是唯一确定的，螺型位错的滑动面有无数个。6交滑移的位错机制两个滑移系沿一个相同的滑移方向（即两个滑移面的交线方向）同时或交替开动，原因之一是滑移在滑移面上受阻所致。由于滑移是通过位错滑动实现的，什么类型的位错能进行交滑移？刃型、混合型位错能否实现交滑移？交滑移的难易与层错能高低有关，层错能越高，越容易实现交滑移，因为层错容易束集。7位错滑动的条件几何条件：位错滑动面应与晶体滑移面重合（平行）；应力条件：作用在滑移系上的分切应力p-N。并不是所有位错都能滑动，只有符合几何条件
24、的位错才有可能滑动。8位错滑动与晶体宏观变形方向和变形量的关系晶体宏观变形是位错微观滑动的结果，两者的关系为：晶体宏观变形方向是滑动位错的b方向，晶体宏观变形量是滑动位错b的模（位错滑出晶体后在表面产生一个b高度的台阶），应注意两个问题：位错本身滑动距离和它产生的宏观变形量不相等；宏观变形方向也不一定和位错滑动方向同向（和刃型位错同向，和螺型、混合型位错不同向）。练习题：有一截面积为1mm2、长100mm的圆柱状金属晶体，沿轴线受拉力作用，（1）如果在与圆柱体轴线成45角的晶面上有一b21010m的刃型位错在应力作用下滑出晶体，求该晶体产生多大的伸长量？（2）如果晶体中的位错密度为1014m2
25、，它们在应力作用下全部滑出晶体，求晶体由此产生的总变形量（假定没有新位错产生）和相应的正应变。9位错滑动过程中的增殖位错从晶体中滑出后在晶体表面留下一个b高度的台阶（滑移线），同时自身也从晶体中消失。一条滑移带中至少要含有104根滑移线才能在显微镜下被观察到。所以塑性变形时要产生能被觉察到的宏观变形量，晶体中至少要滑出104根位错线，照此推论，塑性变形后，晶体中位错数量应当显著下降，但实验结果却与此相反，塑性变形后位错密度不但没有下降反而明显增加，从1068增加到101012，说明在塑性变形过程中，位错产生了增殖。增殖机制主要有FR源，此外还有双交滑移机制，攀移机制，极轴机制等位错增殖方式。F
26、rankRead位错增殖机制（U型平面源）Read-Frank位错增殖模拟硅晶体中的F-R源双交滑移机制极轴增殖机制关于塑性变形的再讨论通过以上两小节的学习，我们可得到以下重要的结论：金属的塑性变形主要是以滑移方式进行的，滑移又是通过位错的滑动实现的。由于位错的易动性，导致金属抵抗塑性变形的能力下降，使金属的实际强度远远低于它的理论强度，金属中可可动动位位错错数量越多，金属的塑性就越好，强度就越低。这就为强化金属指明了方向：增加位错滑动阻力，减少可动位错数量，所以位错理论是金属强度理论的基础。这段结论是金属塑性变形理论的核心内容，必须真正的理解而不是机械的背诵。关于塑性变形实质的再认识在外力作
27、用下，晶体晶格点阵上的原子偏离了平衡位置，相对位移距离超过了一个原子间距，达到一个甚至几个原子间距，位移后晶格点阵中的原子所处的新位置依然是平衡位置，从能量和周围环境来看，这些新的平衡位置和原来老的平衡位置是一样的，所以当外力撤销后，这些处于新平衡位置的原子就不会恢复到原来的位置，变形被永久保留下来了，弹性变形和塑性变形的本质区别在于在外力作用下点阵原子位移距离的大小。这段话是否正确？回顾位错滑动和孪生变形中原子的相对位移距离，都没有超过一个原子间距，所以这段话是不正确的，至少是不够严密，应当加以修正。在外力作用下，晶体晶格点阵上的原子沿滑移系发生相对位移，偏离了原来的平衡位置而处于新的平衡位
28、置或是亚稳平衡位置，外力撤销后，这些处于新的平衡位置或是亚稳平衡位置的原子就不能恢复到原来的位置，因而变形被永久保留下来了。这里强调的是原子在外力作用下位移后所处的新新位位置置而不是强调位位移移距距离离，无论位移距离有多少，只要原子所处的新新位位置置是是晶晶格格点点阵阵中中的的平平衡衡位位置置或或是是亚亚稳稳平平衡衡位位置置，变形就能永久的被保留下来。所以弹性变形和塑性变形的本质区别在于在外力作用下点阵原子能否位移到新的平衡位置新的平衡位置。第五节多晶体的塑性变形多晶体与单晶体的不同点：各晶粒位向不同和存在晶界，多晶体塑性变形时除了遵循上述单晶体塑性变形的规律外，还会受到晶粒位向和晶界的影响，
29、有自己独特的规律。一、各晶粒变形不均匀各晶粒位向不同，在外力作用下，各晶粒上产生的取向因子不同，受到的分切应力也不相同，处于软取向的晶粒优先变形，处于硬取向的晶粒不能变形，各晶粒变形程度不同，这正是多晶体塑性变形后产生微观残余应力的原因。各晶粒变形不均匀二、各晶粒间的变形需要互相协调多晶体中每个晶粒都处于其它晶粒的包围之中，变形时它就不能像单晶体那样自由，必然要受到周围晶粒的约束，否则就会破坏多晶体的连续性，出现空隙或裂纹，造成材料的断裂。因此多晶体变形实际上是相邻数个晶粒的共同行为而不是一个晶粒孤立的行为，每个晶粒不能只在取向最有利的滑移系上滑移，必须在几个滑移系包括取向因子较小的滑移系上同
30、时开动，并要求相邻晶粒中也有几个滑移系同时开动，才能使各晶粒的变形相互很好的协调，保持材料的连续性。变形连续协调的条件塑性变形使材料形状改变，但体积不变，所以有Vxxyyzz0再加上三个切应变，共需5个独立的应变分量才能满足变形的协调，每个应变分量由一个独立的滑移系滑移来提供，共需5个独立的滑移系。fcc,bcc结构金属中滑移系数量多，容易满足这一变形协调条件，塑性较好，hcp结构金属中滑移系太少，难以满足这个条件，塑性较差，常需通过孪生变形来弥补，因而孪生变形在hcp结构金属的塑性变形中十分重要。三、多晶体屈服应力无各向异性多晶体中各晶粒位向不同，外力作用时在各晶粒中产生的取向因子也各不相同
31、，通常取平均取向因子来代替各晶粒的取向因子。fcc:1/3,bcc:1/2,hcp:1/6sc/四、晶粒大小对金属强度和塑性的影响HallPetch公式实验表明，晶粒大小与金属强度之间存在下列关系：此式对微米级晶粒尺寸普遍适用，但不能外推至纳米级晶粒。它反映了晶界对滑移有阻碍作用，因为晶界处原子排列紊乱，滑移系在晶界中断，滑移不能穿过晶界。晶粒越小，晶界数量越多，对滑移的阻碍就越大，金属的强度就越高。低碳钢强度与晶粒尺寸的关系细晶强化1晶界强度明显高于晶内。材料在外力作用下发生塑性变形时，通常晶粒中心区域变形量较大，晶界及其附近区域变形量较小。多晶体的金属细丝在拉伸变形时在晶界附近出现竹节状就
32、反映了常温下晶界的强化作用。2晶界对滑移有阻碍晶粒越细小，晶界面积越大，对位错滑移的阻碍就越强烈，位错就越不容易越过晶界传播。思考题：位错滑移是如何在多晶材料中传播的？多晶体塑性变形的传递多晶体塑性变形时，各晶粒的变形不是同步的，先从少数晶粒开始，逐渐传播到整个工件，变形是如何从一个晶粒传递到另一个晶粒的？实验已观察到，位错滑移到晶界处受阻而塞积，位错不能直接从一个晶粒滑移到相邻的晶粒，随着塑性变形的继续，塞积群中位错数量逐渐增多，它们都是同号位错，由于位错应力场间的相互作用，一方面对后续位错的滑动产生额外的阻力，使多晶体金属强度提高，另一方面在晶界处又会产生很大的应力集中，当应力集中足够大时
33、，就会促使相邻晶粒中的位错开动，塑性变形就从一个晶粒传递到另一晶粒，同时也使应力集中得到松弛。HallPetch公式的推导1位错塞积群对晶界的作用力（应力集中）（应力集中）设塞积群中位错数量为n，在外加切应力O作用下向前滑动了距离（虚位移），外力做功为：w1nOb从另一角度看，晶界对塞积群中领先位错有一反作用力，塞积群向前滑动时领先位错需克服该力做功：w2b则有：w1w2nO晶界处产生应力集中，外加应力在晶界处由于位错塞积被放大了n倍，晶界处受到的切应力是nO而不是O。2塞积群对相邻晶粒的作用力设晶界前方晶粒内某点P距晶界距离为r()，位错塞积群应力场在该点产生的切应力为，(L/r)1/2有效
34、切应力，L位错塞积群宽度，等于晶粒直径d/2，与有关的常数，设在P点有一位错源，当达到该位错源开动（滑移）所需的临界切应力C时，该位错源就会开动，滑移就从一个晶粒传递到另一晶粒，使塑性变形继续进行下去。位错塞积群内的有效切应力不等于外加切应力O，因为O中一部分要用来克服位错滑移时遇到的各种阻力i(称为内摩擦阻力），剩下的才构成塞积群内的有效应力：（Oi）相邻晶粒位错源开动时：O=SC（Si）(d/2r)1/2si+C/(2r/d)1/2用正应力表示：Si+C/(2r/d)1/2对于一定成分的合金来说，C，r可看成常数，令其等于Ky，就得到HallPetch公式：Si+Ky/d1/2HallPe
35、tch公式表明，多晶体材料强度高于单晶体，细化晶粒可以强化金属。细晶粒金属强度高于粗晶粒金属的原因是，塑性变形的传递是通过应力场进行的，只有当作用在晶粒内位错源上的应力达到某一临界值后，位错源才能开动，金属成分一定时，该临界值就是该金属的临界分切应力c。作用在位错源上的应力能否达到c与晶界上位错塞积群的应力场有对应的关系，只有当该应力场达到一定值后作用在位错源上的应力才能达到c，即应力场也存在一临界值。应力场的大小与外加应力和位错塞积群大小有关：（oi）(L/r)1/2应力场大小一定时，位错塞积群越大，达到该值所需的外加应力就越小，反之就越大，粗晶粒中位错塞积群中塞积位错数量大于细晶粒，因而在较小的外加应力作用下就能使塑性变形传递，所以强度较细晶粒低。细化晶粒现已成为生产中一种重要的金属强化手段，而且是唯一一种不牺牲金属塑性和韧性的强化手段，很多加工工艺都是围绕如何细化晶粒进行的。因为晶粒越细，一定体积内的晶粒数量就越多，每个晶粒内的变形就较均匀，不会产生过分的应力集中，晶粒越细，晶界的曲折也越多，裂纹就越不容易传播，从而在断裂前可以承受更大的变形量，表现出良好的塑性和韧性。
