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1、质点动力学质点动力学 第1页 共21页例例例例2-1 2-1 在倾角在倾角30的光滑斜面（固定于的光滑斜面（固定于水平地面）上有两物体通过滑轮相连，水平地面）上有两物体通过滑轮相连，已知已知m1=3kg ，m2 =2kg ，且滑轮和绳，且滑轮和绳子质量可略试求每一物体的加速度子质量可略试求每一物体的加速度a 及绳子的张力及绳子的张力FT （重力加速度（重力加速度g 取取9.80m s-2 ） 解方程组得解方程组得解方程组得解方程组得解解解解质点动力学质点动力学 第2页 共21页例例例例2-22-2将质量分别为将质量分别为m1 ，m2，m3 和和m 的四个物体连接，桌的四个物体连接，桌面与这些物
2、体之间的摩擦系数都是面与这些物体之间的摩擦系数都是 . 设桌子与滑轮位置设桌子与滑轮位置不变，绳子质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦可忽略不不变，绳子质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦可忽略不计求该系统的加速度以及各物体之间的张力计求该系统的加速度以及各物体之间的张力FT1 、FT2 、FT3 解方程组得解方程组得解方程组得解方程组得解：解：解：解：若先求加速度，若先求加速度，若先求加速度，若先求加速度，可将可将m1 、m2 、m3 视为一整体视为一整体并设并设FN 为三物体共同为三物体共同对桌面的总压力对桌面的总压力质点动力学质点动力学 第3页 共21页解：解：解：解：若求若求若求若求FT以以以
3、以m 为研究对象为研究对象若求若求若求若求FT ，以以m 为研究对象为研究对象质点动力学质点动力学 第4页 共21页例例例例2-3 2-3 质量为质量为M 的斜面装置的斜面装置,可在水可在水平面上做无平面上做无摩擦的滑动摩擦的滑动, 斜面倾角为斜面倾角为 , 斜面上放一质量为斜面上放一质量为m 的木块的木块,也可也可做无摩擦的滑动做无摩擦的滑动. 现要保证木块现要保证木块m 相相对于斜面静止不动对于斜面静止不动, 问对问对M 需作用的需作用的水平力水平力F0 有多大？有多大？ 此时此时m 与与M 间的间的正压力为多大？正压力为多大？ M 与水平面间的正与水平面间的正压力为多大？压力为多大？解：
4、解：解：解：m 相对相对M 静止，则静止，则m 与与M 应有应有相同的加速度相同的加速度用隔离体法分别画出用隔离体法分别画出M与与 m的示力图的示力图牛顿运动定律列出方程牛顿运动定律列出方程质点动力学质点动力学 第5页 共21页解：解：解：解： 对于Mx方向y方向对于mx方向y方向解得解得解得解得质点动力学质点动力学 第6页 共21页解：解：解：解：小球在水平面内运动，则作用在小球小球在水平面内运动，则作用在小球上的张力上的张力FT 和重力和重力mg 均在竖直平面内，均在竖直平面内，例例例例2-4 2-4 这是一个圆锥摆摆长为这是一个圆锥摆摆长为 ,小球质量为小球质量为m , 欲使小欲使小球在
5、锥顶角为球在锥顶角为 的圆周内做匀速圆周运动，给予小球的速的圆周内做匀速圆周运动，给予小球的速率率应为多大？应为多大？ 此时绳子的张力此时绳子的张力FT 有多大？有多大？设某一任意时刻设某一任意时刻, 在在FT 和和mg 所在平面内将所在平面内将力进行分解力进行分解小球在竖直方向没有运动小球在竖直方向没有运动水平方向的分力恰好是小球做圆周运动的向心力水平方向的分力恰好是小球做圆周运动的向心力解得解得解得解得质点动力学质点动力学 第7页 共21页解：解：解：解：取竖直向下为正方向取竖直向下为正方向,例例例例2-5 2-5 一质量为一质量为m 的物体在流体中下落的物体在流体中下落,物体所受到的黏滞
6、物体所受到的黏滞阻力与物体运动速率成正比阻力与物体运动速率成正比,即即 .设物体受到的浮设物体受到的浮力为力为F,求该物体在下落过程中下落速率求该物体在下落过程中下落速率 和时间和时间t 的关系的关系式，以及终极速率式，以及终极速率 t （设（设t =0 时时, = 0）解得解得解得解得质点动力学质点动力学 第8页 共21页解：解：解：解：t 时刻时刻 m , t +t 时刻时刻 m +m ，车厢速率，车厢速率不变不变例例例例2-6 2-6 一辆运沙车以一辆运沙车以2m s-1 的速率从卸沙漏斗正下方驶的速率从卸沙漏斗正下方驶过，沙子落入运沙车厢的速率为过，沙子落入运沙车厢的速率为400kg
7、s-1 要使车厢速要使车厢速率保持不变，需要多大的牵引力拉车厢？（设车厢和地面率保持不变，需要多大的牵引力拉车厢？（设车厢和地面钢轨的摩擦力可略）钢轨的摩擦力可略）水平方向上动量增量为水平方向上动量增量为根据动量定理根据动量定理即即即即质点动力学质点动力学 第9页 共21页解：解：解：解：根据根据动量定理微分形式动量定理微分形式例例例例2-7 2-7 一质量为一质量为1kg 的质点在变的质点在变力力F =6 t (N )作用下沿作用下沿x 轴运轴运动，设动，设t =0 时，质点速率时，质点速率 0= 2m s-1 ，质点位，质点位x0=0 m ，试求质点在试求质点在1s 末的速率和坐标位置末的
8、速率和坐标位置又由又由得得质点动力学质点动力学 第10页 共21页解：解：解：解：水平方向不受力水平方向不受力,动量守恒动量守恒例例例例2-8 2-8 一辆静止在水平光滑轨道上且质量为一辆静止在水平光滑轨道上且质量为M 的平板车上的平板车上站着两个人站着两个人,设人的质量均为设人的质量均为m ,试求他们从车上沿同方向试求他们从车上沿同方向以相对于平以相对于平板车水平速率板车水平速率u 同时跳下和依次跳下时平板车同时跳下和依次跳下时平板车的速率大小的速率大小(1)两个人同时跳下两个人同时跳下,取取两两两两人和平板车为一个系统人和平板车为一个系统,设两人跳下后平板车的速率为设两人跳下后平板车的速率
9、为 , 人相对地的速率为人相对地的速率为(2)两个人两个人依次依次跳下跳下,先取先取两两两两人和平板车为一个系统人和平板车为一个系统，设第一个人跳下后平板车的速率为设第一个人跳下后平板车的速率为 1 第二个人跳下时，取第二个人跳下时，取平板车和平板车和第二个第二个第二个第二个人为一个系统人为一个系统，设第二个人跳下后平板车的速率为设第二个人跳下后平板车的速率为 2质点动力学质点动力学 第11页 共21页解：解：解：解：水平方向水平方向动量动量守恒守恒例例例例2-9 2-9 一炮弹以速率一炮弹以速率 0沿仰角沿仰角 的方向发射出去后的方向发射出去后,在达到在达到最高点处爆炸为质量相等的两块最高点
10、处爆炸为质量相等的两块,一块以一块以45仰角向上飞仰角向上飞,一一块以块以30的俯角向下冲的俯角向下冲,求刚爆炸后这两块碎片的速率各为求刚爆炸后这两块碎片的速率各为多大（炮弹飞行时的空气阻力不计）多大（炮弹飞行时的空气阻力不计） ?得得在爆炸的瞬间，炮弹受的重力相对于爆炸内力可忽略在爆炸的瞬间，炮弹受的重力相对于爆炸内力可忽略竖直竖直竖直竖直方向方向动量动量近似守恒近似守恒质点动力学质点动力学 第12页 共21页解：解：解：解：沿沿y 方向的位移始终为零方向的位移始终为零例例例例2-102-10质点质点M 在力在力F 作用下沿坐标轴作用下沿坐标轴ox 运动运动,力力F 的大的大小和方向角小和方
11、向角 随随x 变化的规律分别为变化的规律分别为F = 3x ,cos=0.8-0.2x ,其中其中F 的单位为的单位为N , x 、y 的单位为的单位为m .试求质点从试求质点从x1=2m处处运动到运动到x2=3m 处的过程中处的过程中,力力F所做的功所做的功质点动力学质点动力学 第13页 共21页解：解：解：解：取绳取绳取绳取绳自然下垂自然下垂时时B 端端为为坐标坐标原点原点，例例例例2-11 2-11 一条长为一条长为 、质量为、质量为M 的匀质软绳的匀质软绳, 其其A 端挂在屋端挂在屋顶的钩子上顶的钩子上, 自然下垂自然下垂. 再将再将B 端沿竖直方向提高到与端沿竖直方向提高到与A 端端
12、同一高度处同一高度处, 求该过程中重力所作的功求该过程中重力所作的功重力在位移元重力在位移元dy 上做的元功为上做的元功为绳提起部分所受重力为绳提起部分所受重力为总总功为功为B 端端为为坐标为坐标为y 时时质点动力学质点动力学 第14页 共21页由动能定理由动能定理例例例例2-122-12一个质量为一个质量为m 的小球系在轻绳的一端的小球系在轻绳的一端, 绳的另一端固绳的另一端固定在定在O点点, 绳长为绳长为 .若先拉动小球使绳保持水平静止若先拉动小球使绳保持水平静止, 然后松然后松手使小球下落手使小球下落. 求当绳与水平夹角为求当绳与水平夹角为 时小球的速率时小球的速率解：解：解：解：小球从
13、小球从A 落到落到B 的过程中，的过程中，合外力合外力 对它做的功为对它做的功为质点动力学质点动力学 第15页 共21页(2)(2) 由动由动能能定理定理例例例例2-132-13一质量为一质量为10kg 的物体沿的物体沿x 轴无摩擦地滑动轴无摩擦地滑动,t =0 时时物体静止于原点物体静止于原点. (1) 若物体在力若物体在力F =3 + 4 t（ N）的作用下）的作用下运动了运动了3 s , 它的速率增为多大它的速率增为多大? (2) 物体在力物体在力F =3+ 4x（ N）的作用下移动了）的作用下移动了3m , 它的速率增为多大？它的速率增为多大？得得解解解解: : (1)(1) 由动量定
14、理由动量定理质点动力学质点动力学 第16页 共21页例例例例2-142-14 一轻绳跨过一个定滑轮一轻绳跨过一个定滑轮, 两端分别拴有质量为两端分别拴有质量为m 及及M 的物体的物体, M 离地面的高度为离地面的高度为h , 若滑轮质量及摩擦力不计若滑轮质量及摩擦力不计, m 与桌面的摩擦也不计与桌面的摩擦也不计, 开始时两物体均为静止开始时两物体均为静止, 求求M 落到落到地面时的速率地面时的速率 (m 始终在桌面上始终在桌面上). 若物体若物体m 与桌面的静与桌面的静摩擦系数与动摩擦系数均为摩擦系数与动摩擦系数均为, 结果如何？结果如何？(2)(2)物体物体m 与桌面有摩擦与桌面有摩擦,
15、根据功能原理根据功能原理解解解解: : (1)(1)以以m 和和M 及地球作为系统及地球作为系统,系统的机械能守恒系统的机械能守恒质点动力学质点动力学 第17页 共21页例例例例2-152-15 一劲度系数为一劲度系数为k 的弹簧上端固定的弹簧上端固定, 下下端挂一质量为端挂一质量为m 的物体的物体. 先用手托住，使弹簧保持原长先用手托住，使弹簧保持原长 . 设设x 轴向下为正轴向下为正, 取取弹簧原长处为坐标原点弹簧原长处为坐标原点O. (1) 若将物体托住而缓慢若将物体托住而缓慢放放下下, 达达静止时静止时, 弹簧的最大伸长量弹簧的最大伸长量x1 是多少？是多少？(2)若将物体突然放若将物
16、体突然放手手, 物体到达最低位置时物体到达最低位置时, 弹簧的伸长弹簧的伸长x2 是多少？是多少？解解解解: :取物体、弹簧和地球为系统取物体、弹簧和地球为系统(1)(1) 缓慢放下，物体在整个下落过程中，可以近缓慢放下，物体在整个下落过程中，可以近似认为是受力平衡的到达平衡位置时静止似认为是受力平衡的到达平衡位置时静止(2)(2) 若突然放手若突然放手, 系统在物体下落的过程中外力做功系统在物体下落的过程中外力做功和非保守内力做功都为零和非保守内力做功都为零, 系统机械能守恒系统机械能守恒质点动力学质点动力学 第18页 共21页例例例例2-162-16 要使飞船脱离地球的引力范围要使飞船脱离
17、地球的引力范围, 求从地面发射该飞求从地面发射该飞船的速度最小值（第二宇宙速度）为多大？船的速度最小值（第二宇宙速度）为多大？解解解解: : 选飞船和地球为研究对象选飞船和地球为研究对象, 系统机械能应守恒系统机械能应守恒飞船刚离开地面时的速度飞船刚离开地面时的速度 ，飞船远离地球时的速度，飞船远离地球时的速度选取无限远处为万有引力势能的零点选取无限远处为万有引力势能的零点当飞船离地球越来越远时，引力势能当飞船离地球越来越远时，引力势能 0 ，取取 0速度最小值速度最小值质点动力学质点动力学 第19页 共21页例例例例2-17 2-17 试利用角动量守恒定律证明关于行星运动的开普勒试利用角动量
18、守恒定律证明关于行星运动的开普勒第二定律：在太阳系中一行星对太阳的位矢在相等的时间第二定律：在太阳系中一行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过的面积相等即掠面速度不变内扫过的面积相等即掠面速度不变解解解解: :任一行星在太阳任一行星在太阳(位于位于o 点点)的的万有引力场中做椭圆轨道运动万有引力场中做椭圆轨道运动行星对太阳的角动量守恒行星对太阳的角动量守恒路程扫过的面积为扫过的面积为行星的掠面速度为行星的掠面速度为质点动力学质点动力学 第20页 共21页解解解解: :击中瞬时击中瞬时, 沿沿 0 方向动量守恒，方向动量守恒，例例例例2-18 2-18 在光滑的水平桌面上在光滑的水平桌面上, 放着质
19、量为放着质量为M 的木块的木块, 木块木块与一弹簧相连与一弹簧相连, 弹簧的另一端固定在弹簧的另一端固定在O 点点, 弹簧的劲度系弹簧的劲度系数为数为k , 设有一质量为设有一质量为m 的子弹以初速度的子弹以初速度 0 垂直于垂直于O A 射射向向M 并嵌入木块内并嵌入木块内, 弹簧原长为弹簧原长为 ,子弹击中木块子弹击中木块, 木块木块M 运动到运动到B 点时刻点时刻, 弹簧长度变为弹簧长度变为 , 此时此时OB 垂直于垂直于O A , 求求在在B 点时点时, 木块的运动速度木块的运动速度 2 A 到到B, 系统机械能守恒系统机械能守恒木块对木块对O 的角动量守恒的角动量守恒质点动力学质点动力学 第21页 共21页例例例例2-19 2-19 质量分别为质量分别为m1 和和m2 的两个小钢球固定在一个长为的两个小钢球固定在一个长为a 的轻质硬杆的两端的轻质硬杆的两端, 杆的中点有一轴使杆可在水平面内自由杆的中点有一轴使杆可在水平面内自由转动转动, 杆原来静止杆原来静止. 另一小球质量为另一小球质量为m3 , 以水平速度以水平速度 沿垂沿垂直于杆的方向与直于杆的方向与m2发生碰撞发生碰撞, 碰后二者粘在一起碰后二者粘在一起.设设m1 =m2 = m3 , 求杆转动的角速度求杆转动的角速度解解解解: :对对O 点的角动量守恒点的角动量守恒得得得得
