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1、数数 学学 分分 析析22.2 第二型曲面积分第二型曲面积分2024/9/11数数 学学 分分 析析一、曲面的侧一、曲面的侧观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧2024/9/12数数 学学 分分 析析曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面; ;2.2.单侧曲面单侧曲面. .典典型型双双侧侧曲曲面面2024/9/13数数 学学 分分 析析莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:2024/9/14数数 学学 分分 析析莫比乌斯带莫比乌斯带典型典型单侧曲面单侧曲面:2024/9/15数数
2、学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2024/9/16数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2024/9/17数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2024/9/18数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2024/9/19数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2024/9/110数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2024/9/111数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2024/9/11
3、2数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2024/9/113数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2024/9/114数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2024/9/115数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2024/9/116数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2024/9/117数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2024/9/118数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2
4、024/9/119数数 学学 分分 析析典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带2024/9/120数数 学学 分分 析析曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. .决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面. .曲面的投影问题曲面的投影问题: :2024/9/121数数 学学 分分 析析二、概念的引入二、概念的引入实例实例: : 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. .2024/9/122数数 学学 分分 析析2024/9/123数数 学学 分分 析析1. 分割分割则该点流速为则该点流速为法向量为法向量为 2024/9/124数数 学学 分分 析析2. 求
5、和求和2024/9/125数数 学学 分分 析析3.3.取极限取极限2024/9/126数数 学学 分分 析析三、概念及性质三、概念及性质2024/9/127数数 学学 分分 析析被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义2024/9/128数数 学学 分分 析析存在条件存在条件:组合形式组合形式:物理意义物理意义:2024/9/129数数 学学 分分 析析性质性质:2024/9/130数数 学学 分分 析析四、计算法四、计算法2024/9/131数数 学学 分分 析析2024/9/132数数 学学 分分 析析注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必
6、须注意曲面所取的侧. .2024/9/133数数 学学 分分 析析2024/9/134数数 学学 分分 析析2024/9/135数数 学学 分分 析析例例2：计算：计算其中其中取外侧取外侧解：解：考虑考虑的计算的计算在在 xoy 面上的投影均为面上的投影均为 线段线段而在而在上，上，取下侧取下侧所以所以2024/9/136数数 学学 分分 析析例例2：计算：计算其中其中取外侧取外侧解：解：取上侧取上侧由坐标轮换性可得由坐标轮换性可得所以所以2024/9/137数数 学学 分分 析析2024/9/138数数 学学 分分 析析2024/9/139数数 学学 分分 析析2024/9/140数数 学学 分分 析析五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系2024/9/141数数 学学 分分 析析2024/9/142数数 学学 分分 析析两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系2024/9/143数数 学学 分分 析析向量形式向量形式2024/9/144数数 学学 分分 析析解解2024/9/145数数 学学 分分 析析2024/9/146数数 学学 分分 析析提示：提示：2024/9/147谢谢！谢谢！48
