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1、机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ） 2-1-3-4 2-1-3-4 功率功率谱密度函数能量密度函数能量谱 - -其量其量纲为单位位频率上的功率或能量率上的功率或能量 1.自功率谱密度函数-表示信号能量的频率构造，是运用最多、最普遍的方法。 定义： 式中：Xf是时间信号x(t)的傅里叶变换，而X*f是Xf的共轭函数。 运用： 1滚动轴承缺点诊断 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 图2-9滚动轴承振动信号的频域分析f(kHz)Sxx(f)5.1kHz 图3-9为滚动轴承加载运转时振动信
2、号经处置后所得的功率谱密度函数。滚动轴承在正常运转下各个滚动元件、套圈、坚持架所激发的高频共振信号可以全部被接受与处置。如在05.1kHz、12kHz、2430kHz，6072kHz处均有随机的谱峰，故可选择可靠和灵敏的频带作为缺点诊断带，并与滚动轴承在运动中的缺陷联络起来。 机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）用完好功率谱曲线诊断设备的形状，虽然全面，但任务用完好功率谱曲线诊断设备的形状，虽然全面，但任务量大，也不便运用，常用的是它的以下几个特征参数：量大，也不便运用，常用的是它的以下几个特征参数：1 1峰值
3、频率及其幅值峰值频率及其幅值 谱图上谱峰的频率及其高度是谱图上谱峰的频率及其高度是最简单的特征参数，也是最常用的诊断参数，运用很普最简单的特征参数，也是最常用的诊断参数，运用很普遍。许多缺点都有各自特定的频率，察看谱图上有无对遍。许多缺点都有各自特定的频率，察看谱图上有无对应的谱峰，分析谱峰的消长情况，就能对这些缺点的有应的谱峰，分析谱峰的消长情况，就能对这些缺点的有无和程度作出明确的判别。无和程度作出明确的判别。2 2频率窗平均高度频率窗平均高度 在谱图上对形状变化反映最灵敏的在谱图上对形状变化反映最灵敏的频段设置窗口，以窗口内幅值的平均高度作诊断参数，这频段设置窗口，以窗口内幅值的平均高度
4、作诊断参数，这比前者稳定可靠，实践运用也较多。比前者稳定可靠，实践运用也较多。机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）3 3频域也有信号的统计特征参数：功率谱的谱重心、频域方频域也有信号的统计特征参数：功率谱的谱重心、频域方差和均方频率等。差和均方频率等。谱重心描画功率谱主频带位置的参数即功率集中的位置，较小谱重心描画功率谱主频带位置的参数即功率集中的位置，较小的值表示功率能量主要在低频段，反之那么在高频段。的值表示功率能量主要在低频段，反之那么在高频段。机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wave
5、let AnalysisWavelet Analysis ）频域方差是描画频谱能量分散程度的参数。频域方差是描画频谱能量分散程度的参数。这些参数各具有一定的诊断才干可以根据不同的监测目的选用。这些参数各具有一定的诊断才干可以根据不同的监测目的选用。均方频率将频率的影响系数放大了，同样描画功率谱主频带位置的均方频率将频率的影响系数放大了，同样描画功率谱主频带位置的参数即功率集中的位置，较小的值表示功率能量主要在低频段，参数即功率集中的位置，较小的值表示功率能量主要在低频段，反之那么在高频段。反之那么在高频段。机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWa
6、velet Analysis ）概述概述信号信号x xt t的傅里叶变换是：的傅里叶变换是：它将信号在时域中的时间函数它将信号在时域中的时间函数x(t)x(t)变换为频域中的频率变换为频域中的频率函数信号的频谱函数信号的频谱X Xw w。根据频谱变化识别设备形。根据频谱变化识别设备形状在缺点诊断领域占有非常重要的位置，运用很广泛。状在缺点诊断领域占有非常重要的位置，运用很广泛。从变换式可看出：傅里叶变换是对整个时域范围内求积，从变换式可看出：傅里叶变换是对整个时域范围内求积，去掉了非平稳信号的时域信息，故傅里叶变换只能描写去掉了非平稳信号的时域信息，故傅里叶变换只能描写信号的频率信息，不能同时
7、提供信号时域上的信息。信号的频率信息，不能同时提供信号时域上的信息。机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）但是，傅里叶变换反映的是信号的整体特性，不能识别信号但是，傅里叶变换反映的是信号的整体特性，不能识别信号的部分特征，所以只适宜平稳信号的分析，有一定局限性。的部分特征，所以只适宜平稳信号的分析，有一定局限性。实践上，大多数信号是非平稳的，我们还需求能分析信号部实践上，大多数信号是非平稳的，我们还需求能分析信号部分特征的技术，即时频分析技术，包括：短时傅里叶分析，分特征的技术，即时频分析技术，包括：短时傅里叶分
8、析，小波分析，小波分析，Wigner谱分析等。谱分析等。频谱分析与时频分析不同点：频谱分析与时频分析不同点：频谱使我们确定那些频率成分存在；频谱使我们确定那些频率成分存在；时频使我们确定在某一确定的时间那些频率成分存在。时频使我们确定在某一确定的时间那些频率成分存在。如何实现？如何实现？机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）短时傅里叶分析短时傅里叶分析式中，式中，g(t)g(t)为窗函数，为窗函数， 为为 平移参数，它的变动改动了窗函数在时间轴上平移参数，它的变动改动了窗函数在时间轴上的位置，可以使其遍历整个时域
9、。信号被窗函数分成时间段后，再逐段进展的位置，可以使其遍历整个时域。信号被窗函数分成时间段后，再逐段进展傅里叶变换，得到的是时间与频率的二维函数，反映的是窗口内信号的部分傅里叶变换，得到的是时间与频率的二维函数，反映的是窗口内信号的部分特征部分频谱，特征部分频谱， 反映的是信号反映的是信号f(t)f(t)在时辰在时辰 ，频率为，频率为w w的相的相对含量。对含量。 傅里叶分析傅里叶分析机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）短短时傅里叶傅里叶变换缺陷：缺陷：对含有复含有复杂频率成分的信号，高率成分的信号，高频信号，
10、信号，时间分辨率相分辨率相对高，高，窗口窗口应相相对窄；低窄；低频信号，信号，时间分辨率低，窗口分辨率低，窗口应相相对宽。STFTSTFT窗口大小、外形固定不窗口大小、外形固定不变处理方法理方法需求尺度参数需求尺度参数小波小波变换突起突起2020世世纪8080年年代代小波分析是目前国小波分析是目前国际前沿前沿领域，缺点域，缺点诊断中运用广泛。断中运用广泛。机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）小波函数小波函数小波母函数必需是正负交替的衰减振荡波形。海尔函数是最小波母函数必需是正负交替的衰减振荡波形。海尔函数是最早
11、发现、最简单的。海尔小波母函数：早发现、最简单的。海尔小波母函数：小波函数由母函数生成，参与尺度系数和平移系数。小波函数由母函数生成，参与尺度系数和平移系数。离散的海尔二进小波表达方式：离散的海尔二进小波表达方式：机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）对小波母函数在空间和时间上进展部分化的一种数学变换对母小波的平移和缩放操作是为计算小波的系数，这些系数代表部分信号和小波之间的相互关系经过平移母小波(mother wavelet)获得信号的时间信息经过缩放母小波的宽度(或称尺度)获得信号的频率特性机械故障诊断学机械
12、故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）部分小波许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如，Moret小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的正弦波与小波部分小波机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）小波分析中常用的三个根本概念延续小波变换离散小波变换小波重构机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analys
13、is ）CWTCWT的的变换过程例如，程例如，见图3 3，可分如下，可分如下5 5步步小波小波 (t) (t)和原始信号和原始信号f(t)f(t)的开的开场部分部分进展比展比较 计算系数算系数CC该部分信号与部分信号与小波的近似程度；小波的近似程度；C C值越高表越高表示信号与小波示信号与小波类似程度越高似程度越高小波右移小波右移k k得到的小波函数得到的小波函数为 (t-k) (t-k) ，然后反复步，然后反复步骤1 1和和2 2，直到信号直到信号终了了 扩展小波，如展小波，如扩展一倍，得展一倍，得到的小波函数到的小波函数为 (t/2) (t/2) 反复步反复步骤1 14 4 图3 延续小波
14、变换的过程机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）延续小波变换用下式表示延续小波变换用下式表示该式含式含义：小波：小波变换是信号是信号f(t)f(t)与被与被缩放和平移的小波放和平移的小波函数函数之之积在信号存在的整个期在信号存在的整个期间里求和里求和CWTCWT变换的的结果是果是许多小波系数多小波系数C C ，这些系数是些系数是缩放因放因子子(scale)(scale)和位置和位置(position)(position)的函数，平移参数的函数，平移参数positionposition取延取延续值。离散小波离散小波
15、变换(discrete wavelet transform(discrete wavelet transform，DWT) DWT) 用小波的基函数用小波的基函数(basis functions)(basis functions)表示一个函数的方表示一个函数的方法法小波的基函数序列或称子小波小波的基函数序列或称子小波(baby wavelets)(baby wavelets)函数是函数是由由单个小波或称个小波或称为母小波函数母小波函数经过缩放和平移得到的放和平移得到的缩放因子和平移参数都放因子和平移参数都选择2j (j 02j (j 0的整数的整数) )的倍数，的倍数，这种种变换称称为双尺度小
16、波双尺度小波变换(dyadic wavelet (dyadic wavelet transform)transform)机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）图7-5 离散小波变换分析图DWTDWT得到的小波系数、缩放因子和时间关系，见图得到的小波系数、缩放因子和时间关系，见图5 5图图(a)(a)是是2020世纪世纪4040年代运用年代运用GaborGabor开发的短时傅立叶变换开发的短时傅立叶变换(short time Fourier transform(short time Fourier transfor
17、m，STFT)STFT)得到的得到的图图(b)(b)是是2020世纪世纪8080年代运用年代运用MorletMorlet开发的小波变换得到的开发的小波变换得到的机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）执行执行DWTDWT的有效方法的有效方法用用MallatMallat在在19881988年开发的滤波器，称为年开发的滤波器，称为MallatMallat算法算法DWTDWT的概念见图的概念见图6 6。S S表示原始的输入信号；表示原始的输入信号；经过两个互补的滤波器产生经过两个互补的滤波器产生A A和和D D两个信号。
18、两个信号。图6 双通道滤波过程A A表示信号的近似值表示信号的近似值(approximations)(approximations)，大，大的缩放因子产生的系数，的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量表示信号的低频分量D D表示信号的细节值表示信号的细节值(detail)(detail)，小的缩放因，小的缩放因子产生的系数，表示信子产生的系数，表示信号的高频分量号的高频分量MallatMallat算法算法法国科学家法国科学家Stephane MallatStephane Mallat提出多分辨率概念，从空间上笼统阐提出多分辨率概念，从空间上笼统阐明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的构造
19、方法和快速明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称为算法，称为MallatMallat算法该算法一致了在此之前构造正交小波基的算法该算法一致了在此之前构造正交小波基的一切方法，其位置相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的一切方法，其位置相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的位置位置机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）小波分解树与小波包分解树小波分解树与小波包分解树由低通滤波器和高通滤波器组成的树由低通滤波器和高通滤波器组成的树原始信号经过一对滤波器进展的分解叫做一级分解。信号原始信号
20、经过一对滤波器进展的分解叫做一级分解。信号的分解过程可以迭代，即可进展多级分解。的分解过程可以迭代，即可进展多级分解。小波分解树小波分解树(wavelet decomposition tree)(wavelet decomposition tree)用下述方法分解构成的树：对信号的高频分量不再继续分用下述方法分解构成的树：对信号的高频分量不再继续分解，而对低频分量延续进展分解，得到许多分辨率较低的解，而对低频分量延续进展分解，得到许多分辨率较低的低频分量，见图低频分量，见图7 7小波包分解树小波包分解树(wavelet packet decomposition tree) (wavelet p
21、acket decomposition tree) 用下述方法分解构成的树：不仅对信号的低频分量延续进用下述方法分解构成的树：不仅对信号的低频分量延续进展分解，而且对高频分量也进展延续分解，这样不仅可得展分解，而且对高频分量也进展延续分解，这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而且也可得到许多分辨率到许多分辨率较低的低频分量，而且也可得到许多分辨率较低的高频分量，见图较低的高频分量，见图8 8 机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）图7 小波分解树机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavele
22、t AnalysisWavelet Analysis ）图8 三级小波包分解树机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）图9 降采样过程留意：在运用滤波器对真实的数字信号进展变换时，得到的数据将是原始数据的两倍例如，假设原始信号的数据样本为1000个，经过滤波之后每一个通道的数据均为1000个，总共为2000个。于是,根据尼奎斯特(Nyquist)采样定理就提出了采用降采样(downsampling)的方法，即在每个通道中每两个样本数据中取一个，得到的离散小波变换的系数(coefficient)分别用cD和cA表示，
23、见图9 机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）7.1 小波引小波引见小波分析小波分析(续10)小波重构小波重构重构概念重构概念把分解的系数复原成原始信号的把分解的系数复原成原始信号的过程叫做小波重构程叫做小波重构(wavelet (wavelet reconstruction)reconstruction)或合成或合成(synthesis)(synthesis)，数学上叫做逆离散小，数学上叫做逆离散小波波变换(inverse discrete wavelet transform(inverse discrete
24、wavelet transform，IDWT)IDWT)两个两个过程程在运用在运用滤波器做小波波器做小波变换时包含包含滤波和降采波和降采样(downsampling)(downsampling)两个两个过程，在小波重构程，在小波重构时也包含升采也包含升采样(upsampling)(upsampling)和和滤波两个波两个过程，程，见图1010升采升采样是在两个是在两个样本数据之本数据之间插入插入“0“0，目的是把信号的分，目的是把信号的分量加量加长，其，其过程程见图11 11 机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis
25、）图10 小波重构方法图11 升采样的方法机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）频域分析方法比较：频域分析方法比较：傅立叶分析傅立叶分析用一系列不同频率的正弦波表示一个信号用一系列不同频率的正弦波表示一个信号一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数小波分析小波分析用母小波经过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号用母小波经过移位和缩放后得到的一系列小波表示一个信号一系列小波可用作表示一些函数的基函数一系列小波可用作表示一些函数的基函数凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分
26、析凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析小波变换可了解为用经过缩放和平移的一系列函数替代傅立小波变换可了解为用经过缩放和平移的一系列函数替代傅立叶变换用的正弦波叶变换用的正弦波用不规那么的小波分析变化猛烈的信号比用平滑的正弦波更用不规那么的小波分析变化猛烈的信号比用平滑的正弦波更有效，或者说对信号的根本特性描画得更好有效，或者说对信号的根本特性描画得更好机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）小波分析技小波分析技术在在时域和域和频域均具有局部分析功能，所以适宜域均具有局部分析功能，所以适宜任何信号平任何信号平稳或非平
27、或非平稳的分析，运用很广泛。的分析，运用很广泛。在缺点在缺点诊断断领域利用小波域利用小波变换排除噪声干排除噪声干扰，检测突突变信息信息已成已成为诊断断设备缺点的一种深受注重的新技缺点的一种深受注重的新技术。matlab中有小波分析包，运用中有小波分析包，运用详细步步骤：确定小波基确定小波基由于不同的小波基在由于不同的小波基在时域和域和频域上的部分性能不一域上的部分性能不一样，使得，使得小波小波变换在在时域和域和频域上表征信号部分特点的才干不同，所域上表征信号部分特点的才干不同，所以以选择适当的小波基就适当的小波基就显得特得特别重要。重要。Daubeehies小波小波成像小波的一种、成像小波的一
28、种、Symlets小波具有加小波具有加强的的对称性的称性的Daubeehies小波的一种小波的一种扩展是几种非展是几种非经常常见的小波基。的小波基。它它们表征信号部分特点的才干都比表征信号部分特点的才干都比较强，有利于，有利于检测信号的信号的瞬瞬态或奇特点，所以在常会运用或奇特点，所以在常会运用这些小波基些小波基 。机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）确定小波基的确定小波基的阶数数对于某种特定的小波基，于某种特定的小波基，阶数的不同表征信号部分特点的才数的不同表征信号部分特点的才干也不同。普通情况下，干也不同。
29、普通情况下，阶数越高表征信号部分特点的才干数越高表征信号部分特点的才干就越就越强，但是，但是计算量也会相算量也会相应变大，当大，当阶数高于数高于5 5阶时，提，提高小波基高小波基阶数数对提高小波基表征信号部分性才干的影响并不提高小波基表征信号部分性才干的影响并不大。所以在大。所以在实践操作践操作过程中不会程中不会选取太高的小波基取太高的小波基阶数，普数，普通通选取取5 5到到8 8阶左右。左右。确定小波确定小波变换次数次数小波小波变换尺度要大一些，即小波尺度要大一些，即小波变换次数要多一些，但次数要多一些，但计算算量也会相量也会相应变大，但大，但对提取信号的突提取信号的突变信息有利；当信号中信
30、息有利；当信号中白噪音含量少或突白噪音含量少或突变信号幅信号幅值较大大时，小波，小波变换尺度可以小尺度可以小一些，即小波一些，即小波变换次数可以少一些，次数可以少一些，计算量也会相算量也会相应减少。减少。小波小波变换 根据以上根据以上对小波小波变换参数的引参数的引见，选定合理的参数定合理的参数进展小波展小波变换，就可得到各个不同，就可得到各个不同频带的子波信号的子波信号 。机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）工程运用：工程运用：例例1 1：对一个含有噪声语音信号进展小波分析：对一个含有噪声语音信号进展小波分析：
31、语音信号的能量往往集中在低频部分，语音信号的能量往往集中在低频部分，而白噪音的能量均匀分布在整个频率范围内，而白噪音的能量均匀分布在整个频率范围内，所以经过小波变换后，通常，在低频部分，语音信号的小所以经过小波变换后，通常，在低频部分，语音信号的小波系数值大于白噪音的小波系数值；在高频部分，语音信波系数值大于白噪音的小波系数值；在高频部分，语音信号的小波系数值小于白噪音的小波系数值。由此，我们可号的小波系数值小于白噪音的小波系数值。由此，我们可以先对经过小波变换后得到的各个子波设定一个阀值，然以先对经过小波变换后得到的各个子波设定一个阀值，然后对每一个子波进展处置，就可以到达去除噪音而保管语后
32、对每一个子波进展处置，就可以到达去除噪音而保管语音信号的目的。音信号的目的。机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）小波变换在分析信号时，其分析窗口大小固定不变但窗口外形可以变化，是时间窗和频率窗都可以改动的时频部分化分析方法。一、小波分析根底知一、小波分析根底知识识机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）例例2 2： 检测信号突变点检测信号突变点以下图为阶跃函数式和脉冲函数式两类突变信号用高斯以下图为阶跃函数式和脉冲函数式两类突变信号
33、用高斯函数的一阶、二阶导数函数的一阶、二阶导数 、 作小波变换的结果。作小波变换的结果。根据小波变换的极值点可判别突变点的位置。根据小波变换的极值点可判别突变点的位置。机械故障诊断学机械故障诊断学小波分析理小波分析理论（Wavelet AnalysisWavelet Analysis ）小波变换问题所在：小波变换问题所在：1 1、小波变换的频谱特性比较差。与短时傅立叶变换相比，、小波变换的频谱特性比较差。与短时傅立叶变换相比，小波变换不能在频域上准确的反映语音信号与白噪音的频谱小波变换不能在频域上准确的反映语音信号与白噪音的频谱特性。因此，不能利用小波变换对信号在频域上作准确处置。特性。因此，不能利用小波变换对信号在频域上作准确处置。2 2、小波变换方法中所运用的参数需求人为设置，这些参数、小波变换方法中所运用的参数需求人为设置，这些参数往往要凭阅历获得，而不能根据信号各自的特点自动产生，往往要凭阅历获得，而不能根据信号各自的特点自动产生，所以运用这些方法有一定的复杂性。所以运用这些方法有一定的复杂性。3 3、小波基的选择。不同的小波基对信号所起的作用不同，、小波基的选择。不同的小波基对信号所起的作用不同，因此构造或选择适当的小波基对信号分析与处置效果具有很因此构造或选择适当的小波基对信号分析与处置效果具有很重要的影响。重要的影响。
