《第六章SOR法及加速》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六章SOR法及加速（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六章 线性方程组迭代法迭代法的加速迭代法的加速迭代法的加速迭代法的加速无论是解线性方程组的Jacobi迭代法和GS迭代法还是解非线性方程Newton系列迭代法都涉及到收敛速度问题如何加快迭代法的速度呢？也涉及到初值的选取问题如何改善迭代法的适用范围呢？2由G-S迭代法的矩阵形式矩阵形式加速加速法主要思想3-(5)两边同时乘两边同时乘D D4-(6)上式为逐次超松弛法(SOR迭代法)的矩阵形式令-(7)5SOR法化为G-SG-S迭代法迭代法G-S法为SOR法的特例, SOR法为G-S法的加速例1.用G-S法和SOR法求下列方程组的解,要求精度1e-66解:(1)G-S迭代法7x,k=gauss
2、_seidel(a,b,1,1,1,1e-6) 1 1 1 0.7500000 0.3750000 1.5000000 0.5625000 0.5312500 1.5416667 0.6510417 0.5963542 1.6145833 0.7018229 0.6582031 1.6727431. 0.9999933 0.9999923 1.9999926 0.9999943 0.9999935 1.9999937 0.9999952 0.9999944 1.9999946 k = 71x=0.9999950.9999941.999995满足精度的解迭代次数为71次8(1)SOR迭代法 1
3、1 1 0.6375000 0.0121875 1.3199063 0.2004270 0.3717572 1.3122805 0.6550335 0.5340119 1.6922848 0.7058468 0.7733401 1.7771932. 0.9999990 0.9999976 1.9999991 0.9999984 0.9999993 1.9999989 0.9999998 0.9999994 1.9999998 0.9999996 0.9999998 1.9999997 k = 24x=1.0000001.0000002.000000满足精度的解迭代次数为24次SOR法的收敛速度
4、比G-S法要快得多9SOR法都收敛吗？1.SOR迭代法收敛的充要条件是对于SOR迭代法(7),有如下结论-(8)(此结论的证明较复杂此结论的证明较复杂), 因此有另外,松弛因子的选取是很困难的,一般采用试算试算进行10二、非线性方程迭代法的加速对于迭代法上式的迭代函数令迭代改变量即求导并令-(9)11得因此有松弛迭代法:-(10)从后面的例子可以看出,加速效果是明显的甚至一些不收敛的迭代法经过松弛加速后也能收敛12不方便中值定理差商近似代替导数即13于是可以得到迭代格式:其中-(11)上组公式称为Altken公式或Altken加速14将(11)式综合后可得一个解析式表示的迭代法:-(12)上式
5、称为Steffensen迭代法Altken公式与Steffensen公式是等价的加速效果也是很明显的例2中将比较不同加速方法15例2.对迭代格式进行加速解方程组解:x0 = 0.5x1 = 0.375x2 = 0.3509115x3 = 0.3477369x4 = 0.3473496x5 = 0.3473028x6 = 0.3472971x7 = 0.3472964(1)直接使用迭代格式迭代7次,得到满足精度的解16(2)对迭代格式进行松弛加速x0 = 0.5x1 = 0.3333333x2 = 0.3472222x3 = 0.3472964x4 = 0.3472964迭代4次,得到满足精度的
6、解17(3)对迭代格式进行Altken加速(11)式x0 = 0.5x1 = 0.3451613x2 = 0.3472961x3 = 0.3472964迭代3次,得到满足精度的解从以上3种结果可见,迭代法加速技术效果比较明显迭代格式显然不收敛18x0 = 1.5x1 = 1.5350706x2 = 1.5321124x3 = 1.5320889x4 = 1.5320889迭代4次,得到满足精度的解对迭代格式进行松弛加速x = 1.5x = 1.5333333x = 1.5320906x = 1.5320889x = 1.5320889迭代4次,得到满足精度的解对迭代格式进行Altken加速可见加速技术可能将不收敛的迭代法加速为收敛19
