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1、3.1.4 3.1.4 空间向量的直角坐标运算空间向量的直角坐标运算授课人：焦龙授课人：焦龙空间向量基本定理空间向量基本定理 如果三个向量如果三个向量a、b、c不共面，不共面，那么对空间任一向量那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使使p=xa +yb+zc 思思 考考: :空间向量的基本定理是由什么类比空间向量的基本定理是由什么类比推广而得到的呢？推广而得到的呢？平面向量平面向量基本定理基本定理空间向量空间向量基本定理基本定理类类 比比推推 广广在平面直角坐标系中如何用坐标表示在平面直角坐标系中如何用坐标表示向量呢？向量呢？思思 考考: :平面向量
2、平面向量坐标表示坐标表示空间向量空间向量坐标表示坐标表示类类 比比推推 广广墙墙墙墙地面地面z134x4y15O一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系空间直角坐标系的画法空间直角坐标系的画法: :oxyz1.1.x x轴与轴与y y轴、轴、x x轴与轴与z z轴均成轴均成1351350 0, ,而而z z轴垂直于轴垂直于y y轴轴1351350 01351350 02.2.y y轴和轴和z z轴的单位长度相同，轴的单位长度相同，x x轴上的单位长度为轴上的单位长度为y y轴（或轴（或z z轴）的单位长度的一半轴）的单位长度的一半 这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的这三个互相垂直的单位向量构成
3、空间向量的一个基底一个基底i, j, k这个基底叫做这个基底叫做单位正交基底单位正交基底,单位向量单位向量i, j, k都叫做坐标向量都叫做坐标向量. 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿分别沿x轴轴,y轴轴,z轴的正方向引单位向量轴的正方向引单位向量i, j, k. 空间向量的直角坐标运算空间向量的直角坐标运算a=xi+yj+zk 在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz中中,已知任一向量已知任一向量a,根据空根据空间向量分解定理间向量分解定理,存在唯一数组存在唯一数组(x,y,z),使使xi,yj,zk 分别为向量分别为向量a在在i,j,k方向上的分向量方向上的分向量,有序
4、数组有序数组(x,y,z)，叫作向量，叫作向量a在此直角坐标在此直角坐标系中的坐标系中的坐标.记作记作 a=(x,y,z) 空间向量的直角坐标运算空间向量的直角坐标运算思思 考考: :平面向量用坐标表示后，平面向量平面向量用坐标表示后，平面向量有哪些线性运算法则？如何类比推有哪些线性运算法则？如何类比推广到空间呢？广到空间呢？平面向量坐标运算平面向量坐标运算利利用用学学过过的的知知识识，你你能能类类比比猜猜想想出出空空间间向向量量运运算算的的坐坐标标表表示示吗吗？动动动动脑脑，动动动动手手，你你会会得得到到意意想想不不到到的的收收获获平面向量坐标运算平面向量坐标运算空间向量坐标运算空间向量坐标
5、运算o例例1已知已知a=(1,-4,8),b=(3,10,-4),求a+b,ab,3a-2b. a+b=(1,-4,8)+ (3,10,-4) =(1+3,-4+10,8-4) =(4,6,4) ab = (1,-4,8) (3,10,-4)=3-40-32=-69 3a-2b =3 (1,-4,8)-2 (3,10,-4) =(-3,-32,32)变式变式已知a+b=(1,-4,8),a-b=(3,10,-4),求3a-2b法一：法一：由a+b=(1,-4,8),a-b=(3,10,-4),得2a=(a+b)+(a-b)=(4,6,4);2b=(a+b)-(a-b)=(-2,-14,12);
6、即a=(2,3,2);b=(-1,-7,6);所以所以3a-2b=(8,23,-6)法二：法二：设3a-2b=m(a+b)+n(a-b) =(m+n)a+(m-n)b则m+n=3,m-n=-2;m=1/2,n=5/2;所以所以3a-2b=1/2(a+b)+5/2(a-b) =(8,23,-6)(-2,3,1)(2,-4,1)(4,-8,2)(10,1,8)(12,-3,9)变式训练，提高能力变式训练，提高能力变1:已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10), D(8,4,9),求证四边形ABCD是梯形。B C= (8,5,7)变式训练，提高能力变式训练，提高能力
7、变2.已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,n,10), D(8,4,m),又四边形ABCD是梯形，且ABCD, 求实数m,n的值。 例3:已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2) ，求向量n 使na ，且nb .已知A(1,0,1)、B(4,4,6)、C(2,2,3)、D(10,14,17)，且ADxAByAC，则xy_.空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算5坐标形式下平行与垂直问题坐标形式下平行与垂直问题 已知a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)若(kab)(a3b)，求k.(2)若(kab)(a3b)，求k.-1/3106/3思思考考?回顾反思回顾反思 总结提炼总结提炼知识总结：知识总结：1.1.如何用坐标表示空间向量；如何用坐标表示空间向量；2.2.空间向量坐标运算法则；空间向量坐标运算法则；方法提炼：方法提炼：1.1.类比推广类比推广 2. 2.数形结合数形结合3.3.方程思想方程思想 4. 4.整体思想整体思想思思考考?教材第教材第92页，练习页，练习1、 2 、3 、4、 5
