曲线积分与曲面积分

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1、曲线积分与曲面积分实验目的学习用软件计算曲线积分、曲面积分实验内容实验内容1、曲线积分、曲线积分1、对弧长的曲线积分若L： t，则 若L： t，则例1计算 ， 为 x2+y2=a2 中的 一段弧。 解 方法：选x 为参数，则 yxAB0方法：选y为参数，则 方法：选t为参数，则有参数方程 syms t I=int(x*y*sqrt(diff(x)2+diff(y)2), atan(sqrt(3),pi/2)运行结果： I =1/8*a2*(a2)(1/2)I=simple(I)运行结果： I=1/8*a32、对坐标的曲线积分L是二维有向曲线： t： 是三维有向曲线： t： 例2计算x3dx+3

2、zy2dy-x2ydz，其中 是从点A（3，2，1）到点B（0，0，0） 的直线段 。 解直线段 的方程为 化为参数方程 t：10 syms t x=3*t; y=2*t; z=t; I=int(x3*diff(x)+3*z*y2*diff(y) -x2*y*diff(z),t,1,0) 运行结果： I =-87/43、格林公式 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成， 函数P（x,y）及Q（x,y）在D上具有一阶 连续偏导数，则有其中L是D的取正向的边界曲线。 例3计算曲线积分 L(x2+xy)dx+(x2+y2)dy，其中L是区域0x1，0y1的边界正向。 解令P（x,y）=x2+xy Q（x,

3、y）=x2+y2 由格林公式得 syms x y P=x2+x*y; Q=x2+y2;I=int(int(diff(Q,x)-diff(P,y),y,0,1),x,0,1) 运行结果： I =1/2二、曲面积分二、曲面积分1 、对面积的曲面积分若曲面的方程为:z=z(x,y),则 例4计算曲面积分其中为锥面 被曲面x2+y2=2ax所截得的部分。 解：步骤(1)由的参数方程作曲面的图形和在xoy平面的投影区域Dxy的图形； (0t2) (2)建立直角坐标系下的被积函数； (3)将F(x,y)作极坐标变换x=rcost, y=rsint; (4)将曲面积分化为对r,t的二次积分 (5)化简积分结

4、果程序：2、对坐标的曲面积分化为二次积分例5计算 ，其中是上半球面 的上侧。 解步骤：1、作上半球面的图形及其在三个坐标 平面的投影图形；2 、计算II1I2I3 3、高斯公式设空间闭区域是由 分片光滑的闭曲面所围成，函数 p(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在上具有一阶连续导数，则有例6用高斯分式计算例5 解分析：积分曲面不是封闭曲面，添加平面1:z=0 使构成封闭曲面1。 步骤：(1)计算沿封闭曲面的积分令P=xz2,Q=x2y-z3,r=2xy+y2z,(2)计算1上的曲面积分(3) syms a x y z s r tP=x*z2;Q=x2*y-z2;R=2*x*y

5、+y2*2;f=diff(P,z)+diff(Q,y)+diff(R,z);f=subs(f,x,y,z,r*sin(s)*cos(t), r*sin(s)*sin(t),r*cos(s);I1=int(int(int(f*r2*sin(s),r,0,a),s,0,pi/2), t,0,2*pi) 运行结果： I1 =2/15*a5*pi I2=int(int(2*x*y,y,-sqrt(a2-x2), sqrt(a2-x2),x,-a,a) 运行结果： I2 =0 I=I1-I2 运行结果： I = 2/15*a5*pi上机上机实验题 1 1、计算下列曲算下列曲线积分分(1) ,其中L为摆线一x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0t2)。(2) ，其中L为圆周x2+y2=a2,直 线y=x及轴在第一象限内所围成的 扇形的整个边界。 (3) ,其中L是抛 物线y=x2上从点（1,1）到点（1,1）的一段弧。 (4) ,其中L为圆周(x-1)2+y2=2， 逆时针方向。 2 、计算下列曲面算下列曲面积分分(1) ，其中为平 面2x+2y+z=6在处一卦限中的部分. (2) ,其中是球面x2+y2+z2=R2 的下半部分的下侧。 (3) ，其中是界于 z=0和z=3之间的圆柱体x2+y29 的整个表面的外侧。