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1、-利用向量解决空间的距离问题利用向量解决空间的距离问题3.2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(四四)向量法求空间距离的求解方法向量法求空间距离的求解方法1.空间中的距离主要有空间中的距离主要有:两点间的距离、点到直线的两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面的距离、异面直线间的距离平面的距离、异面直线间的距离.其中直线到平面的其中直线到平面的距离、平行平面的距离都可以转化点到平面的距离距离、平行平面的距离都可以转化点到平面的距离.2.空间中两点间的距离空间中两点间的距离:设设A(x1,y1,z1),B(x2,y
2、2,z3),则则3.求点到平面的距离求点到平面的距离:如图点如图点P为平面外一点，为平面外一点，点点A为平面内的任一点，平面的法向量为为平面内的任一点，平面的法向量为n,过过点点P作平面作平面 的垂线的垂线PO，记，记PA和平面和平面 所成的所成的角为角为 ，则点，则点P到平面的距离到平面的距离n APO BAaMNnab4.4.异面直线的距离异面直线的距离: :作直线作直线a、b的方向向量的方向向量a、b，求，求a、b的法向量的法向量n，即此，即此异面直线异面直线a、b的公垂线的方的公垂线的方向向量；向向量；在直线在直线a、b上各取一点上各取一点A、B，作向量，作向量AB；求向量求向量AB在
3、在n上的射影上的射影d，则异面直线，则异面直线a、b间的距间的距离为离为 例例1：如图如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD图图1解解:如图如图1,不妨设不妨设化为向量问题化为向量问题依据向量的加法法则依据向量的加法法则，进行向量运算进行向量运算所以所以回到图形问题回到图形问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长
4、是棱长的的长是棱长的 倍倍。典典例例思考：思考：(1)本题中四棱柱的对角线本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？的长与棱长有什么关系？ (2)(2)如果一个四棱柱的各条棱如果一个四棱柱的各条棱长长都相等，并且以都相等，并且以某一某一顶顶点点为为端点的各棱端点的各棱间间的的夹夹角都等于角都等于 , , 那么那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗? ?A1B1C1D1ABCD (3) (3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少是多少? (? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平提示：求两个平行
5、平面的距离，通常归结为求点到平面的距离或两点间的距离）面的距离或两点间的距离）思考思考(1)分析分析:思考思考(2)分析分析: 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.A1B1C1D1ABCDH 分析：分析：面面距离转化为点面距离来求面面距离转化为点面距离来求解：解： 所求的距离是所求的距离是 思考思考(3)(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少? ? 如何用向量法求点到平面的距离如何用向量法求点到平面的距离?(1) 求求B1到面到面A1BE的距离；的距离；例例2 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C
6、1D1中，棱中，棱长为长为1，E为为D1C1的中点，求下列问题：的中点，求下列问题：例例2 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱长为长为1，E为为D1C1的中点，求下列问题：的中点，求下列问题：(2) 求求D1C到面到面A1BE的距离；的距离；解解: D1C 面面A1BE D1到面到面A1BE的距离即为的距离即为D1C到面到面A1BE的距离的距离仿上法求得仿上法求得例例2 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱长为长为1，E为为D1C1的中点，求下列问题：的中点，求下列问题：(3) 求面求面A1DB与面与面D1CB1的距离；的距离；解解
7、: 面面D1CB1 面面A1BD D1到面到面A1BD的距离即为的距离即为面面D1CB1到面到面A1BD的距离的距离例例2 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱中，棱长为长为1，E为为D1C1的中点，求下列问题：的中点，求下列问题：(4) 求异面直线求异面直线D1B与与A1E的距离的距离.课堂练习课堂练习: :练习练习1：如图，空间四边形如图，空间四边形OABCOABC各边以及各边以及ACAC，BOBO的长都是的长都是1 1，点，点D D，E E分别是边分别是边OAOA，BCBC的中点，的中点，连结连结DEDE，计算，计算DEDE的长。的长。 OABCDEFEB1C1D
8、1DCA练习练习2：已知棱长为已知棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别是分别是B1C1和和C1D1 的中点，求点的中点，求点A1到平到平面面DBEF的距离。的距离。BxyzA1练习练习3：如图在直三棱柱如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AC=BC=1, ACB=900,AA1= ,求求B1到平面到平面A1BC的距离。的距离。B1A1BC1ACxyz小结小结 利用法向量来解决上述立体几何题目，最大利用法向量来解决上述立体几何题目，最大的的优点就是不用象在进行几何推理时那样去优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解
9、决，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。（长）方体、直棱柱、正棱锥等。作业作业P112 A组组 5 9 补充作业：补充作业： 已知正方形已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG 平面平面ABCD，CG=2,E、F分别是分别是AB、AD的中点，的中点，求点求点B到平面到平面GEF的距离。的距离。GBDACEFxyz
