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1、1.2.1 极限与极限与函数函数的连续的连续1.2.3 偏导数与全微分偏导数与全微分1.2.2 导数与微分导数与微分1.2 1.2 微分微分学学1.2.4 导数与微分应用导数与微分应用1.2.1 1.2.1 极限与函数的连续极限与函数的连续1. 函数定义定义: 定义域 值域设函数为特殊的映射:其中定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。函数的特性函数的特性有界性 ,单调性 , 奇偶性 ,周期性 复合函数初等函数有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与复合而成的一个表达式的函数.例如例如. . 函数函数函数函数2 2 极限极限 极限定义的等价形式 (以 为例 )(即 为无穷小)极限
2、存在准则及极限运算法则无穷小无穷小无穷小无穷小无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;常用等价无穷小: 两个重要极限两个重要极限 重点：求极限的基本方法 洛必达法则洛必达法则例例1.1. 求下列极限：求下列极限：求下列极限：求下列极限：提示提示: 无穷小有界令令令令3. 3. 连续与间断连续与间断连续与间断连续与间断函数连续的定义函数间断点第一类（左右极限存在）第二类（左右极限至少有一个不存在）可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点重要结论：重要结论：重要结论：重要结论：初等函数在定义区间内连续初等函数在定义区间内连续初等函数在定义区间内连续初等函数在定义区间内连续例例2. 设函数在 x = 0
3、连续 , 则 a = , b = .提示提示:有无穷间断点及可去间断点解解:为无穷间断点, 所以为可去间断点 ,极限存在例例例例3.3. 设函数设函数设函数设函数试确定常数 a 及 b .1.2.2 1.2.2 导数和微分导数和微分导数导数 定义:当时,为右导数当时,为左导数 微分微分 : 关系关系 :可导可微导数几何意义导数几何意义:切线斜率切线斜率1. 有关概念例例例例4.4.4.4.设设设设在处连续,且求解解:2.导数和微分的求法正确使用导数及微分公式和法则 （要求记住！）P10隐函数求导法参数方程求导法高阶导数的求法(逐次求一阶导数）例例例例5. 5. 求由方程求由方程求由方程求由方程
4、在 x = 0 处的导数解解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故确定的隐函数例例6. 6. 求解解:关键关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导1.2.3 偏导数与全微分1. 多元显函数求偏导和高阶偏导2. 复合函数求偏导注意正确使用求导符号3. 隐函数求偏导将其余变量固定，对该变量求导。4. 全微分5. 重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续例例7.7. 求求求求解法解法1:解法解法2:在点(1 , 2) 处的偏导数.解：设则例例例例8. 8. 8. 8. 设设设设 拉格朗日中值定理 1.2.4 导数与微分的应用1. 微分
5、中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 函数单调性的判定及极值求法函数单调性的判定及极值求法若定理定理 1. 设函数则 在 I 内单调递增(递减) .在开区间 I 内可导,2. 2. 研究函数的性态研究函数的性态: :极值第一判别法极值第一判别法极值第一判别法极值第一判别法且在空心邻域内有导数,(1) “左左正正右右负负” ,(2) “左左负负右右正正” ,极值第二判别法极值第二判别法极值第二判别法极值第二判别法二阶导数 , 且则 在点 取极大值 ;则 在点 取极小值 .例例例例9. 9. 确定函数确定函数确定函数确定函数的单调区间.解解:令得故的单调增单调增区间
6、为的单调减单调减区间为例例例例10.10. 求函数求函数求函数求函数的极值 . 解解: 1) 求导数2) 求驻点令得驻点3) 判别因故 为极小值 ;又故需用第一判别法判别.例例例例11.11. 把一根直径为把一根直径为把一根直径为把一根直径为 d d 的圆木锯成矩形梁的圆木锯成矩形梁的圆木锯成矩形梁的圆木锯成矩形梁 , ,问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知 , 所求最值存在 ,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择 .定理定理2.2.( (凹凸判定法凹凸判定法凹凸判定法凹凸判定法) )(1) 在
7、 I 内则 在 I 内图形是凹的 ;(2) 在 I 内则 在 I 内图形是凸的 .设函数在区间I 上有二阶导数凹弧凸弧的分界点为拐点凹弧凸弧的分界点为拐点例例例例12.12. 求曲求曲求曲求曲线线线线的凹凸区间及拐点.解解:1) 求2) 求拐点可疑点坐标令得对应3) 列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及均为拐点.凹凹凸的连续性及导函数例例例例13. 13. 填空题填空题填空题填空题(1) 设函数其导数图形如图所示,单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点为 .提示提示:的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ; .在区间 上是凸弧 ;拐点为 提示提示:的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 (2) 设函数设函数设函数设函数的图形如图所示,
