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1、第八章第八章 定积分定积分8.1 定积分定积分8.2 可积准则可积准则8.3 定积分的性质定积分的性质8.4 定积分的计算定积分的计算 定积分的应用定积分的应用8.1 定积分定积分一、曲边梯形的面积一、曲边梯形的面积二、定积分的概念二、定积分的概念三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义一、一、 曲边梯形的面曲边梯形的面积积设设为闭区间为闭区间上的连续函数，且上的连续函数，且由曲线由曲线直线直线轴所围成轴所围成平面图形称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积。平面图形称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积。abxyoabxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然
2、，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当
3、分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系这一越来越逼近曲边梯形面积的过程可以分三步进行：这一越来越逼近曲边梯形面积的过程可以分三步进行： 1. 分割：分割：把曲边梯形把曲边
4、梯形 A 分成分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形a即在即在上找到上找到 个分点个分点2. 近似近似: :3. 逼近逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是不管分割多么细，小曲边梯形终究不是S 总有差别总有差别. 当分割越来越细时，和式当分割越来越细时，和式就会越来越小就会越来越小.与曲边梯形的面积与曲边梯形的面积矩形，因此黎曼和矩形，因此黎曼和二、定积分的概念二、定积分的概念称为称为积分和或黎曼和积分和或黎曼和; 若极限若极限 积分上限积分上限积分下限积分下限被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积积分分和和三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形
5、面积的负值曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和各部分面积的代数和例例1. 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解 将将 0,1 n 等分等分, 分点分点为为取取定理定理1 ( (可积必有界）可积必有界）若函数若函数 在在 上可积，则上可积，则 在在 上必有界上必有界.例如，狄利克雷函数例如，狄利克雷函数 可积准则可积准则一、大和与小和一、大和与小和二、可积准则二、可积准则三、三类可积函数三、三类可积函数称为称为 f 关于分割关于分割 T 的的大和大和, ,其中其中称为称为 f 关于分割关于分割 T 的的小和小和, ,其中其中对任意分割对任意分割定义定义一、大和与小和一、大和与小和二、可积准则二、可积准则定理定理 1（可积准则）（可积准则）函数函数 f 在在a, b上可积的充要上可积的充要条件是：条件是：记记 定理定理 2（连续必可积）（连续必可积）连续，则可积连续，则可积. .若若三、三类可积函数三、三类可积函数定理定理 3（有限个间断点的有界函数必可积）（有限个间断点的有界函数必可积） f 在在 a, b 上可积上可积.定理定理 4（单调必可积）（单调必可积）注：注：单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性性. . 定积分的性质定积分的性质例例1
