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1、1/19第一型曲线积分的概念及性质第一型曲线积分的概念及性质第一型曲线积分的计算第一型曲线积分的计算小结小结2/19一、第一型曲线积分的概念及性质一、第一型曲线积分的概念及性质1第一型曲线积分的概念第一型曲线积分的概念3/192第一型曲线积分的物理意义第一型曲线积分的物理意义(1)(2)柱面面积柱面面积弧长弧长3第一型曲线积分的几何意义第一型曲线积分的几何意义4/19对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分连续连续, ,4存在条件存在条件注意注意(对路径具有可加性对路径具有可加性)5/19(1)(2)(3) 与积分路径的方向无关与积分路径的方向无关, 即即5性质性质为简单起见，以平面曲线积分为例为简单
2、起见，以平面曲线积分为例6/19 在一条光滑在一条光滑(或分段光滑或分段光滑)的的是是L上上关于关于x 的奇函数的奇函数 是是L上关于上关于x 的偶函数的偶函数 L1是曲线是曲线L落在落在y 轴一侧的部分轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的L关于关于y轴轴 对称对称,补充补充对称性质对称性质曲线曲线L上连续上连续, 则则当当(或或y)(或或y)当当(或或x轴轴)(或或x) 运用对称性简化对弧长的曲线积分运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时计算时, 应同时考虑被积函数应同时考虑被积函数 与与积分曲线积分曲线L的对称性的对称性.7/19例例其中其中L是圆周是圆周解解因因积
3、分曲线积分曲线L关于关于被积函数被积函数x是是L上上被积函数被积函数因因积分曲线积分曲线L关于关于对称性对称性, ,计算计算得得是是L上上y轴轴对称对称,关于关于x的奇函数的奇函数x轴轴对称对称,关于关于y的奇函数的奇函数8/19二、第一型曲线积分的计算二、第一型曲线积分的计算定理定理其中其中且且有定义且连续有定义且连续,具有一阶连续导数具有一阶连续导数,9/19（1）对弧长的曲线积分要求）对弧长的曲线积分要求，定积分的，定积分的一定要小于上限一定要小于上限注：注：下限下限（2）10/19特殊情形特殊情形(1)(2)11/19(3)推广推广12/19例例解解例例解解对对x积分积分?13/19在第一象限中所围图形的边界在第一象限中所围图形的边界.提示提示解解例例14/19故故15/19解解 对对称称性性16/19第一型曲线积分的概念及性质第一型曲线积分的概念及性质 第一型曲线积分的计算公式第一型曲线积分的计算公式三、小结三、小结(物理意义，几何意义，线性性质，与积分路物理意义，几何意义，线性性质，与积分路径的方向无关，对积分路径的可加性等）径的方向无关，对积分路径的可加性等）(弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式)
