《6.1留数的概念及留数的求法课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《6.1留数的概念及留数的求法课件（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复变函数论复变函数论Functions of One Complex Variable湖南第一师范学院数理系湖南第一师范学院数理系第六章第六章 留数理论及其应用留数理论及其应用6.1 留数留数6.2 用留数定理计算实积分用留数定理计算实积分6.3 辐角原理及其应用辐角原理及其应用1.留数的定义及留数定理留数的定义及留数定理 设函数设函数f(z)在点在点a解析解析.作圆作圆C:| za |=r 设设函函数数f(z)在在区区域域0|z-a|R内内解解析析.选选取取r，使使0rR，并且作圆，并且作圆C:| za |=r 如果如果f(z)在在a也解析，则上面的积分也等于零；也解析，则上面的积分也等于零
2、；使使f(z)在在以以它它为为边边界界的的闭闭圆圆盘盘上上解解析析，那那么么根根据据柯西积分定理柯西积分定理6.1 留数留数 如如果果a是是f(z)的的孤孤立立奇奇点点，则则上上述述积积分分就就不不一定等于零一定等于零. 定义定义6.1设设f(z)在点在点a的某去心邻域的某去心邻域0| za |R 内解析，则称积分内解析，则称积分为为f(z)在孤立奇点在孤立奇点a的留数的留数(residue)，记作，记作而而且且这这一一展展式式在在上上一一致致收收敛敛。逐逐项项积积分分，我我们们有有因此因此注注1.我我们们定定义义的的留留数数与与圆圆的的半半径径无无关关：事事实实上上，在在0|z-a|R内内，
3、f(z)有有洛洛朗展式：朗展式： 注注2.f(z)在在孤孤立立奇奇点点a的的留留数数等等于于其洛朗级数展式中其洛朗级数展式中的系数的系数c-1。 注注3.如果如果a是是f(z)的可去奇点，那么的可去奇点，那么柯西留数定理柯西留数定理 定定理理6.1如如果果f(z)在在周周线线或或复复周周线线C所所围围的的区区域域D内内，除除a1，a2，an外外解解析析，在闭域在闭域D+C上除上除a1，a2，an外连续，则外连续，则留数定理的证明留数定理的证明 以以D内每一个孤立奇点内每一个孤立奇点ak为心，作圆为心，作圆k，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D内，并且内，并且使任
4、意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。从使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。从D中中除去以这些除去以这些k为边界的闭圆盘的一个区域为边界的闭圆盘的一个区域G，其边界是其边界是C以及以及k . 在在G及及其其边边界界所所组组成成的的闭闭区区域域上上，f(z)解解析析。因此根据柯西定理，因此根据柯西定理， 注注1.留留数数定定理理在在两两个个完完全全不不同同，也也不不相相干干的概念之间架起了一座桥梁的概念之间架起了一座桥梁. 注注2.具体计算一定要注意前面的系数具体计算一定要注意前面的系数2i. 注注3.柯柯西西积积分分定定理理与与柯柯西西积积分分公公式式都都是是柯柯西留数定理的特殊情形西留数定理的特殊
5、情形. 注注4.留留数数定定理理把把计计算算周周线线积积分分的的整整体体问问题题化为计算各孤立奇点处的留数的局部问题化为计算各孤立奇点处的留数的局部问题. 2.留数的求法留数的求法 计算计算f (z)在孤立奇点在孤立奇点a的留数时，我们的留数时，我们只关心其洛朗级数展式中的洛朗系数只关心其洛朗级数展式中的洛朗系数c-1，应用洛朗级数是求留数的一般方法应用洛朗级数是求留数的一般方法.但是对但是对于奇点较多的情形此法较繁于奇点较多的情形此法较繁. 对于计算对于计算f (z)在极点在极点a处处的留数时，我的留数时，我们有下面的定理：们有下面的定理： 定理定理6.2设设a为为f(z)的的n阶极点，阶极
6、点， 推论推论6.3设设a为为f(z)的二阶极点，的二阶极点， 定理定理6.2的结论也可写成的结论也可写成 推论推论6.3设设a为为f(z)的一阶极点，的一阶极点， 定理定理6.5设设a为为的一阶极点的一阶极点. 其中其中P(z)及及Q(z)在在a解析，解析，P(a)0，Q(a)=0.例例1.函数函数因此因此有两个一阶极点有两个一阶极点z =i，这时，这时例例2.函数函数在在z=0有三阶极点，而有三阶极点，而因此因此由上述公式也可得：由上述公式也可得：例例3.函数函数在在z =i 有二阶极点有二阶极点.这时这时令令z=i+t，那么在，那么在的的泰泰勒勒展展式式中中，t的的系系数数就就是是f(z
7、)在在z=i处处的的留留数数。写出写出h(t)中每个因子的到中每个因子的到t的一次项，我们有：的一次项，我们有：当当|t|1时时,因此当因此当|t|1时，时， 于是于是由上述公式也可得：由上述公式也可得：例例6.3计算积分计算积分 . 解解只以只以z = 0为三阶极点为三阶极点.例例6.4计算积分计算积分 . 解法一解法一例例6.4计算积分计算积分 . 解法二解法二的全部零点为的全部零点为 在在|z|=1内只有内只有z =0一个零点一个零点.且为且为被积函数的一阶极点被积函数的一阶极点.例例6.5计算积分计算积分 . 解解只以只以z =0为本质奇点为本质奇点.本本 讲讲 结结 束束作作 业业 第第269页页1.(4)(5)(6)
