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1、线段的垂直平分线线段的垂直平分线本课内容本节内容2.4观察观察 如图如图，人字形屋顶的框架中，点人字形屋顶的框架中，点A与点与点A关关于线段于线段CD所在的直线所在的直线l 对称对称，问，问线段线段CD所在的直所在的直线线l 与线段与线段AA有什么关系有什么关系？我发现我发现 我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图. 已知点已知点A与点与点A关于直线关于直线l 对称，如果沿直线对称，如果沿直线l折折叠，则点叠，则点A与点与点A重合，重合，AD=AD，1=2= 90，即，即直线直线l 既平分线段既平分线段AA，又垂直线段，又垂直线段AA.lAAD21
2、(A) 我们把垂直且平分一条线段的直线叫我们把垂直且平分一条线段的直线叫作作这条这条线段的线段的垂直平分线垂直平分线. 由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴分线是它的对称轴. 如图，在线段如图，在线段AB的垂直平分线的垂直平分线l 上任上任取一点取一点P，连接，连接PA，PB，线段，线段PA，PB之之间有什么关系间有什么关系？探究探究探究探究 作关于直线作关于直线l 的轴反射的轴反射（即沿直线即沿直线l 对折对折），由于，由于l 是线段是线段AB的垂直平分线，因此点的垂直平分线，因此点A与点与点B重合重合. 从从而线段而线段PA与线段
3、与线段PB重合，于是重合，于是PA=PB.(A)(B)BAPl结论结论 线段垂直平分线上的点到线段两端线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的距离相等.由此得出线段垂直平分线的性质定理：由此得出线段垂直平分线的性质定理：动脑筋动脑筋 我们知道线段垂直平分线上的点到线段两我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段到线段AB两端的距离两端的距离PA与与PB相等，那么点相等，那么点P在线段在线段AB的垂直平分线上吗的垂直平分线上吗？（1）当点当点P在线段在线段AB上时，上时，因为因为PA=PB，所以点所以点P为线段为线段AB的中
4、点，的中点，显然此时点显然此时点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.（2）当点当点P在线段在线段AB外时，如下图所示外时，如下图所示.因为因为PA=PB，所以所以PAB是等腰三角形是等腰三角形.过顶点过顶点P作作PCAB，垂足为点，垂足为点C，从而底边从而底边AB上的高上的高PC也是底边也是底边AB上的中线上的中线.即即 PCAB，且，且AC=BC.因此直线因此直线PC是线段是线段AB的垂直平分线，的垂直平分线，此时点此时点P也在线段也在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.结论结论 到线段两端距离相等的点在线段的垂到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上直平分线上.由此得到线段
5、垂直平分线的性质定理的逆定理：由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：例例 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB，BC的垂直平的垂直平 分线相交于点分线相交于点O，连接，连接OA，OB，OC. 求证：点求证：点O在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上.举举例例证明证明 点点O在线段在线段AB的垂直平分线上，的垂直平分线上， OA=OB.同理同理OB=OC. OA=OC. 点点O在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上.练习练习1. 如图，在如图，在ABC中，中，AB的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交 AB，BC于点于点D，E，B=30，BAC= 80， 求求CAE的度数的度数.答：答：
6、CAE=50.2.已知：如图，点已知：如图，点C，D是线段是线段AB外的两点，且外的两点，且 AC =BC，AD=BD，AB与与CD相交于点相交于点O. 求证：求证：AO=BO.证明：证明： AC =BC，AD=BD，点点C和点和点D在线段在线段AB的垂直平分线上，的垂直平分线上， CD为线段为线段AB的垂直平分线的垂直平分线.又又 AB与与CD相交于点相交于点OAO=BO.做一做做一做如图，已知线段如图，已知线段AB，作线段，作线段AB的垂直平分线的垂直平分线. 根据根据“到线段两端距离相等到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上的点在线段的垂直平分线上”，要作线段要作线段AB的垂直平分线
7、，关键的垂直平分线，关键是找出到线段是找出到线段AB两端距离相等的两端距离相等的两点两点. 因为线段因为线段AB的垂直平分线的垂直平分线CD与线段与线段AB的的交点就是线段交点就是线段AB的中点，所以可以用这种方法的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点作出线段的中点.动脑筋动脑筋如何过一点如何过一点P作已知直线作已知直线l的垂线呢的垂线呢？ 由于两点确定一条直线，由于两点确定一条直线， 因此我们可以通过在已知直线因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线知直线的垂线. 用尺规完成下列作图用尺规
8、完成下列作图（只保留作图痕迹，不要只保留作图痕迹，不要求写出作法求写出作法）. .1. 如图，在直线如图，在直线l上求作一点上求作一点P，使，使PA= PB.练习练习2. 如图，作出如图，作出ABC的的BC边上的高边上的高. 如图，在如图，在ABC中，中，BC=8cm，AB的垂直的垂直平分线交平分线交AB于点于点D，交边，交边AC于点于点E，BCE的周长等于的周长等于18cm，则，则AC的长等于（的长等于（ ）.A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm中考中考 试题试题例例解析解析DE是是AB的垂直平分线，的垂直平分线，AE=BE( (线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).).又又在在BCE中，中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，BE+CE=10cm.AC=AE+CE=BE+CE=10cm.故应选择故应选择C.C结结 束束
