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1、一、倍长中线一、倍长中线法法 遇遇到到中中线线可可以以利利用用倍倍长长中中线线，构构造造X全全等等，即即把把中中线线延延长长一一倍倍，来来构构造全等三角形。造全等三角形。 如图，若如图，若AD为为ABC的中线，的中线， 结论结论：ABCDE12 延长延长AD到到E，使，使DE=AD，连结连结BE（也可连结（也可连结CE）。）。ABDECD，1=E，B=2，EC=AB，CEAB。 可以利用角平分线所在直线可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。等三角形。二、角平分线对称全等二、角平分线对称全等 如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC。方
2、法一：方法一：ABCDE必有结论：必有结论：在在AB上上截截取取AE=AC，连结，连结DE。ADEADC。ED=CD，3 3* *2 21 1AED=C，ADE=ADC。方法二：方法二：ABCDF延延 长长 AC到到 F， 使使AF=AB，连结，连结DF。必有结论：必有结论：ABDAFD。BD=FD，3 3* *2 21 1 如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC。 可以利用角平分线所在直可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。构造全等三角形。B=F，ADB=ADF。ABCDMN方法三：方法三：作作 DMAB于于 M，DNAC于于N。必有
3、结论：必有结论：AMDAND。DM=DN，3 3* *2 21 1 如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC。 可以利用角平分线所在直可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。构造全等三角形。AM=AN，ADM=AND。 （还可以用（还可以用“角平分线上的点到角的两角平分线上的点到角的两边距离相等边距离相等”来证来证DM=DN）证明证明：例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：A+C=180A+C=180DABCE在在BC上截
4、取上截取BE，使，使BE=AB，连结，连结DE。 BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）在在ABD和和EBD中中 AB=EB（已知）（已知） 1=2（已证）（已证） BD=BD（公共边）（公共边）ABDEBD（S.A.S）1243 3+ 4180（平角定义），（平角定义），A3（已证）（已证）A+ C180 （等量代换）（等量代换）3 32 21 1* * A3（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） AD=CD（已知），（已知），AD=DE（已证）（已证）DE=DC（等量代换）（等量代换）4=C（等边对等角）（等边对等角）AD=D
5、E（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）证明证明: :例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：A+C=180A+C=180DABCF延长延长BA到到F，使，使BF=BC，连结，连结DF。 BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）在在BFD和和BCD中中 BF=BC（已知）（已知） 1=2（已证）（已证） BD=BD（公共边）（公共边）BFDBCD（S.A.S）1243 FC（已证）（已证）4=C（等量代换）（等量代换
6、）3 32 21 1* * FC（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） AD=CD（已知），（已知），DF=DC（已证）（已证）DF=AD（等量代换）（等量代换）4=F（等边对等角）（等边对等角） 3+ 4180 （平角定义）（平角定义）A+ C180 （等量代换）（等量代换）DF=DC（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）证明证明: :例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：A+C=180A+C=180DABCM作作DMBC于于M，DNBA交交BA
7、的延长线于的延长线于N。 BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义） DNBA，DMBC（已知）（已知）N=DMB=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在NBD和和MBD中中 N=DMB （已证）（已证） 1=2（已证）（已证） BD=BD（公共边）（公共边）NBDMBD（A.A.S）12 4=C（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） N433 32 21 1* * ND=MD（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） DNBA，DMBC（已知）（已知）NAD和和MCD是是Rt在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD （已
8、证）（已证） AD=CD（已知）（已知）RtNAD RtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定义），（平角定义）， A3（已证）（已证）A+ C180（等量代换）（等量代换）证明证明: :例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：A+C=180A+C=180DABCM作作DMBC于于M，DNBA交交BA的延长线于的延长线于N。12N433 32 21 1* * BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知） DNBA，DMBC（已知）（已知） ND=MD（角平分线上的点到这
9、（角平分线上的点到这 个角的两边距离相等）个角的两边距离相等） 4=C （全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） DNBA，DMBC（已知）（已知）NAD和和MCD是是Rt在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD （已证）（已证） AD=CD（已知）（已知）RtNAD RtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定义）（平角定义） A3（已证）（已证）A+ C180（等量代换）（等量代换）练习练习1 1如图，已知如图，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分线，的角平分线，AB=AC+CDAB=AC+CD，求证：，求证：C=2BC=2BABCDE122 21 1证
10、明证明: :在在AB上截取上截取AE，使，使AE=AC，连结，连结DE。 AD是是BAC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）在在AED和和ACD中中 AE=AC（已知）（已知） 1=2（已证）（已证） AD=AD（公共边）（公共边）AEDACD（S.A.S）3B=4（等边对等角）（等边对等角）4* * C3（全等三角形的对应角相等（全等三角形的对应角相等)又又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）（已知）EB=DC=ED（等量代换）（等量代换） 3= B+4= 2B（三角形的一个外角等于（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）和它不相邻的两个内角和）
11、C=2B（等量代换）（等量代换）ED=CD（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）练习练习1 1如图，已知如图，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分线，的角平分线，AB=AC+CDAB=AC+CD，求证：，求证：C=2BC=2BABCDF12证明证明: :延长延长AC到到F，使，使CF=CD，连结，连结DF。 AD是是BAC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义） AB=AC+CD，CF=CD（已知）（已知） AB=AC+CF=AF（等量代换）（等量代换） ACB= 2F（三角形（三角形的一个外角等于和它不相的一个外角等于和它不
12、相邻的两个内角和）邻的两个内角和）ACB=2B（等量代换）（等量代换）32 21 1* *在在ABD和和AFD中中 AB=AF（已证）（已证） 1=2（已证）（已证） AD=AD（公共边）（公共边）ABDAFD（S.A.S） FB（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） CF=CD（已知）（已知）B=3（等边对等角）（等边对等角）练习练习2 2如图，已知直线如图，已知直线MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是过是过E E的任意线段，交的任意线段，交MNMN于点于点D D，交，交PQPQ于点于点C C。求证：。求证：AD+AB=
13、BCAD+AB=BC。证明证明: :延长延长AEAE，交直线，交直线PQPQ于点于点F F。* *3 30 0*22222121ABCDEMNPQ1234F5练习练习2 2如图，已知直线如图，已知直线MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是过是过E E的任意线段，交的任意线段，交MNMN于点于点D D，交，交PQPQ于点于点C C。求证：。求证：AD+AB=BCAD+AB=BC。证明证明: :延长延长BABA到点到点G G，使得，使得AG=ADAG=AD，连结，连结EGEG。* *3 30 0*22222121ABCDEMNPQ1234G练
14、习练习2 2如图，已知直线如图，已知直线MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是过是过E E的任意线段，交的任意线段，交MNMN于点于点D D，交，交PQPQ于点于点C C。求证：。求证：AD+AB=BCAD+AB=BC。证明证明: :延长延长BABA到点到点G G，使得，使得AG=ADAG=AD，连结，连结EGEG。* *3 30 0*22222121ABCDEMNPQ1234G练习练习3 3 已知：如图在已知：如图在RtABCRtABC中，中，BAC=90BAC=90，AEBCAEBC， BD BD是是ABCABC的角平分线，的角平分线
15、， GFBC GFBC ，求证：，求证：AD=FCAD=FC。ABCDEH12证明证明: :过过D D作作DHBCDHBC，垂足为，垂足为H H。GF* *3 30 0*如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？小结：小结：（ 3） 作作 DMAB于于 M，DNAC于于N。（1）在在AB上上截截取取AE=AC，连结连结DE。（2）延延长长AC到到F，使使AF=AB，连结，连结DF。ABCDEFMN必有结论：必有结论：ADEADC。必有结论：必有结论：ABDAFD。必有结论：必有结论：AMDAND。 可以利用角平分线所在直线作对称轴，可以利用角平分线所在直
16、线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。翻折三角形来构造全等三角形。 如如图图，在在ABC中中，AD为为BAC的角平分线。的角平分线。* *3 30 0*如何利用三角形的高来构造全等三角形？如何利用三角形的高来构造全等三角形？ 如如图图，在在ABC中中，ADBC，ABC=2C。求证：求证：AB+BD=CD提示：提示：（1 1）延长）延长DBDB到点到点E E，使使BE=ABBE=AB，连结，连结AEAE。（2 2）在）在DCDC上截取点上截取点E E，使，使DE=BDDE=BD，连结，连结AEAE。ABCD* *0 0*辅助线口诀 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线
