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1、教学提示：教学提示：在空间中，直线与平面之间和在空间中，直线与平面之间和两平面之间的相对位置可分为两平面之间的相对位置可分为平行、相交平行、相交及及垂直垂直3 3种情况。种情况。学习要求：学习要求：掌握直线与平面之间和两平面掌握直线与平面之间和两平面之间之间3 3种相对位置关系的判定条种相对位置关系的判定条件以及求其交点、交线的作法。件以及求其交点、交线的作法。 第四章第四章 直线与平面、平面直线与平面、平面 与平面的相对位置与平面的相对位置 4.1 4.1 直线与平面、平面与平面平行直线与平面、平面与平面平行 直线直线L与与P平面内的直线平面内的直线AB平行，则平行，则L平行于平面平行于平面
2、P。反之，如果直线。反之，如果直线L平平行于行于P平面，则在平面平面，则在平面P可以找到与直线可以找到与直线L平行的直线。平行的直线。 检查一平面是否平行于一已知直线，只要看能否在该面上作一直线与已知直检查一平面是否平行于一已知直线，只要看能否在该面上作一直线与已知直检查一平面是否平行于一已知直线，只要看能否在该面上作一直线与已知直检查一平面是否平行于一已知直线，只要看能否在该面上作一直线与已知直线平行。线平行。线平行。线平行。一、直线与一般平面平行一、直线与一般平面平行一、直线与一般平面平行一、直线与一般平面平行【例【例【例【例1 1】 过过过过C C点作平面平行于已知直线点作平面平行于已知
3、直线点作平面平行于已知直线点作平面平行于已知直线ABAB。 【分析】如图所示，过【分析】如图所示，过【分析】如图所示，过【分析】如图所示，过C C点作点作点作点作CDCD/ /ABAB，即，即，即，即cd cd /ab,/ab,cdcd/ a abb ，再过点，再过点，再过点，再过点C C任作一直任作一直任作一直任作一直线线线线CECE，即，即，即，即cece，cece，则，则，则，则CDCD、CECE相交决定的平面为所求。相交决定的平面为所求。相交决定的平面为所求。相交决定的平面为所求。abccabXOOXbaccbadeed二、直线与投影面垂直面平行二、直线与投影面垂直面平行二、直线与投影
4、面垂直面平行二、直线与投影面垂直面平行 直线和投影面垂直面平行，则该直线的同面投影与该投影面垂直线和投影面垂直面平行，则该直线的同面投影与该投影面垂直线和投影面垂直面平行，则该直线的同面投影与该投影面垂直线和投影面垂直面平行，则该直线的同面投影与该投影面垂直面的积聚投影平行。直面的积聚投影平行。直面的积聚投影平行。直面的积聚投影平行。 【例【例【例【例2 2】 过过过过E E点作直线平行于平面点作直线平行于平面点作直线平行于平面点作直线平行于平面ABCDABCD。 【分析】过【分析】过e e作作ef /adef /ad，过，过f f 向上作连系线，则过向上作连系线，则过ee与连系线相交的直线都
5、与连系线相交的直线都为所求，此处我们取其中一条，即过为所求，此处我们取其中一条，即过ee作作cdcd的平行线，与连系线相交于的平行线，与连系线相交于一点即为一点即为ff。bacdadcbebacdadcbefeefOXOX三、两一般平面相互平行三、两一般平面相互平行三、两一般平面相互平行三、两一般平面相互平行 若一个平面上的一对相交直线，分别与另一个平面上的一相交直线互相平若一个平面上的一对相交直线，分别与另一个平面上的一相交直线互相平若一个平面上的一对相交直线，分别与另一个平面上的一相交直线互相平若一个平面上的一对相交直线，分别与另一个平面上的一相交直线互相平行，则这两个平面互相平行。行，则
6、这两个平面互相平行。行，则这两个平面互相平行。行，则这两个平面互相平行。【例【例【例【例3 3】已知】已知】已知】已知A A点和点和点和点和DEFDEF，过，过，过，过A A作一平面平行于作一平面平行于作一平面平行于作一平面平行于DEFDEF。 【分析】如图【分析】如图4.64.6（b b）所示，过）所示，过A A点作两条直线点作两条直线ABAB和和ACAC，使，使ABAB/DEDE, ,ACAC/DFDF, , 即即a ab/b/dede，abab/dede, , ac ac/dfdf, , ac ac/d fd f，则，则ACAC和和ABAB所决定的平所决定的平面即为所求。面即为所求。XO
7、OXadefbccbadeffedfedaa四、两投影面垂直面相互平行四、两投影面垂直面相互平行四、两投影面垂直面相互平行四、两投影面垂直面相互平行 当两个投影面垂直面当两个投影面垂直面当两个投影面垂直面当两个投影面垂直面P P与与与与QQ相互平行时，它们的积聚投影，即它们与该投影面相互平行时，它们的积聚投影，即它们与该投影面相互平行时，它们的积聚投影，即它们与该投影面相互平行时，它们的积聚投影，即它们与该投影面的交线，也相互平行。的交线，也相互平行。的交线，也相互平行。的交线，也相互平行。 【例【例【例【例4 4】过线段】过线段】过线段】过线段ABAB作平面平行于平面作平面平行于平面作平面平
8、行于平面作平面平行于平面CDECDE。 【分析】由已知可得，【分析】由已知可得，CDE CDE 为铅垂面，且为铅垂面，且ab/cdeab/cde，过，过a a作作am/cdam/cd, ,连连 接接bmbm，则，则AMBAMB即为所求即为所求 。abbaccddeeabbaccddeemmXOXO一、直线和一般平面垂直一、直线和一般平面垂直一、直线和一般平面垂直一、直线和一般平面垂直 4.2 4.2 直线与平面、平面与平面垂直直线与平面、平面与平面垂直 直线与平面垂直的几何条件直线与平面垂直的几何条件是：是：若直线垂直于平面内的两若直线垂直于平面内的两相交直线，则该直线与平面垂相交直线，则该直
9、线与平面垂直。直。反之，若直线垂直于平面，反之，若直线垂直于平面，则该直线垂直于平面内的所有则该直线垂直于平面内的所有直线。直线。 注意：注意：注意：注意： 在投影图上作平面的垂线时，可作出平面上的正平线和水平线作为面上的相交二直线。 根据两直线垂直的直角投影特性可知，所作垂线与正平线所夹的直角，在V面投影仍反映为直角。垂线与水平线所夹的直角，在H面投影仍反映为直角。 【例【例【例【例5 5】 如图如图如图如图4.104.10（a a）所示，过）所示，过）所示，过）所示，过E E点作平面点作平面点作平面点作平面QQ的垂线。的垂线。的垂线。的垂线。【分析】【分析】 如图如图4.104.10（b
10、b）所示，要过）所示，要过E E作平面作平面Q Q的垂线，可先作出的垂线，可先作出Q Q平面上正平线平面上正平线 AB AB 和水平线和水平线CD CD 的两面投影的两面投影abab，cdcd，abab，cdcd； 过过e e，ee分别垂作分别垂作ehehcdcd，ehehaab b，EHEH即为所求垂线。即为所求垂线。eeqqebadccdabehhqq二、直线和投影面垂直面垂直二、直线和投影面垂直面垂直二、直线和投影面垂直面垂直二、直线和投影面垂直面垂直 直线垂直于投影面垂直面时，它必然是一条投影面平行线，平行于该平直线垂直于投影面垂直面时，它必然是一条投影面平行线，平行于该平面所垂直的投
11、影面，该面的积聚投影与该垂线的同面投影相互垂直。面所垂直的投影面，该面的积聚投影与该垂线的同面投影相互垂直。【例【例【例【例6 6 6 6】过】过】过】过E E E E点作平面点作平面点作平面点作平面ABCDABCDABCDABCD的垂线。的垂线。的垂线。的垂线。 【分析】如图所示，平面【分析】如图所示，平面ABCD为铅垂面，在为铅垂面，在H面积聚为一条线段，要作铅垂面的面积聚为一条线段，要作铅垂面的垂线，只需作出其垂线，只需作出其H面投影的垂线即可。与铅垂面垂直的直线均为水平线，因此，所求面投影的垂线即可。与铅垂面垂直的直线均为水平线，因此，所求垂线的垂线的V面投影一定为平行于面投影一定为平
12、行于OX轴直线。轴直线。bacdadceeb 作图步骤：作图步骤：作图步骤：作图步骤： 过过e e点作点作ememadad，则，则emem即为所求垂线的即为所求垂线的H H面投影。面投影。 过过ee作作OXOX轴的平行轴的平行 线，过线，过m m向上作连系线，两者向上作连系线，两者交于一点交于一点m m，则，则em em 即为即为所求垂线的所求垂线的V V面投影。面投影。bacdadcbemem【例【例7 7】作正垂面垂直于正平线】作正垂面垂直于正平线CDCD。【分析】【分析】要作正垂面垂直于正平线，只需在V投影面作cd的垂线，在此垂线上我们 定点a、b、m，向下作连系线，可确定平面ABM即为
13、所求正垂面。dcdcdcdcambabm三、两平面相互垂直两平面相互垂直 两平面垂直的几何条件是：若一平面上有一直线与另一平面垂直，则两平面相互垂直。如图所示，因P平面中一条直线L垂直于平面Q,则PQ。 在特殊情况下，当两平面都是同一投影面的垂直面时，则两平面的垂直关系可直接在两平面的积聚投影中表现出来。【例【例8 8】过点】过点A A作平面作平面ABCABC垂直于垂直于DEFDEF且平行于且平行于MNMN。【分析】【分析】作平面垂直于已知平面时，需先作一直线垂直于已知平面，然后包含所作垂线作平面即可。因又要求平面平行于直线MN，故作另一直线平行于MN即可。 defdeackmnghghXac
14、fkmno作图步骤： 过A点作直线垂直于DEF。先在DEF内作水平线DG和正平线EH，然后过A作直线AK与水平线和正平线垂直，即akfg，akdh。则AK即与DEF垂直。 包含AB作平面平行于MN。即作一直线AC，使ac/mn, ac/mn,则直线AK与AC所组成的平面平行于直线MN。4.3直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交 直线与平面相交于一点，该点称为交点，交点是平面与直线的共有点，它既在直线上又在平面上。 平面与平面相交于一条直线，该直线称为交线，交线是两平面的共有线，它应同属于两平面。 直线与平面、平面与平面相交的求解方法一般有两种。 （1）积聚投影法：当直线或平面有
15、积聚投影时，可利用积聚投影来求交点或交线。 （2）辅助面投影法：当直线或平面均无积聚投影时，可利用辅助平面来求交点或交线。交点、交线是互相联系的，为叙述方便起见，先介绍几种特殊情况，然后再讨论一般的作图方法。一、一般位置直线与特殊位置平面相交一、一般位置直线与特殊位置平面相交 由于平面处于特殊位置时，其某一投影具有积聚性因此可利用其积聚投影来求交点，并判别可见性。 如图所示，一般线AB与铅垂面P 相交，交点K 既在AB上又在P 平面上。【例例9 9】 求直线AB与平面P的交点K，并判别可见性。bapXOpab【分析】平面P为铅垂面，因此直线AB与平面P的交点的投影必在平面P的H面积聚线段上，又
16、因为交点是两者的公共点，所以p与ab的交点k既为所求交点的H面投影，由此作连系线，再与ab交得k。 XOpapabb12k1(2)k作图步骤：作图步骤：作图步骤：作图步骤：1、判断交点的H面投影位置。2、作出交点的V面投影。3、判断交点两侧直线的可见性。 （1）可见部分与不可见部分的分界点为交点K，从水平投影中可以看出，在k点的右边，ab在p的前面，因此k的右边ka为可见，左边kb 为不可见。 （2）也可用重影点来判断，即取AB与平面P边线的重影点1（2），其在H面上的投影1在2的前方，故由前向后看，2点不可见，其所在的直线段2k不可见，因而2k 画为虚线。） 二、投影面垂直线与一般位置平面相
17、交二、投影面垂直线与一般位置平面相交二、投影面垂直线与一般位置平面相交二、投影面垂直线与一般位置平面相交由于直线具有积聚性，因此可利用其积聚投影来求交点，并判别可见性。如图所示，铅垂线AB与平面CDE相交，交点K既在AB上又在CDE平面上。【例【例【例【例10101010】求直线】求直线】求直线】求直线ABABABAB与与与与CDECDECDECDE的交点的交点的交点的交点K K K K，并判别可见性。，并判别可见性。，并判别可见性。，并判别可见性。bkcededcaOX1322(3)k1作图步骤：作图步骤：（1）求交点 因直线AB在H面积聚成一点，则交点k必在其上，且交点K又在CDE上，可根
18、据平面上取点的方法作辅助线DI,然后求出k。（2）判断可见性 取交叉两直线的重影点II、III，从H面可知，2在前，3在后，在V投影面上为2（3）。因II在CDE上，而III在直线AB上，故kb不可见，应画虚线。 三、两特殊位置平面相交三、两特殊位置平面相交三、两特殊位置平面相交三、两特殊位置平面相交 当两平面均垂直于某投影面时，它们的交线也垂直于该投影面。可利用两当两平面均垂直于某投影面时，它们的交线也垂直于该投影面。可利用两当两平面均垂直于某投影面时，它们的交线也垂直于该投影面。可利用两当两平面均垂直于某投影面时，它们的交线也垂直于该投影面。可利用两平面的积聚投影求交线，并判别可见性。平面
19、的积聚投影求交线，并判别可见性。平面的积聚投影求交线，并判别可见性。平面的积聚投影求交线，并判别可见性。【例【例【例【例1111】 求求求求ABCABC与平面与平面与平面与平面P P的交线的交线的交线的交线MNMN，并判别可见性。，并判别可见性。，并判别可见性。，并判别可见性。pacpbcaOX12m(n)1(2)nm作图步骤：作图步骤：作图步骤：作图步骤：（1）求交点 如图所示，因ABC与平面P均垂直于H面，故交线必为铅垂线，且积聚于一点m(n)，然后作出此交线的V面投影mn，它的长度仅为两平面在V面的共有部分。（2）判断可见性 在V面投影中，取交叉两直线的任一重影点I、II，判断可见性1（
20、2），从H面可知，1在前，2在后，因1在ABC上,而2在平面P上，故an可见为实线。这时交线mn为可见与不可见的分界线。四、一般位置平面与特殊位置平面相交四、一般位置平面与特殊位置平面相交四、一般位置平面与特殊位置平面相交四、一般位置平面与特殊位置平面相交 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性投影求交线，并判断可见性。 铅垂面P与ABC 相交，由于P 面的H 面投影积聚为p，交线MN 的H 投影mn在p上；交线MN既在ABC上又在平面P上。利用平面的积聚投影求交线，并判别可见性。 【例【例【例【例12121212】 求求求求ABCABCABCABC与平面与平面与平面与平面
21、P P P P的交线的交线的交线的交线MNMNMNMN，并判别可见性。，并判别可见性。，并判别可见性。，并判别可见性。12mnmn1(2)作图步骤：作图步骤：作图步骤：作图步骤： 如图所示，因平面如图所示，因平面P P 垂垂直直H H 面，故交线面，故交线mn mn 必在必在p p上，为上，为abcabc与与p p 的公共的公共部分，交点为部分，交点为mnmn, ,利用交利用交线线MNMN在在ABCABC上，由上，由mnmn求求mnmn。利用。利用V V 面的重影面的重影点点11（22）来判别可见）来判别可见性。性。m1(2)mnbacpacpbn12XO 五、一般位置直线与一般位置平面相交五
22、、一般位置直线与一般位置平面相交五、一般位置直线与一般位置平面相交五、一般位置直线与一般位置平面相交 直线与一般位置平面相交。由于一般位置直线、平面的投影没有积聚性，因此，在投影图中不能直接求出它们的交点。 直线AB与平面CDE 相交，由于交点K 是平面与直线的共有点，故过K 点可在平面CDE 内任作一直线MN，直线MN 与已知直线AB 可构成一个辅助平面R，而MN 就是辅助平面与已知平面的交线。MN 与直线AB 的交点K 即为已知直线与平面的交点。 由此可得出利用辅助平面求一般位置的直线与平面交点的作图方法：(1)包含AB 直线作一辅助平面R;(2)求辅助平面R 与己知平面CDE 的交线MN
23、；(3)求AB 直线与交线MN 的交点K。 【例【例13】 已知直线已知直线DE和和ABC的两投影，试求的两投影，试求DE和和ABC的交点。的交点。作图步骤： 过DE 作铅垂面P。可在投影图上延长de，加上标记PH。 求P 和ABC 的交线FG,fg和fg 即为交线的两面投影。 fg与de 相交于点k，从k 引铅直连线与de 相交于k，则k、k即为所求交点的两面投影。 判别可见性,整理如图。 六、六、一般位置平面与一般位置平面相交一般位置平面与一般位置平面相交一般位置平面与一般位置平面相交一般位置平面与一般位置平面相交 两一般位置平面相交。求两一般位置平面的交线时，可选其中一个平面内的两一般位
24、置平面相交。求两一般位置平面的交线时，可选其中一个平面内的任一直线，求出它与另一平面的交点，即得交线上的一个点。用同样方法求出任一直线，求出它与另一平面的交点，即得交线上的一个点。用同样方法求出另一个点，两点连线即为两平面的交线。另一个点，两点连线即为两平面的交线。【例【例【例【例14141414】 求两一般位置平面求两一般位置平面求两一般位置平面求两一般位置平面ABCABCABCABC与与与与DEFDEFDEFDEF的交线。的交线。的交线。的交线。efdcbaabcdefOXQvPvjmnikhjkihmn作图步骤：作图步骤：(1) (1) 如图所示，通过如图所示，通过AC AC 边作一正边
25、作一正垂面垂面P P, ,交交DEFDEF于直线于直线HIHI, ,直线直线HIHI与与ACAC的交点的交点N N，即为两平面交线上的一，即为两平面交线上的一点。点。(2)(2)又过又过EFEF作正垂面作正垂面Q Q，交，交ABC ABC 于直线于直线JKJK。并求得与。并求得与EF EF 的交点的交点M M。(3)(3)连连MNMN，即为所求交线。，即为所求交线。(4)(4)判别可见性，整理如图。判别可见性，整理如图。1 1、直线与平面、平面与平面的、直线与平面、平面与平面的平行平行关系的判定条件以及关系的判定条件以及其交点、交线的作法，并学会如何判别可见性。其交点、交线的作法，并学会如何判别可见性。2 2、直线与平面、平面与平面的、直线与平面、平面与平面的垂直垂直关系的判定条件以及关系的判定条件以及其交点、交线的作法，并学会如何判别可见性。其交点、交线的作法，并学会如何判别可见性。3 3、直线与平面、平面与平面的、直线与平面、平面与平面的相交相交关系的判定条件以及关系的判定条件以及其交点、交线的作法，并学会如何判别可见性。其交点、交线的作法，并学会如何判别可见性。章章 后后 小小 结结
