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1、第七章 立体几何知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线空空间间几何几何体的体的结结构构及三及三视图视图和直和直观图观图1.认识认识柱、柱、锥锥、台、球及其、台、球及其简单组简单组 合体的合体的结结构特征，并能运用构特征，并能运用这这些些 特征描述特征描述现实现实生活中生活中简单简单物体的物体的 结结构构.2.能画出能画出简单简单空空间图间图形形(长长方体、方体、 球、球、圆圆柱、柱、圆锥圆锥、棱柱等的、棱柱等的简简易易 组组合合)的三的三视图视图，能，能识别识别上述的上述的三三 视图视图所表示的立体模型，会用斜所表示的立体模型，会用斜 二二测测画法画出它画法画出它们们的直的直观图观图.3
2、.会用平行投影与中心投影两种方会用平行投影与中心投影两种方 法画出法画出简单简单空空间图间图形的三形的三视图视图与与 直直观图观图，了解空，了解空间图间图形的不同表形的不同表 示形式示形式.4.会画某些建筑物的三会画某些建筑物的三视图视图与直与直观观 图图(在不影响在不影响图图形特征的基形特征的基础础上，上， 尺寸、尺寸、线线条等不作条等不作严严格要求格要求).1.柱、柱、锥锥、台、球及、台、球及简单简单几几 何体的直何体的直观图观图、三、三视图视图是是 考考查查的的热热点点.主要考主要考查查由几由几 何体判断三何体判断三视图视图，以及由，以及由 三三视图还视图还原几何体，多与原几何体，多与
3、面面积积、体、体积积的的计计算相算相结结 合，重在考合，重在考查查空空间间几何体几何体的的 认识认识及空及空间间想象能力想象能力.2.以以选择选择、填空、填空为为主，有主，有时时 在解答在解答题题中涉及三中涉及三视图问题视图问题.知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线空空间间几何几何体的表面体的表面积积与体与体积积了解球、柱体、了解球、柱体、锥锥体、台体、台体的表面体的表面积积和体和体积积的的计计算算公式公式.(不要求不要求记忆记忆公式公式)多与三多与三视图视图相相结结合考合考查查，重点是，重点是与球有关的与球有关的组组合合体体问题问题.知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线 点、
4、点、线线、 面的位置面的位置关系关系1.理解空理解空间间直直线线、平面位、平面位 置置 关系的定关系的定义义.2.了解可以作了解可以作为为推理依据推理依据 的公理和定理的公理和定理.3.能运用公理、定理和已能运用公理、定理和已 获获得的得的结论证结论证明一些空明一些空 间图间图形的位置关系的形的位置关系的简简 单单命命题题.1.点、点、线线、面的位、面的位 置关系是立体几何置关系是立体几何 推理、推理、证证明、明、计计算算 的基的基础础，多融合平，多融合平 行、垂直行、垂直进进行考行考查查.2.对对于异面直于异面直线线的定的定 义义是考是考查查的重点的重点.知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线
5、考情上线线线、面、面平行的平行的判定与判定与性性质质以立体几何的定以立体几何的定义义、公理和定理公理和定理为为出出发发点，点，认识认识和理解空和理解空间间中中线线面平行的判面平行的判定定理与有关性定定理与有关性质质.1.在客在客观题观题中，多以符号中，多以符号语语言与言与 逻辑逻辑推理的形式考推理的形式考查查命命题题的真的真 假判断，往往假判断，往往结结合垂直关系合垂直关系.2.在解答在解答题题中考中考查线线查线线、线线面、面、 面面平行的面面平行的证证明明.知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线线线、面、面垂直的垂直的判定与判定与性性质质以立体几何的定以立体几何的定义义、公理和定理、公
6、理和定理为为出出发发点，点，认识认识和理解空和理解空间间中中线线面垂直的判定定面垂直的判定定理与有关性理与有关性质质.1.在客在客观题观题中，多考中，多考查查与垂与垂 直有关的命直有关的命题题真假的判断真假的判断.2.在解答在解答题题中考中考查线线查线线、线线 面、面面垂直的面、面面垂直的证证明明.知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线空空间间向量向量及其运算及其运算理理1.了解空了解空间间向量的概念，了解向量的概念，了解 空空间间向量的基本定理及其意向量的基本定理及其意 义义，掌握空，掌握空间间向量的正交分向量的正交分 解及其坐解及其坐标标表示表示.2.掌握空掌握空间间向量的向量的线线
7、性运算及性运算及 其坐其坐标标表示表示.3.掌握空掌握空间间向量的数量向量的数量积积及其及其 坐坐标标表示，能运用向量的数表示，能运用向量的数 量量积积判断向量的共判断向量的共线线与垂直与垂直.1.空空间间向量的坐向量的坐标标 表示是用空表示是用空间间向向 量解决空量解决空间间平行平行 垂直、垂直、夹夹角的角的问问 题题的基的基础础.2.用数量用数量积积解决空解决空 间间的垂直的垂直问题问题是是 考考试试的的热热点点.知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线空空间间向向量与立量与立体几何体几何理理1.理解直理解直线线的方向向量与平的方向向量与平 面的法向量面的法向量.2.能用向量能用向量语
8、语言表述直言表述直线线与与 直直线线、直、直线线与平面、平面与平面、平面 与平面的垂直、平行关系与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法能用向量方法证证明有关直明有关直 线线和平面位置关系的一些和平面位置关系的一些 定理定理(包括三垂包括三垂线线定理定理).4.能用向量方法解决直能用向量方法解决直线线与与 直直线线、直、直线线与平面、平面与平面、平面 与平面的与平面的夹夹角的角的计计算算问题问题， 了解向量方法在研究几何了解向量方法在研究几何 问题问题中的作用中的作用.空空间间向量是解决立体几何向量是解决立体几何问题问题的一个重要工具，一般不的一个重要工具，一般不单单独独命命题题，自从在新，自
9、从在新课标课标中引入空中引入空间间向量后，高考向量后，高考对对空空间间向量的向量的考考查查一直在逐步加大，它越来一直在逐步加大，它越来越成越成为为高考的一个高考的一个热热点内容点内容.空空间间向量在立体几何中的向量在立体几何中的应应用主用主要包括利用空要包括利用空间间向量向量证证明平行明平行与垂直等位置关系，求与垂直等位置关系，求线线线线、线线面、面面所成的角以及解决面、面面所成的角以及解决立体几何中的探索性立体几何中的探索性问题问题.第一节 空间几何和结构特征以及三视图和直观图一、空间几何体的结构特征一、空间几何体的结构特征多面体多面体(1)棱柱的棱柱的侧侧棱都棱都 ，上下底面是，上下底面是
10、 的多的多边边形形.(2)棱棱锥锥的底面是任意多的底面是任意多边边形，形，侧侧面是有一个面是有一个 的三角形的三角形.(3)棱台可由棱台可由 的平面截棱的平面截棱锥锥得到，得到，其上下底面是其上下底面是 多多边边形形.平行且相等平行且相等全等全等公共点公共点平行于棱平行于棱锥锥底面底面相似相似旋旋转转体体(1)圆圆柱可以由柱可以由 绕绕其任一其任一边边旋旋转转得到得到.(2)圆锥圆锥可以由直角三角形可以由直角三角形绕绕其其 旋旋转转得到得到.(3)圆圆台可以由直角梯形台可以由直角梯形绕绕 或等腰梯形或等腰梯形绕绕 旋旋转转得到，也可由得到，也可由 的平面截的平面截圆锥圆锥得到得到.(4)球可以
11、由半球可以由半圆圆或或圆绕圆绕 旋旋转转得到得到.矩形矩形直角直角边边直角腰直角腰上下底中点上下底中点连线连线平行于棱椎底面平行于棱椎底面直径直径二、三视图与直观图二、三视图与直观图三三视图视图空空间间几何体的三几何体的三视图视图是用是用 得到的，得到的，这这种投种投影下与投影面平行的平面影下与投影面平行的平面图图形留下的影子与平面形留下的影子与平面图图形的形状和大小是形的形状和大小是 的，三的，三视图视图包括包括 、 、 .正投影正投影完全相同完全相同正正视图视图 侧视图侧视图 俯俯视图视图直直观图观图空空间间几何体的直几何体的直观图观图常用常用 画法来画，基本步画法来画，基本步骤骤是：是：
12、(1)画几何体的底面画几何体的底面 在已知在已知图图形中取互相垂直的形中取互相垂直的x轴轴、y轴轴，两，两轴轴相相 交于点交于点O，画直，画直观图时观图时，把它，把它们们画成画成对应对应的的x 轴轴、y轴轴，两，两轴轴相交于点相交于点O，且使，且使xOy ，已知，已知图图形中平行于形中平行于x轴轴的的线线段，段， 在直在直观图观图中中长长度度 ，平行于，平行于y轴轴的的线线段，段， 长长度度变为变为 .斜二斜二测测45(或或135)保持不保持不变变原来的一半原来的一半直直观图观图 (2)画几何体的高画几何体的高 在已知在已知图图形中形中过过O点作点作z轴轴垂直垂直于于xOy平面，在平面，在 直
13、直观图观图中中对应对应的的z轴轴，也垂直于，也垂直于xOy平面，已平面，已 知知图图形中平行于形中平行于z轴轴的的线线段，在直段，在直观图观图中仍平行中仍平行 于于z轴轴且且长长度度 .不不变变空间几何体的三视图和直观图在观察角度上有空间几何体的三视图和直观图在观察角度上有什么区别？什么区别？提示：提示：观察直角：三视图是从三个不同位置观观察直角：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形察几何体而画出的图形.1.三视图如图的几何体是三视图如图的几何体是()A.三棱锥三棱锥B.四棱锥四棱锥C.四棱台四棱台D.三棱
14、台三棱台解析：解析：由三视图知，该几何体是四棱锥，且其中一条棱由三视图知，该几何体是四棱锥，且其中一条棱与底面垂直与底面垂直.答案：答案：B2.如图，几何体的正视图和侧视图都正确的是如图，几何体的正视图和侧视图都正确的是()解析：解析：侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A、D排除，而正视时，应该有一条实对角线，且其对角线位置排除，而正视时，应该有一条实对角线，且其对角线位置应为应为B中所示中所示.答案：答案：B3.下列结论正确的是下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋
15、转轴，其余两边旋转形以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥是正六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：解析：A错误错误.如图如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥.B错误错误.如图如图(2)、(3)所示，若所示，若ABC不是
16、直角三角形，或是直不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.C错误错误.若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长面边长.D正确正确.答案：答案：D4.如如图图所示所示为长为长方体木方体木块块堆成的几何体的三堆成的几何体的三视图视图，此几何体，此几何体 共由共由块块木木块块堆成堆成.解析：解析：由三视图知，由由三视图知，由4块木块木块组成块组成.答案：答
17、案：45.如图，矩形如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直是水平放置的一个平面图形的直观图，其中观图，其中OA6cm，OC2cm，则原图形的形，则原图形的形状是状是.解析：解析：将直观图还原得将直观图还原得 OABC，则则ODOC2cm，OD2OD4cm，CDOC2cm，CD2cm，OCOAOA6cmOC，故原图形为菱形，故原图形为菱形.答案：答案：菱形菱形=2cm,1.几种特殊的四棱柱几种特殊的四棱柱平行六面体、长方体、正方体、直四棱柱等都是一些特殊平行六面体、长方体、正方体、直四棱柱等都是一些特殊的四棱柱，要特别注意的四棱柱，要特别注意.(1)直四棱柱不一定是直平行六面体直四棱柱不
18、一定是直平行六面体.(2)正四棱柱不一定是正方体正四棱柱不一定是正方体.(3)长方体不一定是正四棱柱长方体不一定是正四棱柱.2.几种常见的多面体的结构特征几种常见的多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正多特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱如正三棱柱，正四棱柱).(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体正四面体.(3)平行六面体
19、：指的是底面为平行四边形的四棱柱平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件充要条件；充要条件充要条件.(写出你认为正确的两个充要条件写出你认为正确的两个充要条件)利用类比推理中利用类比推理中“线与面线与面”类比类比.再进行验证其正再进行验证其正确性确性.【解解】两组相对侧面分别平行两组相对侧面分别平行一组相对侧面平行且全等一组相对侧面平
20、行且全等对角线交于一点且互相平分对角线交于一点且互相平分底面是平行四边形底面是平行四边形.任选两个即可任选两个即可.1.设有四个命题：设有四个命题：底面是矩形的平行六面体是长方体；底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；六面体；对角线相等的平行六面体是直平行六面体对角线相等的平行六面体是直平行六面体.以上四个命题中，真命题的个数是以上四个命题中，真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析：解析：命题命题不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂不是
21、真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体.命题命题不是真不是真命题，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不命题，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体是正方体.命题命题也不是真命题，因为有两条侧棱垂直于底也不是真命题，因为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两个相对的侧面是矩形，但是不能推出侧棱与面一边，这时两个相对的侧面是矩形，但是不能推出侧棱与底面垂直底面垂直.命题命题是真命题，由对角线相等，可得出平行六是真命题，由对角线相等，可得出平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，这个平行面体的对角面
22、是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，这个平行六面体是直平行六面体六面体是直平行六面体.答案：答案：A1.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.2.由三视图想象几何体特征时要根据由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平长对正、宽相等、高平齐齐”的基本原则的基本原则.【注意注意】严格按排列规则放置三视图严格按排列规则放置三视图.并用虚线
23、标出长并用虚线标出长宽高的关系宽高的关系.有利于准确把握几何体的结构特征有利于准确把握几何体的结构特征.3.对于简单几何体的组合体，在画其三视图时，首先应分对于简单几何体的组合体，在画其三视图时，首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画出其三视图清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画出其三视图.(2009福建高考福建高考)如下图，某几何体的正视图与侧如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为视图都是边长为1的正方形，且体积为的正方形，且体积为，则该几何体的俯，则该几何体的俯视图可以是视图可以是()(1)利用体积与几何体的高先计算出底面积再进利用体积与几何体的高先计算出底面积再进行判断；行
24、判断；(2)排除法排除法.【解析解析】法一：法一：体积为体积为，而高为，而高为1，故底面积为，故底面积为，选选C.法二：法二：选项选项A得到的几何体为正方体，其体积为得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除，故排除A；而选项而选项B、D所得几何体的体积都与所得几何体的体积都与有关，排除有关，排除B、D；易知选；易知选项项C符合符合.【答案答案】C2.(2009广州模拟广州模拟)如图所示的图形是由若干个小正方体所叠如图所示的图形是由若干个小正方体所叠成的几何体的侧视图与俯视图，其中俯视图的小正方形中成的几何体的侧视图与俯视图，其中俯视图的小正方形中的数字表示该几何体在同一位置上叠放的小正方体的个
25、数，的数字表示该几何体在同一位置上叠放的小正方体的个数，则这个几何体的正视图是则这个几何体的正视图是()解析：解析：从俯视图可看出，该几何体从右到左能分别看到从俯视图可看出，该几何体从右到左能分别看到3、2、1块小正方体块小正方体.答案：答案：A1.用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S与原平与原平面图形的面积面图形的面积S之间的关系是之间的关系是S=2.对于图形中与对于图形中与x轴、轴、y轴、轴、z轴都不平行的线段，可通过确轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再
26、借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.(2010扬州模拟扬州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是形是()根据斜二测画法规则去判断根据斜二测画法规则去判断.【解析解析】由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对轴上的对角线长为角线长为2.【答案答案】A3.本例中的条件不变，求原平面图形的面积本例
27、中的条件不变，求原平面图形的面积.解：解：由该例解法知，原平面图形是边长为由该例解法知，原平面图形是边长为1，高为，高为2的的平行四边形，平行四边形，面积面积S122.三视图是新课标中新增加的内容，对考生要求较低，三视图是新课标中新增加的内容，对考生要求较低，一般不会直接考查作图，但经常会与立体几何中有关的计算一般不会直接考查作图，但经常会与立体几何中有关的计算问题融合在一起，如面积、体积的计算，从而考查考生的空问题融合在一起，如面积、体积的计算，从而考查考生的空间想象能力，因此要对常见的几何体的三视图有所理解，并间想象能力，因此要对常见的几何体的三视图有所理解，并能够进行识别和判断能够进行识
28、别和判断.2009年山东卷巧妙地利用组合考查了由年山东卷巧妙地利用组合考查了由三视图还原几何体及体段的计算三视图还原几何体及体段的计算.(2009山东高考山东高考)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为体的体积为()解析解析由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是径和高都是2的圆柱和一个底面边长为的圆柱和一个底面边长为，侧棱长为，侧棱长为2的正的正四棱锥叠放而成四棱锥叠放而成.故该几何体的体积为故该几何体的体积为答案答案C求组合体的体积关键是认清它的基本结构，分别求解，同学求组合体的体积关键是认清它的基本结构，分别求解，同学们思考一下，若将本题中的俯视图改为如图形式，其体积又们思考一下，若将本题中的俯视图改为如图形式，其体积又是多少？是多少？
