静定平面桁架和组合结构

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1、桁架优点桁架优点：截面上应力分布均匀，可充分发挥材料的作用。截面上应力分布均匀，可充分发挥材料的作用。 因此，桁架是因此，桁架是大跨度结构大跨度结构中常用的一种结构形式。中常用的一种结构形式。 在桥梁及房屋建筑中得到广泛应用在桥梁及房屋建筑中得到广泛应用。 第第五五章章 静定平面桁架和组合结构静定平面桁架和组合结构5.1 概述桁架桁架：若干直杆构成的，所有杆件的两端均用铰联接。：若干直杆构成的，所有杆件的两端均用铰联接。 静定桁架、超静定桁架静定桁架、超静定桁架 静定平面桁架（无多余约束的平面桁架）静定平面桁架（无多余约束的平面桁架） a)屋架屋架160m80m16mb)桥梁桥梁c)水闸闸门水

2、闸闸门南京长江大桥江共9墩10孔，每墩高80米，底面积400多平方米，最高的桥墩从基础到顶部高85米。北岸第一孔是128米，其余9孔均为160米，桥下可行万吨巨轮。采用优质合金钢杆件在现场铆接拼装架设。十分壮观。 5.1.1 桁架计算简图桁架计算简图1）各结点都是光滑的理想铰。）各结点都是光滑的理想铰。2）各杆轴线都是直线，且通过结点铰的中心。）各杆轴线都是直线，且通过结点铰的中心。3）荷载和支座反力都作用在结点上，且通过铰的中心。）荷载和支座反力都作用在结点上，且通过铰的中心。 满足以上假定的桁架，称为满足以上假定的桁架，称为上弦杆上弦杆下弦杆下弦杆结结间长度间长度跨度跨度ldh 桁高桁高斜

3、杆斜杆竖杆竖杆1212FNFNFQ1=0FQ2=0理想桁架理想桁架 桁架的组成特点桁架的组成特点理想桁架是理想桁架是各直杆各直杆在在两端用理想铰相连接两端用理想铰相连接而组成的而组成的几何不变体系。几何不变体系。 桁架的力学特性桁架的力学特性 理想桁架各杆其内力只有理想桁架各杆其内力只有轴力轴力（拉力或压力）而无弯（拉力或压力）而无弯矩和剪力。矩和剪力。上弦杆上弦杆下弦杆下弦杆节间长度节间长度跨度跨度ldh 桁高桁高斜杆斜杆竖杆竖杆1212FNFNFQ1=0FQ2=0组成特点组成特点：所有结点都是铰结点。所有结点都是铰结点。二力杆二力杆主内力和次内力主内力和次内力 按理想桁架算出的内力（或应力

4、），称按理想桁架算出的内力（或应力），称为主内力为主内力（或主应力）；由于不符合理想情况而产生的（或主应力）；由于不符合理想情况而产生的附加内力附加内力（或应力），称为（或应力），称为次内力次内力（或次应力）。（或次应力）。 以承受轴力为主，弯矩和剪力很小可忽略不计。以承受轴力为主，弯矩和剪力很小可忽略不计。大量的工程实践表明，一般情况下桁架中的主应力占大量的工程实践表明，一般情况下桁架中的主应力占总的应力的总的应力的80%以上，所以，主应力是桁架中应力的以上，所以，主应力是桁架中应力的主要部分。也就是说，桁架的内力主要是轴力。主要部分。也就是说，桁架的内力主要是轴力。5.1.2 平面桁架的分

5、类平面桁架的分类 1、按桁架的几何组成方式分、按桁架的几何组成方式分1）简单桁架）简单桁架从一个基本铰结三角形或地基上依次从一个基本铰结三角形或地基上依次 增加二元体而组成的桁架。增加二元体而组成的桁架。 a）c）b）2）联合桁架）联合桁架由几个简单桁架按照两刚片或三刚片由几个简单桁架按照两刚片或三刚片 组成几何不变体系的规则构成的桁架。组成几何不变体系的规则构成的桁架。 3）复杂桁架）复杂桁架不是按上述两种方式组成的其它桁架不是按上述两种方式组成的其它桁架 d )e）2、按桁架的外形分、按桁架的外形分1）平行弦桁架。）平行弦桁架。2）三角形桁架。）三角形桁架。3）折弦桁架。）折弦桁架。4）梯

6、形桁架。）梯形桁架。 a）b）d）e）3 、按支座反力的性质分、按支座反力的性质分1）梁式桁架或无推力桁架。）梁式桁架或无推力桁架。2）拱式桁架或有推力桁架。）拱式桁架或有推力桁架。 f）5.2静定平面桁架静定平面桁架 计算静定平面桁架各杆轴力的基本方法，计算静定平面桁架各杆轴力的基本方法，隔离体平衡法隔离体平衡法。根据截取隔离体方式的不同，又区分为根据截取隔离体方式的不同，又区分为结点法结点法、截面法截面法以以及二者的联合应用及二者的联合应用。 5.2.1 结点法结点法结点法是截取桁架结点法是截取桁架结点为隔离体结点为隔离体，利用平面汇交力系的，利用平面汇交力系的两两个平衡条件个平衡条件X=

7、0、 Y=0 ，求解各杆未知轴力的方法。，求解各杆未知轴力的方法。 结点法最适合用于计算结点法最适合用于计算简单桁架简单桁架。利用结点法，与节点相连的各截断杆，均假设为拉力，利用结点法，与节点相连的各截断杆，均假设为拉力，若求解结果为若求解结果为正则杆件受拉正则杆件受拉，若为，若为负值则受压负值则受压。 由于平面汇交力系向平面上任意一点的力矩代数和等于零，故除了投影方程外，亦可以用力矩方程求解。 不要用联立方程求桁架各杆的轴力。一个方程求出一个未知轴力。 对于简单桁架，截取结点隔离体的顺序与桁对于简单桁架，截取结点隔离体的顺序与桁架几何组成顺序相反。架几何组成顺序相反。（逆向） 平衡方程为：

8、或应熟练运用如下比拟关系：NNNFxFylxlyl1 12 23 34 45 56 67 78 84343m=12mm=12m4 4mm4040kNkN6060kNkN8080kNkNH=0H=0V V1 1=80=80kNkNV V8 8=100=100kNkN 一、平面汇交力系一、平面汇交力系一、平面汇交力系一、平面汇交力系N N1313N N12121 1X X1313Y Y13133 34 45 5结点结点结点结点1 180802 240406060N N2323N N2424结点结点结点结点2 23 3404060608080N N3535X X3434Y Y3434N N3434结

9、点结点结点结点3 3-100604060-90501 12 23 34 45 56 67 78 84343m=12mm=12m4 4mm4040kNkN6060kNkN8080kNkNH=0H=0V V1 1=80=80kNkNV V8 8=100=100kNkN80_606040604030+-900-902015+75758075_100用图示桁架为例，来说明结点法的应用。用图示桁架为例，来说明结点法的应用。15kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN115kNFN12FN13Fx13Fy13从最后的节点开始，逆向依次截取各节点求

10、解。从最后的节点开始，逆向依次截取各节点求解。对于简单桁架，截取结点隔离体的顺序与桁架几何组成对于简单桁架，截取结点隔离体的顺序与桁架几何组成顺序相反。（逆向）顺序相反。（逆向）15kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN1515252012021520201531525152030405060 460600515205030400456075120660604575451207120454512015kN15kN15kN4m4m4m3m1234567F6=120kNF7H=120kNF7V=45kN-20-20-1202015152

11、55040300604575-456060-+另提几点：另提几点：）杆件轴力可在杆轴线所在的直线上）杆件轴力可在杆轴线所在的直线上任意点分解任意点分解，可，可沿任意沿任意方向分解方向分解（不一定分解为正交分力，只要满足平行四边形法则（不一定分解为正交分力，只要满足平行四边形法则即可）；在适当位置分解可使计算简化。即可）；在适当位置分解可使计算简化。）结点法不一定只能建立）结点法不一定只能建立X、Y 方向力的方程，方向力的方程，也可建立力也可建立力矩方程矩方程（实质为（实质为“节点连同截断的杆端节点连同截断的杆端”一起为脱离体，而非一起为脱离体，而非节点这一个节点这一个“点点”作为脱离体）。作为

12、脱离体）。 利用结点平衡的特殊情况，判定零杆和等力杆利用结点平衡的特殊情况，判定零杆和等力杆 (1)关于零杆的判断关于零杆的判断 在给定荷载作用下，桁架中轴力为零的杆件，称为在给定荷载作用下，桁架中轴力为零的杆件，称为零杆零杆。 2）T型结点型结点：成：成T型汇交的三杆结点无荷载作用，则不型汇交的三杆结点无荷载作用，则不共线的第三杆（又称单杆）必为零杆，而共线的两杆内共线的第三杆（又称单杆）必为零杆，而共线的两杆内力相等且正负号相同（同为拉力或压力）。力相等且正负号相同（同为拉力或压力）。1）L型结点型结点：成：成L型汇交的两杆结点无荷载作用，型汇交的两杆结点无荷载作用，则这两杆皆为零杆。则这

13、两杆皆为零杆。 L型结点型结点T型结点型结点T型结点（推广）型结点（推广）FN1=0FN2=0FN3=0(单杆单杆)FN2= FN1FN1FN1 =FPFN2=0FP (荷载荷载)=1）X型结点：型结点：成成X型汇交的四杆结点无荷载作用，则彼此型汇交的四杆结点无荷载作用，则彼此共线的杆件的内力两两相等共线的杆件的内力两两相等。 X型结点型结点FN1FN3FN2= FN1FN4= FN3(2)关于等力杆的判断关于等力杆的判断K型结点型结点Y型结点型结点FN1FN1FN3FN3FN2= FN1FN2= -FN1FN4 FN3a aa aa aa a第三杆第三杆2）K型结点：型结点：成成K型汇交的四

14、杆结点，其中两杆共线，型汇交的四杆结点，其中两杆共线，而另外两杆在此直线同侧且交角相等，若结点上无荷载而另外两杆在此直线同侧且交角相等，若结点上无荷载作用，则不共线的两杆内力大小相等而符号相反。作用，则不共线的两杆内力大小相等而符号相反。3）Y型结点型结点：成：成Y型汇交的三杆结点，其中两杆分别在第型汇交的三杆结点，其中两杆分别在第三杆的两侧且交角相等，若结点上无与该第三杆轴线方三杆的两侧且交角相等，若结点上无与该第三杆轴线方向偏斜的荷载作用，则该两杆内力大小相等且符号相同。向偏斜的荷载作用，则该两杆内力大小相等且符号相同。 1234567891011ABCDABC【例】试求图示桁架各杆的轴力

15、。【例】试求图示桁架各杆的轴力。 ABCDEFP1.5aaaaa1.5a12345678 910法一：直接用节点法，一个个节点求解，可求但较繁。法一：直接用节点法，一个个节点求解，可求但较繁。解：解：(1)利用桁架的整体平衡条件，求出支座利用桁架的整体平衡条件，求出支座A、B的反力。的反力。(2)判断零杆判断零杆 (3)计算其余杆件的轴力计算其余杆件的轴力 AABBCCDDEEEFPFPFPFP1.5aaaaa1.5a4FP /34FP /312345678910FNE1FNE2FxE2FyE2-4 FP /3-4 FP /3-4 FP /3-4 FP /35FP /35FP /35FP /3

16、5FP /3法二：先据特殊节点判断零杆，可简化计算法二：先据特殊节点判断零杆，可简化计算找出桁架中的零杆000000008根00000007根00000009根00返回N1=N20N1=N2 N1N2 N1=N2=0PP12对称结构受对称荷载作用5.2.2 截面法截面法 截面法是截面法是用一适当截面，用一适当截面，截取桁架一部分（包括两个以截取桁架一部分（包括两个以上结点）为隔离体，利用平面一般力系的三个平衡条件，求上结点）为隔离体，利用平面一般力系的三个平衡条件，求解所截杆件未知轴力的方法。解所截杆件未知轴力的方法。 截面法最适用于截面法最适用于联合桁架联合桁架的计算；也适用于简单桁架中少数

17、的计算；也适用于简单桁架中少数指定杆件的内力计算。指定杆件的内力计算。 在分析桁架内力时，如能在分析桁架内力时，如能选择选择合适的截面、合适的平合适的截面、合适的平衡方程及其投影轴或矩心衡方程及其投影轴或矩心，并将杆件未知轴力在，并将杆件未知轴力在适当的位适当的位置进行分解置进行分解，就可以避免解联立方程，做到一个平衡方程就可以避免解联立方程，做到一个平衡方程求出一个未知轴力，从而使计算工作得以简化求出一个未知轴力，从而使计算工作得以简化（刚体力学（刚体力学中力可沿作用线移动）中力可沿作用线移动）。截面选择原则：截面选择原则：1)尽量切开被求杆件或尽量靠近被求杆件；尽量切开被求杆件或尽量靠近被

18、求杆件；2) 截断杆件尽量少，最好只有三个（可建三个方程直接求解）截断杆件尽量少，最好只有三个（可建三个方程直接求解）公理公理2 加减平衡力系公理加减平衡力系公理 在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。1-3 静力学公理静力学公理推理推理1 力的可传性力的可传性作用在刚体上的力是滑动矢量，力的三要素为大小、方向和大小、方向和作用线作用线 作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。1-3 静力学公理静力学公理推理推理1 力的可传性力的可传性一、一、 平面一般力系平面一般力系Oy截面单杆截面单杆：任意隔离体中，除某一杆件外，其

19、它所有待求内力：任意隔离体中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均相交于一点或平行时，则此杆件称为该截面的截面单的杆件均相交于一点或平行时，则此杆件称为该截面的截面单杆。杆。 截面法截面法截面单杆的内力可直接根据隔离体矩平衡条件求出。截面单杆的内力可直接根据隔离体矩平衡条件求出。AB1234512346ddPPPabcde(1)2112P【例】求图示平面桁架结构中指定杆件的内力。【例】求图示平面桁架结构中指定杆件的内力。AB1234512346ddPPPabcde (2) B454PdeAB1234512346ddPPPabcde 4B45Pk2d2d(3) ABCDP1P212N1DABC

20、DP1P22N2PABRARBRB。kPP。kP二、特殊截面二、特殊截面简单桁架简单桁架一般采用一般采用结点法结点法计算；计算；联合桁架联合桁架一般采用一般采用截面法截面法计算。计算。求图示桁架指定杆轴力。求图示桁架指定杆轴力。 解：解： 找出零杆如图示；找出零杆如图示；000000由由D点点111-1截面以右截面以右44m23m5m12ACDBPPEFCPFNCE取取C点为分离体点为分离体PFN10C 结点法与截面法的联合应用结点法与截面法的联合应用2Plll2l2llabAB求图示桁架指定杆轴力求图示桁架指定杆轴力。解：解：整体平衡得：整体平衡得：5P/3P/3x5P/3 1-1截面以上截

21、面以上xc 2-2截面以下截面以下1122x 3-3截面以右P/3NaNbNc33Na5P/3P/3NcFPFPaa截面法相交型结点法a截面法相交型联合法联合法FPa2FPbFPFPFPFPFPFPFP8d2dabcd联合法联合法FPFPabFPFPba 联合法联合法6L 2LFP/2FP/2FPFPFPFPFPaFN2=-FN1FN1=-FN2b联合法联合法 设计桁架时，应根据不同的情况和要求，选择设计桁架时，应根据不同的情况和要求，选择适当的桁架形式。要做到这样，就必须明确桁架的适当的桁架形式。要做到这样，就必须明确桁架的形式对其内力分布和构造的影响，了解各类桁架的形式对其内力分布和构造的

22、影响，了解各类桁架的应用范围。应用范围。 下图为最为常见的三种桁架：下图为最为常见的三种桁架：三角形桁架、平三角形桁架、平行弦桁架行弦桁架和和抛物线形桁架抛物线形桁架，在相同的均布荷载，在相同的均布荷载( (作作用于下弦杆上用于下弦杆上) )各杆的内力如图所示。各杆的内力如图所示。 三种简支桁架的比较三种简支桁架的比较三种简支桁架的比较三种简支桁架的比较-15.81010 kN-79.110 kN10 kN10 kN10kN 图图(a)三角形桁架三角形桁架-63.4-47.47575751530-18.0a (c)抛物线形抛物线形 桁架桁架10 kN10 kN10 kN10 kN10 kN45

23、4545-51.5-47.5-45.310101000aaaaaaa10 kN10 kN10 kN10 kN10 kN 图图(b)平行弦桁架平行弦桁架0-2535.4-1521.2-57.125400a-45-40-25(1)三角形桁架三角形桁架其弦杆的内力近支座处最大，若各杆采用等截面，则会造其弦杆的内力近支座处最大，若各杆采用等截面，则会造成材料浪费，若不等截面，则结构拼装有一定的难度。成材料浪费，若不等截面，则结构拼装有一定的难度。因为因为具有两面斜坡的外形具有两面斜坡的外形，符合普通黏土瓦屋面的要求，符合普通黏土瓦屋面的要求，在跨度较小的、坡度较大的屋盖结构中，多采用该类桁架在跨度较小

24、的、坡度较大的屋盖结构中，多采用该类桁架在跨度较小的、坡度较大的屋盖结构中，多采用该类桁架在跨度较小的、坡度较大的屋盖结构中，多采用该类桁架。 内力分布不均匀内力分布不均匀-15.81010 kN-79.110 kN10 kN10 kN10kN 图图(a)三角形桁架三角形桁架-63.4-47.47575751530-18.0a(2)(2)平行弦桁架平行弦桁架平行弦桁架平行弦桁架弦杆的内力向跨中增大，若各杆采用等截面，则会造成材料弦杆的内力向跨中增大，若各杆采用等截面，则会造成材料浪费，若不等截面，则结构拼装有一定的难度。浪费，若不等截面，则结构拼装有一定的难度。优点：优点：结点构造单一化，腹杆

25、标准化结点构造单一化，腹杆标准化等，等，多应用于轻型桁架多应用于轻型桁架，如厂房中如厂房中12m12m以上的吊车梁，桥梁中多用于以上的吊车梁，桥梁中多用于50m50m以下跨度的梁以下跨度的梁内力分布不均匀内力分布不均匀内力分布不均匀内力分布不均匀10 kN10 kN10 kN10 kN10 kN 图图(b)平行弦桁架平行弦桁架0-2535.4-1521.2-57.125400a-45-40-25(3)抛物线形桁架抛物线形桁架材料使用上最经济材料使用上最经济。但其上弦杆在每一个节间的倾角都不但其上弦杆在每一个节间的倾角都不同，结点构造复杂，施工不便。同，结点构造复杂，施工不便。多用于在大跨度的结

26、构中，例如多用于在大跨度的结构中，例如100100150m150m的桥梁，的桥梁，181830m30m的屋架的屋架。内力分布均匀内力分布均匀内力分布均匀内力分布均匀 (c)抛物线形抛物线形 桁架桁架10 kN10 kN10 kN10 kN10 kN454545-51.5-47.5-45.310101000aaaaaaa 静定组合结构静定组合结构钢筋混凝土钢筋混凝土型钢型钢钢筋混凝土钢筋混凝土型钢型钢三铰屋架三铰屋架下撑式五角形屋架下撑式五角形屋架由只承受轴力的二力杆（桁式杆）和梁式杆（承受弯矩、剪力由只承受轴力的二力杆（桁式杆）和梁式杆（承受弯矩、剪力及轴力）及轴力）混合组成的结构混合组成的结

27、构。 0.7m0.5mABCDEFGRA=6RB=61515+AFC1515Y=0弯矩弯矩,由由F以右以右剪力与轴力剪力与轴力M图图( kN.m)剪力与轴力剪力与轴力如截面如截面A15AYH+_Q图图 (kN)_N图图 (kN)QN几何组成方面几何组成方面几何组成方面几何组成方面：它是无多余约束的几何不变体系它是无多余约束的几何不变体系；静力方面静力方面静力方面静力方面：全部反力和内力可由静力平衡方程求得，全部反力和内力可由静力平衡方程求得，解答是唯解答是唯一的，有限的一的，有限的。称为称为静定结构解答的唯一性定理静定结构解答的唯一性定理。 静定结构在静力分析中具有如下特征：静定结构在静力分析

28、中具有如下特征： (1)(1)在静定结构中，除荷载外，任何其它外因（如：温度改在静定结构中，除荷载外，任何其它外因（如：温度改变，支座位移，材料伸缩、制造误差等）均不会产生任何变，支座位移，材料伸缩、制造误差等）均不会产生任何反力和内力。反力和内力。无荷载作用时，零反力和零内力必能满足全部的静力平衡无荷载作用时，零反力和零内力必能满足全部的静力平衡条件。根据静定结构解答的唯一性可知，条件。根据静定结构解答的唯一性可知，除荷载外，任何除荷载外，任何其它外因均不会产生任何反力和内力。其它外因均不会产生任何反力和内力。 t1(0 t1 t2)t2杆伸长杆伸长杆伸长杆伸长B B支座位移：支座位移：支座

29、位移：支座位移：B 静定结构的一般特性静定结构的一般特性静定结构的一般特性静定结构的一般特性(2)(2)平衡力系的影响平衡力系的影响 当平衡力系所组成的荷载作用于静定结构的某一几何不变的当平衡力系所组成的荷载作用于静定结构的某一几何不变的部分时，只有该部分受力，其余部分的反力和内力均为零。部分时，只有该部分受力，其余部分的反力和内力均为零。 FpFp2FpFpFp(3)(3)荷载等效变换的影响荷载等效变换的影响 对作用于静定结构某一几何不变对作用于静定结构某一几何不变部分上的荷载进行等效变换时，只有该部分的内力发生变部分上的荷载进行等效变换时，只有该部分的内力发生变化，其余部分的反力和内力均保

30、持不变。化，其余部分的反力和内力均保持不变。 FpFp2 2F Fp pFpF Fp p(4)(4)结构的构件截面尺寸材料性质及应变规律的影响结构的构件截面尺寸材料性质及应变规律的影响 静定结构的反力和内力不随构件的截面尺寸、材料的静定结构的反力和内力不随构件的截面尺寸、材料的性质及应变规律的变化而改变。性质及应变规律的变化而改变。 因为静定结构的反力和内力是由静力平衡方程求出来因为静定结构的反力和内力是由静力平衡方程求出来的，而静力平衡方程中不包含上述因素的参数。的，而静力平衡方程中不包含上述因素的参数。 静力等效荷载静力等效荷载：具有同一合力的各种荷载。具有同一合力的各种荷载。荷载等效变换

31、荷载等效变换：将一种荷载变换为另一种与其静力等效的荷将一种荷载变换为另一种与其静力等效的荷载过程。载过程。 四、对称桁架的计算（上章刚架也可利用对称性）四、对称桁架的计算（上章刚架也可利用对称性） 对于静定桁架，若对于静定桁架，若几何形状几何形状、支承形式支承形式和和内部联结内部联结都关于某一都关于某一轴线对称，则称此桁架为轴线对称，则称此桁架为对称桁架对称桁架。 FPFP对称结构对称结构: 对于静定结构，对于静定结构，几何形状几何形状、支承条件支承条件和和内部联内部联结结均对某轴对称的结构均对某轴对称的结构. .FPFP对称荷载对称荷载反对称荷载反对称荷载所谓所谓对称荷载对称荷载，是指位于对

32、称轴两边大小相等、若将结构沿，是指位于对称轴两边大小相等、若将结构沿对称轴对折后，其作用线重合且方向相同的荷载；对称轴对折后，其作用线重合且方向相同的荷载；而而反对称荷载反对称荷载，则是指位于对称轴两边大小相等、若将结构，则是指位于对称轴两边大小相等、若将结构沿对称轴对折后，其作用线重合但方向相反的荷载。沿对称轴对折后，其作用线重合但方向相反的荷载。 1、对称桁架的基本特性、对称桁架的基本特性(1)在在对称荷载对称荷载作用下，对称杆件的内力是对称的，作用下，对称杆件的内力是对称的， 即大小相等，且拉压一致。即大小相等，且拉压一致。(2)在在反对称荷载反对称荷载作用下，对称杆件的内力是反对称的，

33、作用下，对称杆件的内力是反对称的， 即大小相等，但拉压相反。即大小相等，但拉压相反。(3)在在任意荷载任意荷载作用下，可将荷载分解为对称荷载与反对作用下，可将荷载分解为对称荷载与反对 称荷载两组，分别计算出内力后再叠加。称荷载两组，分别计算出内力后再叠加。【例】试用比较简捷的方法计算图【例】试用比较简捷的方法计算图5-21a所示桁架各杆的轴力。所示桁架各杆的轴力。1 12 23 34 45 52 2FP3FP/2FP/2aaaaaFP/23FP/2-FP解：利用对称性分析该桁架。首先，将对称桁架上作用的一解：利用对称性分析该桁架。首先，将对称桁架上作用的一般荷载分解为对称荷载和反对称荷载两种情

34、况，分别计算，般荷载分解为对称荷载和反对称荷载两种情况，分别计算，如图示。然后将各对应杆的轴力叠加如图示。然后将各对应杆的轴力叠加 。计算过程从略。计算过程从略。 1 12 23 34 45 52 2FP3FP/2FP/2aaaaaFP/23FP/2-FPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFP-FP-FP-123451FP/2FP/2FP/2-FP/2FPFPFP/2FP/2FP/2FP/2-+2345=+【例例】用对称性计算图示桁架杆件】用对称性计算图示桁架杆件a的轴力。的轴力。 =FPFPFP/2FP/2allll1234567+=解：解： (1)将荷载与支座反力一起分解为对称荷载和反对

35、将荷载与支座反力一起分解为对称荷载和反对称称 荷载，如图所示。荷载，如图所示。 (2)求在对称荷载作用下杆件求在对称荷载作用下杆件a的轴力的轴力FNa1： FNa1 = -FP。 FPFPFP/2FP/2allll12345671234567FP/2FP/2FP/2FP/200FP/2FP/2FP/2FP/2-FP+FP/2FP/21 12 23 34 45 56 67 7FP/2FP/2FP/2FP/2(3)求在反对称荷载作用下杆件求在反对称荷载作用下杆件a的轴力的轴力FNa2： FNa2 = 0 (4)将对称荷载作用与反对称荷载作用下杆件将对称荷载作用与反对称荷载作用下杆件a的轴力叠的轴力

36、叠加，即可得出图示杆件的轴力为加，即可得出图示杆件的轴力为 FNa = FNa1 + FNa2 = (-FP) + 0 = -FP +FPFPFP/2FP/2allll12345671234567FP/2FP/2FP/2FP/200FP/2FP/2FP/2FP/2-FP+=FP/2FP/21 12 23 34 45 56 67 7FP/2FP/2FP/2FP/22、利用对称性判定桁架零杆、利用对称性判定桁架零杆1）在对称荷载作用下，位于）在对称荷载作用下，位于对对称轴处的自身对称的称轴处的自身对称的K型结点型结点，若节点无外力作用，则两斜杆均若节点无外力作用，则两斜杆均为零杆。为零杆。 2）在

37、反对称荷载作用下，与对称轴垂直相交的横杆或与对称）在反对称荷载作用下，与对称轴垂直相交的横杆或与对称轴线重合的竖杆轴线重合的竖杆(都为自身对称的杆件都为自身对称的杆件)其轴力均为零。其轴力均为零。 自身对自身对称的称的Y型结点型结点，若节点无外力作用，则两斜杆均为零杆。，若节点无外力作用，则两斜杆均为零杆。 FP/2FP/21 12 23 34 45 56 67 7FP/2FP/2FP/2FP/2FPFPFPFPFPFPFPFPFPFP-FP-FP-123451FP/2FP/2FP/2-FP/2FPFPFP/2FP/2FP/2FP/2-+2345【例】试求图示桁架指定杆件【例】试求图示桁架指定

38、杆件a、b的轴力。的轴力。 12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa1、选择适当的截面，以便于计算要求的内力、选择适当的截面，以便于计算要求的内力 方法一：方法一：求图示桁架指定杆件求图示桁架指定杆件a、b的轴力。的轴力。 12345678 910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa提示提示: 截面尽量剖开所截面尽量剖开所求杆件。当此时所求杆求杆件。当此时所求杆件的内力不好求出时，件的内力不好求出时，剖开相临杆件，剖开相临杆件，转化成转化成先求相邻近的与其有关先求相邻近的与其有关系的杆件系的杆件，看其能否求，看其能否求出（转移杆法）；出（转移杆法）；解

39、：取解：取-截面左边（或右边）部分为隔离体。可由一个平衡方截面左边（或右边）部分为隔离体。可由一个平衡方程解出一个未知力。程解出一个未知力。 由由 ，可得，可得 12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa 方法二：方法二：FN2,9FN9,10127102FPFPabFPFNaFNbFN8,10F7,9F7,9XF7,9Y8在在7节点分解节点分解FN79得：得：F79对节点对节点2的力矩如何求？的力矩如何求？法法1、12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa 节点节点3为为X形节点，所以形节点，所以N39=FP。对于节点对于节点9：将：将

40、FN79在在4,9方方向分解各力；向分解各力；27 10934O代入上页式子可得代入上页式子可得FNa85再由再由 ，可得，可得 12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa 1271082FPFPabFPFNaFNbFN8,10FN2,9FN9,10提示提示: 当很多杆件在同一直当很多杆件在同一直线上时线上时，若剖开这些杆件，若剖开这些杆件，因此些杆的未知轴力都在同因此些杆的未知轴力都在同一条直线上，对其直线上一一条直线上，对其直线上一点求矩时，则方程中不含这点求矩时，则方程中不含这些杆的未知力。些杆的未知力。解：取解：取-截面左边（或右边）部分为隔离体。可由一个截

41、面左边（或右边）部分为隔离体。可由一个平衡方程解出一个未知力。平衡方程解出一个未知力。 由由 ，可得，可得 12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa 1271082FPFPabFPFNaFNbFN8,10FN2,9FN9,10F7,9F79对节点对节点2的力矩如何求？的力矩如何求？法法2：12345678910FPFPFPFP2FP2FPabaaaaaaaa 节点节点3为为X形节点，所以形节点，所以N39=FP。对于节点对于节点9：将：将N79在在3,9方方向分解各力；向分解各力；2710934N79YN79XFPFPFPFP2FP对节点对节点2求矩，求矩，F79

42、Y力臂为力臂为a, F79x力臂为力臂为0,进而可求进而可求FNa。对节点对节点8求矩，求矩，F79Y力臂为力臂为2a, F79x力臂为力臂为0,进而可求进而可求FNb。85提示提示: 当求一个斜杆对某一点的力矩时，将此力在当求一个斜杆对某一点的力矩时，将此力在合适的合适的位置分解位置分解并考虑并考虑在合适的方向上分解。在合适的方向上分解。a3d3dAEBCPP【例例】：求桁架中：求桁架中a杆件的轴力。杆件的轴力。a3d3dAEBCPP法一法一:节点法（如何求？）节点法（如何求？）a3d3dAEBCPP法二法二:截面法（截面法（1、转移杆法）、转移杆法）aB3d3dAEBCYaXaP35-=Y

43、Naa25=32PYa-=dYdPMaA032=+=ACEPNaPP法二法二:截面法（截面法（2、同一直线上杆较多时）、同一直线上杆较多时）2、选择适当的平衡方程，使每个方程中只含一个未知力、选择适当的平衡方程，使每个方程中只含一个未知力FPFPFPFPFPFPFPFPFPFAyFAyFAyFAyFByFByaaABCCCABACxyFNaFNa00(矩心矩心)截面单杆截面单杆1截面单杆截面单杆2【例】试求图示桁架指定杆件【例】试求图示桁架指定杆件1、2、3的轴力。的轴力。解：截取截面解：截取截面-左边部分为隔离体，只需注意选择适当左边部分为隔离体，只需注意选择适当矩心，分别列写出相应的三个力

44、矩平衡方程，即可求出矩心，分别列写出相应的三个力矩平衡方程，即可求出所截开三杆的未知轴力。所截开三杆的未知轴力。 FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FPFPACF1.5FPGFN1FN2FN3Fx3Fy3D(矩心一矩心一) FPAC1.5FPFFN1FN3FN2Fx2Fy2G(矩心二矩心二) FPAC1.5FP(矩心三矩心三)FN1FN3FN2F(1)求求FN3 在上图在上图b中，由中，由 ，得，得 FP4 - FP2 + Fx32=0 FPFPFPABCD E FGH2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FP FPACFFPGFN1FN2FN3

45、 Fx3Fy3D(矩心一矩心一)图图b(2)求求FN2：在上图：在上图c中，由中，由 ，得，得 FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FPFPAC1.5FPFFN1FN3FN2Fx2Fy2G(矩心二矩心二)图图c(3)求求FN1：在上图：在上图d中，由中，由 ，得，得 FPFPFPABCDEFGH2m2m2m2m1m1m2131.5FP1.5FPFPACFP(矩心三矩心三)FN1FN3FN2F图图d3、截面法求解联合桁架、截面法求解联合桁架截面法还常用于计算联合桁架中各简单桁架之间联系杆的轴截面法还常用于计算联合桁架中各简单桁架之间联系杆的轴力。一般取力。一

46、般取其中的一个简单桁架其中的一个简单桁架作为一个刚片取脱离体。作为一个刚片取脱离体。例题例题4-7： 作作-截面并取左边（或右边）为隔离体，由截面并取左边（或右边）为隔离体，由 求出求出FNa。 FPFPFPFPFPFPFPFPFAyFAyFByAABCCDEDaFNa(联系杆联系杆)本题仍为联合桁架本题仍为联合桁架.取一个简单桁架作为脱离体如右图取一个简单桁架作为脱离体如右图.(可作一封闭截面可作一封闭截面-，截取隔离体如图所示，截取隔离体如图所示)，由，由可求出可求出FNb；由；由 ，可求出，可求出FNa；由；由 ，可求出，可求出FNc（由（由F FN1N1、F FN2N2均成对出现，计算

47、中有关项相互抵消；另：由均成对出现，计算中有关项相互抵消；另：由于斜杆互不相交，于斜杆互不相交，1,21,2杆轴力对脱离体杆轴力对脱离体BHCFBHCF不影响）不影响）。 【例例】：（注意本题是桁架结构，中间各斜杆不相交）：（注意本题是桁架结构，中间各斜杆不相交）FPFPFAyFByABCDabc12FPFByFNbFNaFNcFPFN1FN1FN2FN2EFHG三、结点法与截面法的联合运用三、结点法与截面法的联合运用 【例】试求图示桁架指定杆件【例】试求图示桁架指定杆件a、b、c的轴力。的轴力。 解：解：(1)求求FNa：取截面：取截面-上边部分为隔离体上边部分为隔离体 FP12abc2m2m2m4m4m3m+-(2)求求FNb：取结点：取结点1为隔离体为隔离体 FP12abc2m2m2m4m4m3m+-