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1、立体的表面交线立体的表面交线1233.3切割体的投影切割体的投影(截交线截交线)截切：截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。部分。 截平面截平面 用以截切物体的平面。用以截切物体的平面。 截交线截交线 截平面与物体表面的交线。截平面与物体表面的交线。 截断面截断面 因截平面的截切，在物体上形因截平面的截切，在物体上形 成的平面。成的平面。讨论的问题：截交线的分析和作图讨论的问题：截交线的分析和作图 。43.3.13.3.1 平面立体的截切平面立体的截切一、平面截切的基本形式一、平面截切的基本形式截交线与截断面截平面截交线截断面5 截交线是一个由直线组
2、成的截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形封闭的平面多边形，其，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截切位置。切位置。平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点。面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每截交线的每条边是条边是截平面与棱面的交线截平面与棱面的交线。求求截交线的实质是求两平面的交线截交线的实质是求两平面的交线截交线的性质：截交线的性质： 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。6二、平面截切体的画图二、
3、平面截切体的画图 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法： 求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点棱线法棱线法。 求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线棱面法棱面法。关键是正确地画出截交线的投影关键是正确地画出截交线的投影。 求截交线的步骤：求截交线的步骤： 截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的形状线的形状 空间及投影分析空间及投影分析 画出截交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交线，分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。并连接成多边形。7例1、求如
4、图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。图3-20 平面与三棱锥相交sabcc”a”b”sPvs”(1) 求Pv与sa、sb、sc的交点1、2、3为截平面与各棱线的交点、的正面投影。123(2) 根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。11”2”23(3) 连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。(4) 补全棱线的投影。3”具体步骤如下：8123(4)1”3”4”1243 例例2 求求做做立体被截切后的投影立体被截切后的投影9例例3 3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2
5、 4 4 3 3 1 12 24 4 空间分析空间分析交线的形状？交线的形状？3 3 投影分析投影分析 求截交线求截交线 分析棱线的投影分析棱线的投影 检查检查 尤其注意检查截尤其注意检查截 交线投影的类似性交线投影的类似性截平面与体的截平面与体的几个棱面相交几个棱面相交？截交线在俯、截交线在俯、左视图上的形左视图上的形状？状？10我们采用的是我们采用的是哪种解题方法哪种解题方法？棱线法！棱线法！11例例4 4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。1 12 21 1 (2(2 ) )、两点分别两点分别同时位于三个面同时位于三个面上。上。三面共点：三面共点：2
6、2 1 1 注意：注意： 要逐个截平面分析和要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交为整体被截切，求出截交线后再取局部。线后再取局部。12131412(3)4(5)6(7)6”7”1”3”2”5”4”67例例6 补全俯视图和左视图的投影补全俯视图和左视图的投影 15例例 7: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图。截切后的俯视图。P P 截交线的形状？截交线的形状？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交线的投影截交线的投影特性？特性？2 2 3 3 6 6 7 7 1
7、1 8 8 4 4 5 5 求截交线求截交线1 15 54 47 76 63 32 28 8分析棱线的分析棱线的投影投影检查截交检查截交线的投影线的投影16173.3.2 3.3.2 回转体的截切回转体的截切一、回转体截切的基本形式一、回转体截切的基本形式截交线截交线截截平面平面截平面截平面截交线截交线18截交线的性质：截交线的性质： 截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置截平面与回转体轴线的相对位置。 截交线都是截交线都是封闭的平面图形封闭的平面图形。19二
8、、求平面与回转体的截交线的一般步骤二、求平面与回转体的截交线的一般步骤 空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便的相对位置，以便确定截交线的形状确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，分析截平面与投影面的相对位置，明确明确截交截交 线的投影特性线的投影特性，如积聚性、类似性等。，如积聚性、类似性等。找出找出 截交线的截交线的已知已知投影，投影，予见未知予见未知投影。投影。 画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 将各点光滑地
9、连接起来，并判断截交线的可将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。见性。 先找特殊点，补充中间点先找特殊点，补充中间点。20 截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置平面与圆柱轴线的相对位置垂直垂直圆圆椭圆椭圆平行平行两平行直线两平行直线倾斜倾斜P PV VP PP PV VP PP PV VP P 圆柱体的截切圆柱体的截切21例例1 1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。投影。平面与圆柱相交 由于平面与圆柱的轴线斜交，因此截交线为一椭圆。截交线的正面投影重影为一
10、直线，水平投影与圆柱面的投影重影为圆。侧面投影可根据圆柱表面取点的方法求出。具体步骤如下：（1）先作出截交线上的特殊点。（2）再作出适当数量的一般点。（3）将这些点的投影依次光滑的连接起来。1155373(7)1”5”3”7”222”46844”（4）补全侧面投影中的转向轮廓线。8”6”22比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。平面与圆柱相交4545=4523例例2 2：求左视图：求左视图虚实分界点虚实分界点2425 在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面之间的交线，就可
11、以作出这些曲面立体的投影图。26分 析： 该立体是在圆柱筒的上部开出一个方槽后形成的 。构成方槽的平面为垂直于轴线的水平P和两个平行于轴线的侧平面Q 。它们与圆柱体和孔的表面都有交线，平面P与圆柱的交线为圆弧，平面Q与圆柱的交线为直线，平面和Q彼此相交于直线段。 例2、 补画被挖切后立体的投影 。 平面与圆柱相交27作图步骤如下：（1）先作出完整基本形体的三面投影图。平面与圆柱相交（2）然后作出槽口三面投影图。( 3) 作出穿孔的三面投影图。QP28例例3 3：求左视图：求左视图空间及投影分析空间及投影分析求截交线求截交线 分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截
12、平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：解题步骤： 同一立体被多个同一立体被多个平面截切，要逐个截平面截切，要逐个截平面进行截交线的分平面进行截交线的分析和作图。析和作图。2930例例4 4：求左视图：求左视图313212(11)3 (10)7(8)6(9)5(7)1(8) 11(6) 23 (5)(9)101211(10)395867已知圆柱截切后的两面投影，求作其已知圆柱截切后的两面投影，求作其W面投影面投影3334平面截切圆锥有四种情况，如图所示。平面与圆锥相交 圆锥体的截切圆锥体的截切35 根据截平面与圆锥轴线的相对位根据截平面与圆锥轴线的相对位置不
13、同，截交线有五种形状。置不同，截交线有五种形状。过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线P PV V圆圆P PV V= 90= 90P PV V椭圆椭圆抛物线抛物线P PV V=双曲线双曲线P PV V= 0= 036例例1 1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。另外两个投影。平面与圆柱相交 此种截交线为一椭圆。由于圆锥前后对称，故椭圆也前后对称。椭圆的长轴为截平面与圆锥前后对称面的交线正平线，椭圆的短轴是垂直与长轴的正垂线。正平线正垂线37正平线正垂线平面与圆锥相交具体步骤如下：（1）先作出截交线上的特殊点。12121”2”3434566
14、5（2）再作一般点。（3）依次光滑连接各点，即得截交线的水平投影和侧面投影。（4）补全侧面转向轮廓线。3”4”5”6”78787”8”3839平面与圆锥相交例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。3421532(4)1(5)4”3”2”1”（1）先求特殊点。（2）再求一般点。（3）依次光滑连接各点。5”31524具体步骤如下：40例例3:求圆锥被截切后的正面投影求圆锥被截切后的正面投影.分析分析:截交线的正面投影为双曲线截交线的正面投影为双曲线.作图作图:1 求特殊点。求特殊点。最高点最高点最低点最低点2 求一般点。求一般点。3 连线。连线。41421(2)(4)3(6)5
15、(8)79(10)2”1”433”4”655”6”(12)1111”12”787”8”91010”9”1112已知立体的正面投影，试完成已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影两面投影4344 平面与圆球相交，平面与圆球相交，截交线的形状都是截交线的形状都是圆圆，但根据截平面与投影面的相对位置，但根据截平面与投影面的相对位置不同，不同，其其截交线的投影可能为圆、椭圆截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线或积聚成一条直线。 球体的截切球体的截切平面与球相交45例例1 1：求半球体截切后的俯视图和左视图。：求半球体截切后的俯视图和左视图。水平面截圆球的截交线水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图
16、上为的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。积聚为直线。 两个侧平面截圆球的两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。视图上积聚为直线。4647例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。具体步骤如下：（1）先求特殊点。（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。（3）依次连接各点的水平投影。平面与球相交112344321123443256656556123448 复合回转体的截切复合回转体的截切495051 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及
17、它们的连接关系，以及它们的连接关系，然后然后分别求出这些基本回分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。转体的截交线，并依次将其连接。例：求作顶尖的俯视图例：求作顶尖的俯视图5253小小 结结一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是的封闭的平面多边形，多边形的边是截平截平 面与棱面的交线面与棱面的交线。求截交线的方法：求截交线的方法：棱线法棱线法 棱面法棱面法二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面
18、与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线。54 当截交线的投影为非圆曲线时，当截交线的投影为非圆曲线时，要要先先找特殊点，再补充中间点找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接，最后光滑连接各点。各点。 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。素线的投影。 分析截平面与被截立体对投影面的相对分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以位置，以确定截交线的投影特性确定截交线的投影特性。 求截交线求截交线三、解题方法与步骤三、解题方法与步骤 空间及投影分析空间及投影分析 分析截平面与被截立体的相对位置，以分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状确定截交线的形状。55 当单体被多个截平面截切时，要当单体被多个截平面截切时，要逐个逐个截截 平面平面进行截交线的分析与作图进行截交线的分析与作图。当只有。当只有 局部被截切局部被截切时，先时，先按整体被截切求出截按整体被截切求出截 交线交线，然后，然后再取局部再取局部。 求求复合回转体复合回转体的截交线，应首先分析复的截交线，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后们的连接关系，然后分别求出分别求出这些这些基本基本 回转体的截交线回转体的截交线，并依，并依次将其连接次将其连接。56
