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1、LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT第二章第二章 叶片振动叶片振动 1.振动的基本概念2.引起叶片振动的激振力3.叶片振动型式4.等截面叶片自振频率计算5.叶片弯曲振动自振频率修正因素6.叶片动应力7.叶片振动安全性校核LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT透平叶片不断受到脉动气流力的作用，叶片产生振动。当激振力频率等于叶片自振频率时产生共振，会使叶片疲劳断裂。透平运行的经验表明，叶片损坏的原因，多数是由于叶片振动疲劳引起。研究叶片振动的必要性：据国外统计：汽轮机叶片事故约占汽轮机事故的39%，燃气轮机轮
2、机叶片事故所占的比例更高；国内统计：19731975三年间，六千万千瓦以上国产机组和一万千瓦以上进口机组共发生350起40多种类型的汽轮机叶片损坏事故，其中大多数事故是由振动疲劳所致。LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT 叶片受到一短时间的作用力开始振动，振动开始后外力即不起作用，叶片在内在弹性力和质量的惯性力作用下继续振动，若无摩擦，振动将一直持续下去，这种振动称为自由振动。 单自由度质点弹簧系统的自振频率为：2-1 振动的基本概念振动的基本概念2-1 振动的基本概念 叶片振动的理论基础是理论力学中讨论过的单自由度振动系统的自由振动，阻尼自由振动
3、和受迫振动。可以看出无阻尼自由振动的频率只与振动系统的刚性系数及质量有关一、无阻尼自由振动LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT二、有阻尼自由振动实际物体的自由振动总是逐渐衰减的。阻尼包括三方面：1.相邻物体接触表面之间的干摩擦力； 2.介质阻力； 3.材料内摩擦力。小阻尼情况下的振动特性：振动位移与阻尼、时间的关系 2-1 振动的基本概念振动的基本概念LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-1 振动的基本概念振动的基本概念小阻尼时，阻尼振动自振频率和无阻尼时的自振频率相同。阻尼振动的振幅按等比级数衰减，
4、相隔一周期T的两个振幅的比值是一个常数对数衰减率：经过一个周期后，相邻两个振幅比值的自然对数。LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT三、受迫振动、共振受迫振动：在周期性激振力的作用下迫使叶片振动，外界激振力 始终作用在叶片上，强迫叶片按外界激振力的频率振 动，与叶片的自振频率无关。受迫振动振幅的大小取决于外界激振力的大小、频率以及叶片自振频率和阻尼的大小。在受迫振动中我们关心的是振动的振幅。周期性激振力在该激振力作用下，其受迫振动的振幅为2-1 振动的基本概念振动的基本概念LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION H
5、IT2-1 振动的基本概念振动的基本概念由上式可知：激振力的幅值越大则振幅越大，此外振幅是与激振力频率 和自振频率有关的。称为放大系数。在无阻尼受迫振动时，大小取决于激振力频率与自振频率的比值图2-2 无阻尼频幅曲线LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-1 振动的基本概念振动的基本概念下面分析质点-弹簧系统有阻尼的受迫振动。质点受到的力：惯性力弹性恢复力摩擦阻力激振力根据动静法以上各力应该平衡，得振动系统的运动微分方程：在小阻尼情况下，自振频率 以及引入 ，故LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-1
6、 振动的基本概念振动的基本概念时（2-5）第一项分式是有阻尼受迫振动的幅值，即式中 Ys激振力幅值P静 态作用下的挠度； 振动位移与激振 力间的相位角。上式的解在振动稳定的情况下（2-5）因此，有阻尼受迫振动的放大系数为LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-1 振动的基本概念振动的基本概念当分母中根号内数值最小时，放大系数最大。这时候的值由下式确定求导得到得到一个重要结论：在小阻尼情况下最大的振幅也是在= n时出现，此时激振力的变化在时间和方向上与自由振动完全合拍而产生共振。得到共振时的放大系数和振幅数值为LABORATORY OF INTENS
7、ITY AND VIBRATION HIT有阻尼的受迫振动，振幅还受到阻尼大小的影响，如图。可以看出，增加阻尼能使共振振幅大大降低。此外，振幅还受到激振力大小的影响。激振力愈大则振幅愈大。图2-3 有阻尼频幅曲线图2-3表示不同对数衰减率时，与/n的关系曲线。可以看出不但在/n=1时振幅很大，而且/n在1附近振幅也很大，这个范围为/n=0.751.25，称为共振区。2-1 振动的基本概念振动的基本概念LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT第二章第二章 叶片振动叶片振动 1.振动的基本概念2.引起叶片振动的激振力3.叶片振动型式4.等截面叶片自振频率计
8、算5.叶片弯曲振动自振频率修正因素6.叶片动应力7.叶片振动安全性校核LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-2 引起叶片振动的激振力引起叶片振动的激振力按产生原因可分为两类：1、由于结构上的因素产生的； 2、由于制造安装的误差产生的。一、由于结构上的因素产生的激振力1. 由于喷嘴叶栅出口气流不均匀引起的激振力喷嘴后气流力的分布喷嘴出气边，由于有一定的厚度，使得每个喷嘴出口边的气流速度降低，作用在叶片上的气流力小；喷嘴通道中部，气流速度大，作用在叶片上的气流力大，如右图。因此，当工作叶片旋转到喷嘴出口边缘处，作用在叶片上的气流力突然减小，而离开出口
9、边缘时气流作用力又突然增大。这样叶片每经过一个喷嘴槽道就受到一次激振，叶片受到周期性的激振力作用。LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT实际的喷嘴数为 ，叶片每秒转速为ns时，则叶片转一圈所需的时间为1/ns秒，叶片通过进汽弧段AB所需的时间为1/ns。但叶片通过进汽弧段时，共受到 次激振力的作用。因此每秒受到激振力的次数，即激振力的频率为：如果不是整圈都有喷嘴，应该将实际的喷嘴数 化为相当的整圈喷嘴数Z1。2-2 引起叶片振动的激振力引起叶片振动的激振力若整圈的喷嘴数为Z1，叶片每秒钟旋转ns转，则叶片得到Z1 ns次激振，激振力的频率为由于隔板上
10、的喷嘴数Z1在40100以上，对于3000转/分的汽轮机，这种激振力的频率范围在20007000Hz左右。LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-2 引起叶片振动的激振力引起叶片振动的激振力部分进汽：在汽轮机的某级中，沿圆周方向只有一部分圆周弧段进汽。部分进汽如图所示，喷嘴进汽弧段没有充满整个圆周，只有一部分弧段进汽。在喷嘴之间的空挡没有蒸汽流过。当叶片旋转经过进汽弧段时，受到全部气流力的作用，而当叶片推出进汽弧段进入空挡时，气流的作用力突然将为零。与喷嘴出口汽流尾迹产生的激振力比较，部分进汽产生的激振力大。其激振力的频率为ins,若喷嘴组对称分布
11、，则i为喷嘴组的数目。LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-2 引起叶片振动的激振力引起叶片振动的激振力3. 抽汽管、排汽管等结构引起的激振力4. 气流通道中加强筋和肋引起的激振力当汽流沿管道流出时，使处于这些管道的前一级和后一级的级后或级前压力沿圆周方向分布不均匀。因为在抽气管或排气管口处的压力比沿圆周方向远离抽气管地方的压力显著低。激振频率为ins。汽流通道中加强筋和肋的存在，阻止汽流流动，使加强筋和肋前后的速度减小，从而使汽流参数沿圆周方向不均匀，形成激振力。二、制造、安装偏差引起的激振力1. 喷嘴和叶片槽道制造、安装偏差引起的激振力某些喷
12、嘴和叶片的节距和安装角偏离设计值，则槽道的面积和进出气角与其他喷嘴不同，使这些喷嘴后的气流参数不同。叶片旋转到这些喷嘴处，受到突变气流力的作用，引起振动。LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-2 引起叶片振动的激振力引起叶片振动的激振力2. 隔板中分面处喷嘴接合不良引起的气流激振力若隔板制造偏差，当上下隔板接合时，则喷嘴型线部分便会错开。如下图中左边图所示。在该处形成汽流突变，形成激振力。其激振力频率为ins（i=1、2）。斜切分面不剖分喷嘴叶型，可避免这种激振力。隔板接合面处的喷嘴LABORATORY OF INTENSITY AND VIBR
13、ATION HIT三、激振力频率 气流激振力的基本频率可归结为两类： 一类是喷嘴叶栅出口边厚度引起的、频率为 的高频激振力；另一类是其他因素引起是、频率为 的低频激振力。 叶片在不均匀的气流中转动时，不仅受到基本频率激振力的作用，而且受到基本频率倍数的激振力的作用。2-2 引起叶片振动的激振力引起叶片振动的激振力LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-2 引起叶片振动的激振力引起叶片振动的激振力 叶片在低频不均匀气流场中旋转时，主要考虑K=16激振力的作用，其相应的频率为式中 K=1、2、36。 在基本频率为 的不均匀流场中，叶片承受的高频激振力频
14、率为式中 K=1、2、3。LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT第二章第二章 叶片振动叶片振动 1.振动的基本概念2.引起叶片振动的激振力3.叶片振动型式4.等截面叶片自振频率计算5.叶片弯曲振动自振频率修正因素6.叶片动应力7.叶片振动安全性校核LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-3 叶片振动形式叶片振动形式一、单个叶片的振型 振动的基本形式：弯曲振动和扭转振动。弯曲振动又可分为切向振动和轴向振动。 切向振动：绕截面最小惯性矩轴的弯曲振动。 轴向振动：绕截面最大惯性矩轴的弯曲振动。a)切向振动 b)
15、轴向振动 c)扭转振动LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT切向振动切向振动轴向振动轴向振动扭转振动扭转振动2-3 叶片振动形式叶片振动形式LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-3 叶片振动形式叶片振动形式1、弯曲振动根据叶顶支承情况的不同分成：A型振动和B型振动。A型振动：叶根固定叶顶自由的振动型式。A型振动节线A0型振动：节线在根部，叶顶振幅最大。A1型振动：节线在根部和叶身上，共两条。A2型振动：根部一条节线，叶身上两条节线。这些振型按自振频率的大小排序：A0、 A1、 A2、 A3对等截面叶片而
16、言，它们的频率之间有一定的比例关系LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-3 叶片振动形式叶片振动形式B型振动B型振动：叶根固定叶顶铰支的振动型式。B0型振动：顶部不动，叶片中间没有节点。B1型振动：叶片中间有一条节线。B2型振动：叶片中间有两条节线。对等截面叶片而言，它们的频率之间也有一定的比例关系此外，对装在叶轮上的叶片，当叶片产生轴向振动时，叶轮往往亦产生轴向振动，叶片和叶轮作为一整体作轴向振动。因此讨论叶片的轴向振动时应该将叶轮和叶片作为一个振动系统来考虑。只有叶轮较厚，而叶片较长时，可忽略叶轮振动，只考虑叶片的振动。LABORATORY
17、OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-3 叶片振动形式叶片振动形式扭转振动振型一阶二阶叶片的扭转振动，亦可按频率的高低分为第一、二、三等阶次的振动。右图表示，单个叶片作第一、第二阶扭转振动时，角振幅沿叶高的变化曲线。随着阶次的升高，角振幅愈来愈小。在图b中表示出第一阶振型有一根节线;第二阶振型有两根节线。对于等截面叶片扭转振动前三阶频率之间的比值为单个叶片的扭转振动频率比较高，一般第一阶的扭转振动的频率在切向振动第一阶和第二阶频率之间靠近第二阶切向振动的频率。2. 扭转振动LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-3 叶片振
18、动形式叶片振动形式复合振型二阶弯曲一阶扭转振型二阶弯曲二阶扭转振型叶片振功型式除了上述弯曲振动和扭转振动外，对变截面的扭转叶片实际上还会产生弯曲-扭转的复合振动。右图为弯-扭复合振动的型式。随着节线数日增多频率也增高。3. 复合振动二、叶片组振型叶片组的切向振动：1）顶部可动的叶片组振动，A型；2）顶部不可动的叶片组振动，B型。此外还有叶片组的轴向振动。LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-3 叶片振动形式叶片振动形式叶片组切向A型振动1.叶片组A型振动特点：组内叶片作同相的振动且频率相同，振型和单个叶片A型振动相同。由于围带（或拉金）的影响，叶
19、片组A型的自振频率与相同尺寸的单个叶片频率不同。可以大于也可以小于单个叶片的自振频率。因为围带的存在提高了叶片的刚性，使自振频率增加;但围带又增加叶片组的质量，使自振频率降低。轴向A型频率比相同尺寸的单个叶片轴向A型频率低。没有节点的是第一阶振动以A0表示；有一个节点的是第二阶振动以A1表示；有两个节点的是第三阶振动以A2表示。LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-3 叶片振动形式叶片振动形式2. 叶片组切向B型振动叶片组的B型振动，和单个叶片的B型振动相类似。但是由于组内叶片振动的相位不同，其同一阶次的振动中有不同的振动型式。归结为两类B型振动
20、，如图叶片组内左半边和右半边相应的叶片振型是对称的。叶片数为奇数时，中间叶片保持不动。第一个叶片和最末一个叶片、第二个叶片和倒数第二个叶片等，它们作同样的振动。LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-3 叶片振动形式叶片振动形式围带的影响：增加叶片组的自振频率。因为围带不动，因此围带的质量对叶片组的自振频率可以说没有影响。逐渐提高激振力的频率，将交替出现A型和B型振动。其自振频率依次增高，即 。通常出现的主要是 型振动；更高音调的振型由于频率高振幅小，即使出现，也不危险。以上讨论的叶片组的A型和B型振动，是围带联结或围带加拉金联结的叶片组的振动类型
21、。单以拉金联成的叶片组可以产生A型振动不可能产生B型振动，因为顶部没有支点。以围带和拉金联成的叶片组不可能产生B0型振动，因为B0型振动，组内叶片的节距是不相等的，而且没有节点。加上拉金以后，则节距维持一定，因此加拉金就避免了B0型振动。LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT3. 叶片组轴向振动叶片组轴向振动除了以上讨论的叶片组A 型和B型切向振动外，叶片组(围带或拉金联接)还会产生叶片组轴向振动。图a为X型振型，拉金有一个节点；图b为U型振型，拉金有两个节点。叶片和叶片组的振动类型很多，以上介绍的只是几种主要的振动类型。设计时择其危险的振型加以考虑
22、，通常校核的振动特性。2-3 叶片振动形式叶片振动形式LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT第二章第二章 叶片振动叶片振动 1.振动的基本概念2.引起叶片振动的激振力3.叶片振动型式4.等截面叶片自振频率计算5.叶片弯曲振动自振频率修正因素6.叶片动应力7.叶片振动安全性校核LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算一、等截面单个叶片弯曲振动静频计算概念：静频率是指叶片不旋转时的自振频率。 动频是指计及叶片离心力影响的自振频率。下面讨论叶片的静频率计算公式叶片
23、是弹性梁，当叶片振动时，其各点的挠度y不仅是位移x的函数数，而且是时间t的函数。由于叶片振动是简谐振动，y随时间按正弦规律变化，因此叶片的挠度曲线可以用下式来描述：（2-13）LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT式中 F叶片的截面面积； 叶片材料密度。负号表示惯性力的方向和加速度 的方向永远相反。这样把惯性力视为作用在叶片梁上的分布载荷。2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算叶片作自由振动，没有外力作用。在振动的任一瞬间，弹性力和惯性力总是大小相等，方向相反互相平衡着。虽然在振动的过程中惯性力是随时间变化的，但弹性力也相应变化，它们彼
24、比之间总是维持平衡。这样可以把叶片在任一瞬间看成一在惯性力载荷作用下的静止梁。作用在叶片单位长度上的惯性力为叶片受力分析：LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT在梁上任取一微段dx,在微段上所受的力矩如图所示。距叶根x处，其弯矩为M，切力为Q。当x变化dx时，弯矩和切力随之变化，即微段右边的弯矩M1和切力Q1为叶片弯曲振动受力分析2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算根据微段受力平衡，可以写出如下力和力矩的两个平衡关系式LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT由第一式可得由上第二式中略去二次微分
25、可得（2-14）（2-15）将（3）式代入（2）式得（2-16）2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算由材料力学知，当挠度较小时弯矩和挠度的关系为：式中 E材料弹性模量； I叶片截面惯性矩。（2-17）LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算将（2-17）式代入（2-16）式可得对于等截面叶片而言，I和F是常数，上式可改写为（2-18）令上式改写为（2-19）这便是等截面叶片的弯曲振动偏微分方程式。将上式化为常微分方程式，将（2-13）式中的y对t求导两次，对x求导四次代入（2-19）式
26、，整理得LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算令（2-20）最后得到叶片振动的常微分方程式：（2-21）式（2-21）的通解为（2-22）式中 为积分常数，k为要求的未知数，求出k便可根据 求得自振圆周率。而k值可以通过叶片两端支承情况决定的四个边界条件来求得。LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算微段受力平衡：微段受力平衡：略去二次量材料力学：材料力学：等截面叶片LABORATORY OF INTENS
27、ITY AND VIBRATION HIT2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算1. A型振动的自振频率对于叶根固定、叶顶自由的叶片，边界条件为根部固定端，挠度和转角都为零。顶部自由端的弯矩和切力等于零。将边界条件代入式（2-22），最后求得包含未知数k的频率方程式这个方程有无穷多个解，前三个根植为根的符号根 植 1.875 4.694 7.855（2-24）LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算圆周率可由式（2-20）求得因此自振频率公式为（2-24）(kl)的一系列值已经求得，故对
28、应不同阶次的自振频率可由（kl）值代入上式求得，如A0型，A1型如下LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算2. B型振动的自振频率对于根部固定、顶部铰支的叶片，边界条件为根部固定端，挠度和转角都为零。顶部铰支端的挠度和弯矩等于零。将边界条件代入式（2-22），最后求得包含未知数k的频率方程式（2-28）这个方程也有无穷多个解，前三个根植为根的符号根 植 3.927 7.069 10.210LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT因此对于等截面叶片，只要算出A
29、0型自振频率 以后，相应的和 只需要乘以上述 倍数，即可求得。2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算 根据此一系列（kl）值代入式（2-24），可确定B型振动各阶的自振频率，如由以上可知，A型振动和B型振动的自振频率计算公式一样，只是（kl）值不同。A型振动和B型振动的自振频率之间各成一定的比例，而且A型和B型是相互交错出现的。A0、B0、A1型自振频率之间的比值为LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算二、等截面叶片组弯曲振动自振频率计算 对用围带联成的叶片组的自振频率进行计算，振动微
30、分方程式（2-21）仍然适用。边界条件如下根部固定端，挠度和转角都为零。叶顶的弯矩等于围带弯曲时给叶片的反弯矩叶顶的切力等于围带质量往复振动的惯性力这样我们可以把叶片组简化为叶片顶部作用了一个弯矩Ms和一个切力Qs的单个叶片一样来考虑，余下的问题是怎样求得Ms和Qs 。围带的反弯矩巳经在第一章中求出，由式(1-33)可得式中 s为叶片组刚性系数LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算考虑到振动时y不仅是x的函数，而且是时间t的函数。故写成偏导数的形式此外当叶片振动时，叶顶的围带也作往复振动。其往复运动
31、的惯性力作用在叶片顶部，使叶片顶部截面产生切力，此切力的大小为一个叶顶节距长度的围带质量惯性力式中 ms为一个节距围带的质量。（2-32）（2-33）以上公式2-32)和(2-33)表示作用在叶片顶部的弯矩和切力。由材料力学知:弯矩、切力与挠度的微分关系为LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT对挠度曲线公式 求导，分别求出以及 ，将结果代入（2-34）得到第三和第四边界条件的常微分形式2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算将Ms和Qs代入上两式，并认为E=Es则上式为等截面叶片组的第三和第四边界条件的偏微分形式。（2-34）当x=l时，
32、当x=l时，式中LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT根据上述所得的四个边界条伴，代入（2一22）式以及它引伸的式子，消去积分常数后，可得围常联结的等截面叶片组的频率方程式2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算式中 s围带质量和叶片质量比值， Fs 、ts围带的横截面积和叶顶节距； F、l叶片的横截面积和叶片高度。(2-38)(2-39)LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT最后求出叶片组第n阶A型或B型振动自振频率 为可以看出，等截面叶片组频率的计算公式与单个叶片自振频率计算公式（2-25）
33、形式相同，只是他们的（kl）值不相同。（2-40）2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算对于结构尺寸已经确定的叶片组，s和s均为定值。因此可从频率方程式(2-38) 中解出其根值(kl),从而由公式(2-20)求出其频率值。方程式(2-38）是一超越函数，它满足无穷多个(kl)值，即它有无穷多个根。最小的根(kl)即相当于叶片组第一阶(A0振型)的频率；第二个根为第二阶频率，以此类推。LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT 可以将叶片组任一阶自振频率用根部固定顶部自由的单个叶片第一阶频率的计算公式来表示。式中值与振动的阶次及s、s 值有
34、关。（2-41） 这样，根据叶片的结构尺寸算出s和s后，利用这些曲线查出 ，便可利用公式（2-41）算出叶片组A0、B0、A1型振动的自振频率。 分析这些曲线可以看出：随着叶片组刚性增加，即s值增大时，则 值增大，叶片组的自振频率升高；在一定的s值时，随着s的增加则 值减小。2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT由图可以看出，拉金安装在0.6l附近时， 值达到最大。 不但与振动的阶次以及s、s 有关，而且与拉金安装在沿叶高的相对位置 有关。 当叶片联成组后刚性和质量都增加。刚性增加使自振频率提高，质
35、量增加使自振频率降低。因此叶片组的自振频率可能比单个叶片的高也可能低。视具体条件决定。 而B0型振动时，围带的刚性和质量的变化，对自振频率的影响不大。 对于用拉金联成的叶片组自振频率，可以用类似围带联成叶片组的自振频率公式（2-41）表示拉金位置对A0型振动频率的影响2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算三、等截面叶片的扭转振动等截面叶片作扭转振动时，认为是围绕截面形心产生振动。用x抽表示截面形心的联线，yz平面垂直与x轴。在叶片上取一微段dx，如
36、图2-24所示。当叶片作自由扭振时，在微段上下两面分别作用着扭矩Mt+dMt和Mt以及微段的转动惯量产生的惯性力矩Ms，根据动静法它们应该平衡。由材料力学，扭转力矩为(2-43)LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT式中 GIt抗扭刚度，对于对于等截面叶 片为常量； G剪切模量； It截面扭转常数，对于圆截面为极惯矩； 角位移。2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算故微段dx的绕x轴的极转动惯量为式中 IP截面对x轴的极惯性矩。因此微段的惯性力矩为LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-4
37、等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算将扭矩和惯性力矩代入平衡方程式(2-43)得到扭转振动偏微分方程式式中由于扭转振动是简谐运动，随时间t按正弦规律变化，因此叶片角位移曲线可以用下式来描绘（2-44）式中 0叶片上各点的角振幅，它是x的函数； t扭转振动圆频率。将上式的对x求导两次，对t求导两次代入式(2-44)中，整理后得到式中(2-46)(2-47)LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算微分方程（2-46）的通解为式中 C1和C2为积分常数，由边界条件决定。对于单个叶片其边界条件为:叶片
38、根部的角位移为零；顶部的扭矩为零。写成数学形式将边界条作代入通解公式(2-48),得到频率方程式(2-48)上式的解为将上式代入(2-47),得到单个叶片扭振频率公式(2-49)LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT顶部有围带的叶片扭转频率公式2-4 等截面叶片自振频率计算等截面叶片自振频率计算对于顶部有围带的叶片，其边界条件为：根部的角位移为零；顶部的角位移也为零，即将边界条件代入（2-48），得到频率方程式上式的解为（2-50）LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-5 能量法计算变截面叶片弯曲振动频
39、率能量法计算变截面叶片弯曲振动频率能量法是以能量守恒为基础。在叶片做自由振动的任何时间内，能量总是包含两部分：动能和位能。动能：质量、速度产生；位能：弹性变形产生；叶片振动过程中总能量保持不变，即在任一瞬间动能和位能之和为常数。动能与速度有关，叶片做简谐振动的速度与频率有关；位能需要叶片变形的挠度曲线，通过叶片工作时的汽流力q作用下，所产生的静挠度曲线代替振动挠度曲线。自振频率较实际自振频率差2作用，且计算结果偏高。汽流载荷汽流载荷弯矩弯矩叶片变形弯曲挠度曲线叶片变形弯曲挠度曲线LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-5 能量法计算变截面叶片弯曲振
40、动频率能量法计算变截面叶片弯曲振动频率2-6初参数法计算叶片自振频率初参数法计算叶片自振频率初参数法可以用来计算叶片各种振动的自振频率和相应的振型，还可以计算多支点多跨轴系的临界转速，但是计算过程比较复杂，需要电子计算机进行计算。初参数法的基本原理：试凑试凑由于变截面叶片频率不能由振动微分方程直接求解，因而将变截面叶片简由于变截面叶片频率不能由振动微分方程直接求解，因而将变截面叶片简化称为力学模型（一段段带集中质量、各段刚度相同的阶梯形直杆），通过试凑法化称为力学模型（一段段带集中质量、各段刚度相同的阶梯形直杆），通过试凑法求叶片振动频率。求叶片振动频率。对于结构尺寸已确定的、在一定支承边界条
41、件下的叶片有确定的自振频率；对于结构尺寸已确定的、在一定支承边界条件下的叶片有确定的自振频率；即叶片以自振频率做自由振动时，必须满足边界条件。即叶片以自振频率做自由振动时，必须满足边界条件。任选一自振频率任选一自振频率w，求出叶片各段振动时的惯性载荷，求出叶片各段振动时的惯性载荷mw2Y;并将并将该载荷作用荷作用在叶片上。通在叶片上。通过材料力学方法，利用叶片根部固定的材料力学方法，利用叶片根部固定的边界条件，按照力学界条件，按照力学递推公式，推公式，求得叶片截面的力学参数：切力求得叶片截面的力学参数：切力Q、弯矩、弯矩M、转角、角、挠度。度。逐段推算，一直推算到叶片的逐段推算，一直推算到叶片
42、的顶端。如果端。如果顶端端满足足边界条件，界条件，则假假设的的频率率为叶片的自振叶片的自振频率；如果不率；如果不满足足终端的端的边界条件，必界条件，必须另假另假设频率重新率重新试凑。凑。LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-7 叶片弯曲振动自振频率修正因素叶片弯曲振动自振频率修正因素上述叶片自振频率的计算公式的条件：将叶片当作梁看待；假定叶片根部为绝对刚性固紧，并且不考虑阻尼、温度和离心力的影响。但对于实际叶片和叶片的实际工作条件而言，往往偏离这些理想条件，以致计算出的自振频率和实际频率值相差较大，必须考虑这些因素对频率的影响。一、叶根联结刚性、
43、切力和转动惯量的影响1.叶根联结刚性影响由于根部联结处有弹性变形或者由于根部夹紧力(包括装配紧力和离心力产生的紧力)不够，不满足根部挠度为零的边界条件。联结刚性减小。影响取决于叶根的结构型式和安装的紧固程度。此时参与振动的不仅有叶片的外伸部份，而且还有固定在轮缘槽中的叶根部分，相当子叶片长度增加，叶片自身刚性减少。影响取决于叶片的自身刚性。可以看出，叶根联结刚性减小使叶片总的刚性(包括叶片自身刚性和联结刚性)减少，因而使叶片的自振频率降低。LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-7 叶片弯曲振动自振频率修正因素叶片弯曲振动自振频率修正因素2. 切力
44、的影响叶片是一弹性梁，当梁在承受载荷而产生弯曲变形时，在梁的截面中存在着弯矩和切力，弯矩和切力对梁的挠度均产生影响。由于切力产生的挠度使叶片总挠度增加，相当于使叶片的柔度增加，从而使叶片振动频率降低。下面通过分析一端固定的等截面悬臂梁，观察切力对挠度的影响。该梁的自由端作用一集中载荷P，自由端的挠度应为上式中第一项表示弯矩产生的挠度;第二项表示切力产生的附加挠度。式中l为梁的长度；F为梁的截面积；为横截面惯性矩；G为剪切模量； 为剪切形式系数，矩形截面=1.2、实心圆环截面=10/9，薄管截面=1.2。对于钢材（E/G=2.5）的矩形截面梁，上式写为式中 i截面回转半径，LABORATORY
45、OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-7 叶片弯曲振动自振频率修正因素叶片弯曲振动自振频率修正因素由上式可以看出:切力产生的挠度与弯矩产生的挠度的比值是和梁的柔度I/i的平方成反比。因此，当梁的长度相对于横截面尺寸较大(柔度大)时，切力比弯矩对挠度的影响少得多，常常可以忽略。根据以上分析，对柔度大的叶片A0型振动频率，切力的影响可以忽略；而对柔度小的短叶片必须考虑切力的影响。此外，对叶片的高阶次振动频率，由于阶次增高振幅减小，因而切力的影响增大。3. 转动惯量的影响叶片产生弯曲振动时，如图2-32所示，微段除了在横向作往复运动外，还作回转运动。因此，当叶片作自由振动时
46、，不但有惯性力，而且有惯性力矩的作用，微段的惯性力矩为式中 J微段对截而中性轴的转动惯量； 微段转动角加速度.其方向恒指 平衡位置。LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-7 叶片弯曲振动自振频率修正因素叶片弯曲振动自振频率修正因素当叶片作简谐运动，y=Y(x)sint，为振动圆频率。则惯性力矩为由于存在惯性力矩，使叶片振动系统总的惯量增加，因而使叶片的自振频率降低。转动惯量对自振频率的影响也和叶片柔度有关，叶片柔度大，转动惯量对叶片频率影响较小；反之当叶片柔度小时，转动惯量对叶片频举影响较大。此外，转动惯量对高阶振动频率影响也较大。 4. 根部牢固修正系数对于柔度小的短叶片的自振频率很难计算准确，必须借助实测频率进行修正。叶片自振频率的实际值与理论计算值的比值称为根部牢固修正系数，用 表示。它考虑了根部联结刚性、切力和转功惯量等因索对叶片自振频率的影响。LABORATORY OF INTENSITY AND VIBRATION HIT2-7 叶片弯曲振动自振频率修正因素叶片弯曲振动自振频率修正因素图2-33表示根部牢固系数曲线，用 与 坐标表示，它近似地给定考虑这些影响后叶片的自振频率值。
