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1、第十章第十章 函数列与函数项级数函数列与函数项级数10.1 10.1 问题的提出问题的提出 .一、一、二、二、收收敛点的全体称点的全体称为该级数的收数的收敛点集点集.例例1.1.解：解：三、和函数三、和函数 焦点焦点1.1.例例2.2.解：解：由此可解出收由此可解出收敛域域.焦点焦点2.2.焦点焦点3.3.10.2 10.2 一致收敛一致收敛.一、函数列的一致收一、函数列的一致收敛.例例1.1.只要取只要取.例例2.2.一致收一致收敛定定义：定理定理1.1.几何意几何意义.证明：证明：反之，反之，.例例3.3.证明：证明：.例例4.4.解：解：一致收一致收敛故在故在(0,1)(0,1)上不一致
2、收上不一致收敛. .定理定理2.2.证明证明: :.二、函数二、函数项级数的一致收数的一致收敛1.1.定定义: :2.2.柯西收柯西收敛原理原理: :.3.3.推推论: :逆否逆否: :例例5.5.解解: :故故级数在数在(0,+)(0,+)上不一致收上不一致收敛! !.三、一致收三、一致收敛的判的判别证明：证明：.优级数数, ,强级数数, ,控制控制级数数例例6.6.解：解：一致收一致收敛例例7.7.解：解：一致收一致收敛例例8.8.一致收一致收敛.说明：明：使用使用M M判判别法，要求：法，要求：这种要求种要求过强存在一致收存在一致收敛级数，但不数，但不绝对收收敛；存在存在级数数绝对收收敛
3、，且一致收，且一致收敛，但，但.例例9.9.一致有界一致有界逐点有界逐点有界, ,不一致有界不一致有界. .矛盾！矛盾！2.2.一致有界一致有界.3.Dirichlet3.Dirichlet判别法判别法若在若在I I上上 证明：证明：.由柯西收由柯西收敛原理，原理，.例例10.10.证明：证明：一致有界一致有界.4.Abel4.Abel判判别法法设设那那么么证明：证明：.例例11.11.解：解：.例例5：设：设在在上一致收敛，那么：上一致收敛，那么：收敛收敛在在一致收敛。一致收敛。证明：证明：1因为因为上一致收敛，所以上一致收敛，所以 在上式中令在上式中令得到得到 收敛，同理收敛，同理收敛收敛.例例6 不一致收敛不一致收敛.例：证明：函数项级数例：证明：函数项级数上一致收敛，但是上一致收敛，但是上不一致收敛。上不一致收敛。证明：首先考虑证明：首先考虑.下面考虑下面考虑因而因而上不一致收敛上不一致收敛.
