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1、专题五 立 体 几 何第一讲 空间几何体及其表面积和体积一、主干知识一、主干知识四棱柱、直四棱柱、四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行平行六面体、直平行六面体、长方体之间六面体、长方体之间的关系的关系. .二、必记公式二、必记公式1.1.表面积公式：表面积公式：表面积表面积= =侧面积侧面积+ +底面积，其中底面积，其中(1)(1)多面体的表面积为各个面的多面体的表面积为各个面的_._.(2)(2)圆柱的表面积公式：圆柱的表面积公式：S=_=_(S=_=_(其中，其中，r r为底面半径，为底面半径，l为圆柱的高为圆柱的高).).(3)(3)圆锥的表面积公式：
2、圆锥的表面积公式：S=_=_(S=_=_(其中圆锥的其中圆锥的底面半径为底面半径为r r，母线长为，母线长为l).).(4)(4)圆台的表面积公式：圆台的表面积公式：S= _(S= _(其中圆台其中圆台的上、下底面半径分别为的上、下底面半径分别为rr和和r r，母线长为，母线长为l).).(5)(5)球的表面积公式：球的表面积公式：S=_(S=_(其中球的半径为其中球的半径为R).R).面积的和面积的和2r2r2 2+2r+2rl2r(r+2r(r+l) )rr2 2+r+rlr(r+r(r+l) )(r(r2 2+r+r2 2+r+rl+r+rl) )4R4R2 22.2.体积公式：体积公式
3、：(1)V(1)V柱柱=_.(2)V=_.(2)V锥锥=_.(3)V=_.(3)V球球=_.=_.ShSh1.(20131.(2013江苏高考江苏高考) )如图，在三棱柱如图，在三棱柱A A1 1B B1 1C C1 1-ABC-ABC中，中，D,E,FD,E,F分别分别是是AB,AC,AAAB,AC,AA1 1的中点，设三棱锥的中点，设三棱锥F-ADEF-ADE的体积为的体积为V V1 1，三棱柱，三棱柱A A1 1B B1 1C C1 1-ABC-ABC的体积为的体积为V V2 2，则，则V V1 1VV2 2=_.=_.【解析解析】设三棱柱的底面设三棱柱的底面ABCABC的面积为的面积为
4、S S，三棱柱的高为，三棱柱的高为h h，则，则其体积为其体积为V V2 2= =ShSh. .因为因为D D，E E分别为分别为ABAB，ACAC的中点，所以的中点，所以ADEADE的的面积等于面积等于 又因为又因为F F为为AAAA1 1的中点，所以三棱锥的中点，所以三棱锥F-ADEF-ADE的高等于的高等于 于是三棱锥于是三棱锥F-ADEF-ADE的体积的体积故故V V1 1VV2 2=124.=124.答案：答案：1241242.(20132.(2013南通模拟南通模拟) )已知正六棱锥已知正六棱锥P-ABCDEFP-ABCDEF的底面边长为的底面边长为1 cm1 cm，侧面积为，侧面
5、积为3 cm3 cm2 2，则该棱锥的体积为，则该棱锥的体积为_cm_cm3 3. .【解析解析】设正六棱锥设正六棱锥P-ABCDEFP-ABCDEF每个侧面等腰三角形的高为每个侧面等腰三角形的高为hh，正六棱锥的高为，正六棱锥的高为h h，由已知得由已知得S S侧侧=6=6 1 1h=3,h=3,所以所以h=1,h=1,又又hh2 2= +h= +h2 2, ,得得所以所以V VP-ABCDEFP-ABCDEF= =答案：答案：3.(20133.(2013苏州模拟苏州模拟) )四棱锥四棱锥P-ABCDP-ABCD的五个顶点都在同一个球面的五个顶点都在同一个球面上，且底面上，且底面ABCDAB
6、CD是边长为是边长为1 1的正方形，的正方形，PAPA平面平面ABCDABCD，则该球的体积为则该球的体积为_._.【解析解析】由题意知，由题意知，PCPC是球的直径，是球的直径，且且所以球的半径所以球的半径R=1R=1，所以，所以V V球球= =答案：答案：4.(20134.(2013扬州模拟扬州模拟) )已知一个圆锥的底面圆半径为已知一个圆锥的底面圆半径为1 1，体积为，体积为 则该圆锥的侧面积为则该圆锥的侧面积为_._.【解析解析】设该圆锥的高为设该圆锥的高为h,h,母线长为母线长为l，底面圆半径为，底面圆半径为R R，R=1,R=1,则则所以所以所以所以S S侧侧= =RRl=1 13
7、=3.3=3.答案：答案：33热点考向热点考向 1 1 计算几何体的表面积与体积计算几何体的表面积与体积 【典例典例1 1】(1)(2012(1)(2012江苏高考江苏高考) )如图，在长方体如图，在长方体ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AB=AD=3 cmAB=AD=3 cm，AAAA1 1=2 cm=2 cm，则四棱锥，则四棱锥A-BBA-BB1 1D D1 1D D的的体积为体积为_cm_cm3 3. .(2)(2012(2)(2012湖北高考湖北高考) )某个实心零部件的形状是如图所示的几某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是两底面
8、均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的何体，其下部是两底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台四棱台A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1-ABCD-ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-AABCD-A2 2B B2 2C C2 2D D2 2. .证明：直线证明：直线B B1 1D D1 1平面平面ACCACC2 2A A2 2. .现需要对该零部件表面进行防现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知腐处理，已知AB=10AB=10，A A1 1B B1 1=20=20，AAAA2
9、2=30=30，AAAA1 1=13(=13(单位：厘米单位：厘米) )，每平方厘米的加工处理费为每平方厘米的加工处理费为0.200.20元，需加工处理费多少元？元，需加工处理费多少元？【解题探究解题探究】(1)(1)求四棱锥体积的关键是什么？求四棱锥体积的关键是什么？提示：提示：计算出四棱锥的高和底面积计算出四棱锥的高和底面积. .(2)(2)如何求组合体表面积？如何求组合体表面积？提示：提示：结合图形分清几何体的构成，分别求出各个简单几何体结合图形分清几何体的构成，分别求出各个简单几何体的表面积，进而求出组合体的表面积的表面积，进而求出组合体的表面积. .【解析解析】(1)(1)由题意得由
10、题意得答案：答案：6 6(2)(2)因为四棱柱因为四棱柱ABCD-AABCD-A2 2B B2 2C C2 2D D2 2侧面是全等的矩形侧面是全等的矩形, ,所以所以AAAA2 2AB, AAAB, AA2 2AD.AD.又又ABAD=A.ABAD=A.所以所以AAAA2 2平面平面ABCD.ABCD.连结连结BD, BD, 因为因为BDBD 平面平面ABCD,ABCD,所以所以AAAA2 2BD.BD.根根据据棱棱台台的的定定义义知知,BD,BD与与B B1 1D D1 1共共面面. .又又已已知知平平面面ABCDABCD平平面面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1, ,且且
11、平平 面面 ABCDABCD平平 面面 BBBB1 1D D1 1D=BD, D=BD, 平平 面面 BBBB1 1D D1 1DD平平 面面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1= B= B1 1D D1 1. .所以所以 BDBBDB1 1D D1 1, ,于是由于是由AAAA2 2BD, ACBD, BDBBD, ACBD, BDB1 1D D1 1, ,可得可得AAAA2 2BB1 1D D1 1,ACB,ACB1 1D D1 1. .又又AAAA2 2AC=A,AC=A,所以直线所以直线B B1 1D D1 1平面平面ACCACC2 2A A2 2. .由于四棱柱由于四棱柱
12、ABCD-AABCD-A2 2B B2 2C C2 2D D2 2底面是正方形底面是正方形, ,侧面是全等的矩形侧面是全等的矩形. .所以所以 =10=102 2+4+4101030=1 300(cm30=1 300(cm2 2).).又四棱台又四棱台A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1-ABCD-ABCD上、下底面均是正方形，侧面是全等的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以等腰梯形，所以=(A=(A1 1B B1 1) )2 2+4(AB+ A+4(AB+ A1 1B B1 1)h)h2=202=202 2+2(10+20)+2(10+20)=1 120(cm=1 1
13、20(cm2 2).).所以所以S=SS=S1 1+S+S2 2=2 420(cm=2 420(cm2 2).).故需加工处理费故需加工处理费2 4202 4200.20=484(0.20=484(元元).).【方法总结方法总结】求解几何体的表面积及体积的技巧求解几何体的表面积及体积的技巧(1)(1)求求几几何何体体的的表表面面积积及及体体积积问问题题，可可以以多多角角度度、多多方方位位地地考考虑虑，熟熟记记公公式式是是关关键键所所在在. .求求三三棱棱锥锥的的体体积积时时等等体体积积转转化化是是常常用用的的方方法法，转转换换原原则则是是其其高高易易求求，底底面面放放在在已已知知几几何何体体的
14、的某某一一面上面上. .(2)(2)求求不不规规则则几几何何体体的的体体积积，常常用用分分割割或或补补形形的的思思想想，将将不不规规则几何体转化为规则几何体以易于求解则几何体转化为规则几何体以易于求解. .提提醒醒：对对简简单单组组合合体体表表面面积积与与体体积积的的计计算算要要注注意意所所求求是是其其构构成成几何体的面积、体积的和还是差几何体的面积、体积的和还是差. .【变式训练变式训练】(2013(2013扬州模拟扬州模拟) )已知圆锥的母线长为已知圆锥的母线长为5 cm5 cm，侧面积为侧面积为15 cm15 cm2 2，则此圆锥的体积为，则此圆锥的体积为_【解析解析】设圆锥底面半径为设
15、圆锥底面半径为R R，高为，高为h,h,母线长母线长l=5,=5,S S侧侧= =RRl=R=R5=15,5=15,所以所以R=3,R=3,所以所以答案：答案：12 cm12 cm3 3热点考向热点考向 2 2 多面体与球的切接问题多面体与球的切接问题【典例典例2 2】(1)(2013(1)(2013大连模拟大连模拟) )已知点已知点P P，A A，B B，C C，D D是球是球O O表表面上的点，面上的点，PAPA平面平面ABCDABCD，四边形，四边形ABCDABCD是边长为是边长为 的正方形的正方形. .若若PA= PA= 则则OABOAB的面积为的面积为_._.(2)(2013(2)(
16、2013开封模拟开封模拟) )已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球表面积的球表面积的 则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为大者的高的比值为_【解题探究解题探究】(1)(1)求求OABOAB的面积的两个关键点的面积的两个关键点: :确定球心位置：点确定球心位置：点P,A,B,C,DP,A,B,C,D可以视为球可以视为球O O的内接长方体的的内接长方体的顶点，则球心所在位置是顶点，则球心所在位置是: : _
17、 _; ;确定确定OABOAB的面积的求法：的面积的求法：OABOAB的面积与长方体对角面的面的面积与长方体对角面的面积的关系是积的关系是: OAB: OAB的面积是长方体对角面的面积的的面积是长方体对角面的面积的_. .(2)(2)求两个圆锥的高之比的两个关键：求两个圆锥的高之比的两个关键：确定球的半径与圆锥底面半径的比：球半径为确定球的半径与圆锥底面半径的比：球半径为r r1 1, ,圆锥底面圆锥底面圆的半径为圆的半径为r r2 2, ,则则r r1 1,r,r2 2的关系为的关系为_; ;用用r r1 1表示两个圆锥的高：体积较大者的高为表示两个圆锥的高：体积较大者的高为_, , 体积较
18、小者的高为体积较小者的高为_. .长方体的体对角线的交点长方体的体对角线的交点【解析解析】(1) (1) 由题意，由题意，PAPA平面平面ABCDABCD，ABCDABCD为正方形，则点为正方形，则点P,A,B,C,DP,A,B,C,D可以视为球可以视为球O O的内接长方体的顶点，球心的内接长方体的顶点，球心O O位于该长位于该长方体的体对角线的交点处，那么三角形方体的体对角线的交点处，那么三角形OABOAB的面积为长方体对的面积为长方体对角面面积的四分之一角面面积的四分之一. .因为因为 所以所以PB=6,PB=6,所以所以OABOAB的面积的面积= =答案：答案：(2)(2)设球心为设球心
19、为O O1 1, ,球半径为球半径为r r1 1, ,圆锥底面圆圆心为圆锥底面圆圆心为O O2 2, ,半径为半径为r r2 2, ,则则有有 所以所以O O1 1O O2 2 = = 设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为h h1 1,h,h2 2, ,则则答案：答案：【方法总结方法总结】多面体与球接、切问题的求解策略多面体与球接、切问题的求解策略(1)(1)涉涉及及球球与与棱棱柱柱、棱棱锥锥的的切切、接接问问题题时时，一一般般过过球球心心及及多多面面体体中中的的特特殊殊点点( (一一般般为为接接、切切点点) )或或线线作作截截面
20、面，把把空空间间问问题题转转化化为为平平面面问问题题，再再利利用用平平面面几几何何知知识识寻寻找找几几何何体体中中元元素素间间的的关关系系，或或只只画画内内切切、外外接接的的几几何何体体的的直直观观图图，确确定定球球心心的的位位置置，弄弄清清球的半径球的半径( (直径直径) )与该几何体已知量的关系，列方程与该几何体已知量的关系，列方程( (组组) )求解求解. .(2)(2)若若球球面面上上四四点点P P，A A，B B，C C构构成成的的三三条条线线段段PAPA，PBPB，PCPC两两两两互互相相垂垂直直，且且PA=PA=a,PBa,PB= =b,PCb,PC=c=c，一一般般把把有有关关
21、元元素素“补补形形”成成为为一个球内接长方体，则一个球内接长方体，则4R4R2 2=a=a2 2+b+b2 2+c+c2 2求解求解. .【变式训练变式训练】(2013(2013三亚模拟三亚模拟) )设三棱柱的侧棱垂直于底面，设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为所有棱的长都为a a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_._.【解析解析】设球心为设球心为O O，正三棱柱上底面为，正三棱柱上底面为ABCABC，中心为，中心为OO，因为三棱柱所有棱的长都为因为三棱柱所有棱的长都为a a，则可知，则可知OO= OA=OO= OA=又由球的相关性质可知，球的半
22、径又由球的相关性质可知，球的半径所以球的表面积为所以球的表面积为4R4R2 2= =答案：答案：【典例典例】1.(20121.(2012新课标全国卷新课标全国卷) )已知三棱锥已知三棱锥S-ABCS-ABC的所有顶的所有顶点都在球点都在球O O的球面上，的球面上，ABCABC是边长为是边长为1 1的正三角形，的正三角形，SCSC为球为球O O的的直径，且直径，且SC=2,SC=2,则此棱锥的体积为则此棱锥的体积为_._.2.2.两球两球O O1 1和和O O2 2在棱长为在棱长为1 1的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的内部，且互相的内部，且互相
23、外切，若球外切，若球O O1 1与过点与过点A A的正方体的三个面相切，球的正方体的三个面相切，球O O2 2与过点与过点C C1 1的的正方体的三个面相切，则球正方体的三个面相切，则球O O1 1和和O O2 2的表面积之和的最小值为的表面积之和的最小值为_._.【解析解析】1.1.方法一：因为方法一：因为SCSC是球是球O O的直径，的直径，所以所以CAS=CBS=90CAS=CBS=90. .因为因为BA=BC=AC=1,SC=2,BA=BC=AC=1,SC=2,所以所以AS=BS= AS=BS= 取取ABAB的中点为的中点为D D，显然显然ABCDABCD，ABSDABSD，所以，所以
24、ABAB平面平面CDS.CDS.在在CDSCDS中，中， SC=2SC=2，利用余弦定理可得，利用余弦定理可得所以所以所以所以V=VV=VB-CDSB-CDS+V+VA-CDSA-CDS= = S SCDSCDSBD+ SBD+ SCDSCDSADAD= S= SCDSCDSBA=BA=方法二：方法二：ABCABC的外接圆的半径的外接圆的半径 点点O O到平面到平面ABCABC的的距离距离 SCSC为球为球O O的直径的直径点点S S到平面到平面ABCABC的距离为的距离为此棱锥的体积为此棱锥的体积为答案：答案：2.2.设球设球O O1 1,O,O2 2的半径分别为的半径分别为r r1 1,r
25、,r2 2，由题意知由题意知|O|O1 1A|+|OA|+|O1 1O O2 2|+|O|+|O2 2C C1 1|=|=而而|O|O1 1A|= rA|= r1 1，|O|O1 1O O2 2|=r|=r1 1+r+r2 2, ,|O|O2 2C C1 1|= r|= r2 2, ,所以所以所以所以从而从而答案答案：【方方法法总总结结】利利用用转转化化与与化化归归思思想想解解决决多多面面体体与与球球的的接接、切切问问题题(1)(1)多多面面体体与与球球接接、切切问问题题，直直接接过过球球心心及及多多面面体体的的特特殊殊点点作作截面，转化为多个多面体或平面图形的接、切问题求解截面，转化为多个多
26、面体或平面图形的接、切问题求解. .(2)(2)多多面面体体与与球球接接、切切问问题题，可可转转化化为为特特殊殊的的多多面面体体( (如如长长方方体体、正正方方体体等等) )与与球球的的接接、切切，再再转转化化为为平平面面图图形形的的接接、切切问问题题求求解解. .转化与化归思想转化与化归思想求空间几何体的体积求空间几何体的体积【思想诠释思想诠释】1.1.主主要要类类型型：(1)(1)等等体体积积转转化化法法，如如求求三三棱棱锥锥的的体体积积，可可转转换换顶点求解顶点求解.(2).(2)不规则几何体的体积的求解不规则几何体的体积的求解. .2.2.解解题题思思路路：常常结结合合所所给给几几何何
27、体体的的结结构构特特征征及及条条件件，通通过过割割、补、转化等方法求解补、转化等方法求解. .3.3.注注意意事事项项：(1)(1)割割、补补法法是是把把不不规规则则几几何何体体转转化化为为可可求求体体积积的几何体的常用方法的几何体的常用方法.(2).(2)等体积转化法适合于三棱锥等体积转化法适合于三棱锥. .【典例典例】(2013(2013烟台模拟烟台模拟) )如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1 1，E E，F F分别为线段分别为线段AAAA1 1，B B1 1C C上的点，则三棱锥上的点，则三棱锥D D1 1-EDF
28、-EDF的体积为的体积为_._.【审题审题】分析信息，形成思路分析信息，形成思路切入点：转换三棱锥的顶点切入点：转换三棱锥的顶点, ,使三棱锥的高与底面积易求使三棱锥的高与底面积易求. .关注点：一般是把三棱锥的底面放在几何体的一个面上关注点：一般是把三棱锥的底面放在几何体的一个面上. .【解题解题】规范步骤，水到渠成规范步骤，水到渠成 ,DED,DED1 1的面积为正方形的面积为正方形AAAA1 1D D1 1D D面积的一半，面积的一半，三棱锥三棱锥 的高即为正方体的棱长的高即为正方体的棱长，所以所以答案：答案：【点题点题】规避误区，易错警示规避误区，易错警示 易错易错点一点一题中题中处不
29、会转换顶点导致无法求解处不会转换顶点导致无法求解易错易错点二点二处不会求点处不会求点F F到平面到平面AAAA1 1D D1 1D D的距离的距离【变题变题】变式训练，能力迁移变式训练，能力迁移1.1.如图所示，在边长为如图所示，在边长为4 4的正方形纸片的正方形纸片ABCDABCD中，中，ACAC与与BDBD相交于相交于O O，剪去，剪去AOBAOB，将剩余部分沿，将剩余部分沿OCOC，ODOD折叠，使折叠，使OAOA，OBOB重合，则重合，则以以A A，B B，C C，D D，O O为顶点的四面体的体积为为顶点的四面体的体积为_._.【解析解析】翻折后的几何体为底面边长为翻折后的几何体为底
30、面边长为4 4，侧棱长为，侧棱长为 的正的正三棱锥，高为三棱锥，高为 所以该四面体的体积为所以该四面体的体积为答案：答案：2.2.如图，已知如图，已知ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是棱长为是棱长为a a的正方体，的正方体，E E，F F分别为分别为棱棱AAAA1 1与与CCCC1 1的中点，则四棱锥的中点，则四棱锥A A1 1-EBFD-EBFD1 1的体积为的体积为_._.【解析解析】因为因为EB=BF=FDEB=BF=FD1 1=D=D1 1E=E=所以四棱锥所以四棱锥A A1 1-EBFD-EBFD1 1的底面是菱形的底面是菱形. .连结连结EFEF，则，则EFBEFDEFBEFD1 1. .因为三棱锥因为三棱锥A A1 1-EFB-EFB与三棱锥与三棱锥A A1 1-EFD-EFD1 1等底同高，等底同高，所以所以所以所以所以所以 因为因为CCCC1 1平面平面ABBABB1 1A A1 1，所以三棱锥所以三棱锥F-EBAF-EBA1 1的高就是的高就是CCCC1 1到平面到平面ABBABB1 1A A1 1的距离，即棱长的距离，即棱长a.a.又又EBAEBA1 1边边EAEA1 1上的高为上的高为a.a.所以所以答案：答案：
