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1、章末整合提升 热点一 一元二次方程的解法一元二次方程的常用解法有四种：直接开平方降次法；配方法；因式分解法；公式法对给定的一元二次方程，依据其特点，应首先判断能否使用直接开平方降次法，利用该方法所解的方程类型有(axb)2 c(c0)与(axb)2 (cxd)2两种；其次是因式分解法，方程的右边化为 0 后，判断左边能否进行因式分解，常用的因式分解方法是提公因式法和公式法；最后是公式法，将方程化为一般形式 ax2bxc0(a0)后，当 b24ac0时，代入求根公式 x求得方程的两个实数根；如果没有特殊说明，一般不用配方法求解【例 1】 我们知道，一元二次方程主要有四种解法，分别是：因式分解法、
2、直接开平方法、配方法和公式法请在以下四个方程中任选一个，并用合适的方法解方程(1)2x27x50; (2)3x212x0；(3)2(x6)272;(4)x24x5.解：(以下任答出 1 个即可)(1)2x27x50(2x5)(x1)0，(2)3x212x0，3x(x4)0，解得 x10，x24.(3)2(x6)272，(x6)236，x66.即 x112，x20.(4)x24x5，(x2)29，x23，x23，即 x15，x21.【跟踪训练】1一元二次方程 x22x 的根是()CAx2Cx10，x22Bx0Dx10，x222方程 2x(x3)0 的解是_x10，x233解方程：x24x10.解
3、：x24x10，x24x1.x24x414.(x2)25.热点二一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：当 b24ac0 时，原方程有两个不相等的实数根；当 b24ac0 时，原方程有两个相等的实数根；当 b24ac0 时，原方程没有实数根4(m2)24(m21)0，解得m .综上所述，m .【例 2】 若关于 x 的方程(m21)x22(m2)x10 有实数根，求 m 的取值范围解：当 m210 且 m20 时，方程为一元一次方程，有一个实数根；当m210时，原方程为一元二次方程，依题意，判别式【跟踪训练】4已知关于 x 的一元二次方程(a1)x22x10 有两个不相等的实数根，则 a
4、 的取值范围是()CAa2Ca2 且 a1Ba2Da25 当 k_ 时，关于 x 的一元二次方程 x2 6kx 3k260 有两个相等的实数根1解析：方程有两个相等的实数根，b24ac(6k)24(3k26)0.24k224.k1.6已知关于 x 的一元二次方程 ax2bx10(a0)有两个相等的实数根，求ab2(a2)2b24的值解：ax2bx10(a0)有两个相等的实数根，b24ac0，即 b24a0.热点三运用一元二次方程解决实际问题应用一元二次方程解决实际问题的思路是：(1)分析题意；(2)寻找等量关系，列一元二次方程；(3)解一元二次方程；(4)检验方程的根是否符合实际意义；(5)写
5、出答案【例 3】 2009 年我市实现国民生产总值为 1376 亿元，计划全市国民生产总值的以后 3 年都以相同的增长率实现，并且2011 年全市国民生产总值要达到 1726 亿元(1)求全市国民生产总值的年平均增长率(精确到 1%)；(2)求 2010 年至 2012 年全市 3 年可实现国民生产总值多 少亿元(精确到 1 亿元 )?解：(1)设全市国民生产总值的年平均增长率为 x，根据题意，得 1 376(1x)21 726.(1x)21.25，1x1.1.x10.110%，x22.1(不合题意，舍去)全市国民生产总值的年平均增长率约为 10%.(2)1376(110%)17261726(
6、110%)1513.617261898.65138(亿元)2010 年至 2012 年全市 3 年可实现国民生产总值约为5138 亿元【跟踪训练】7已知：ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程(1)当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；(2)若 AB 的长为 2，那么 ABCD 的周长是多少？解：(1)四边形 ABCD 是菱形，ABAD.当(m1)20 时，即 m1 时，四边形 ABCD 是菱形.8(2010 年汕头)某市 2007 年，2009 年商品房每平方米平均价格分别为 4000 元，5760 元，假设 2007 年后的两年内，商品房每平方米平均
7、价格的年增长率都为 x，试列出关于 x 的方程：_.4000(1x)25760*热点四根与系数的关系若一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根为 x1，x2，则x1 【例 4】 已知关于 x 的方程 3x210xk 0 有实数根，求满足下列条件的 k 的取值范围：(1)有两个正数根；(2)有一个正数根和一个负数根【跟踪训练】9已知关于 x 的一元二次方程 x26xk20(k 为常数)(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设 x1，x2为方程的两个实数根，且x12x214，试求出方程的两个实数根和 k 的值(1)证明：b24ac(6)241(k2)364k20 恒成立，方程有两个不相等的实数根10已知 x11 是方程 x2mx50 的一个根，求 m 的值及方程的另一根 x2.解：由题意，得(1)2(1)m50，解得 m4.当 m4 时，方程为 x24x50.解得 x11，x25.所以方程的另一根 x25.11已知一元二次方程 x22xm0.(1)若方程有两个实数根，求 m 的范围；(2) 若方程的两个实数根为 x1，x2，且x13x23 ，求 m的值解：(1)方程有两个不相等的实数根，b24ac(2)24m0.解得 m1.
