《电磁场与电磁波第四章静态场分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电磁场与电磁波第四章静态场分析（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 静态场分析静态场分析一、静态场特性一、静态场特性二、泊松方程和拉普拉斯方程二、泊松方程和拉普拉斯方程三、静态场的重要原理和定理三、静态场的重要原理和定理四、镜像法四、镜像法五、分离变量法五、分离变量法六、复变函数法六、复变函数法一、静态场特性一、静态场特性1.静态场基本概念静态场基本概念静电场静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场。化的电荷产生的电场。恒定电场恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。的电场。恒定磁场恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场。磁场，
2、亦称为静磁场。 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。时间发生变化的场。 静态场与时变场的最本质区别静态场与时变场的最本质区别：静态场中的：静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。电场和磁场是彼此独立存在的。2.2.静态场的麦克斯韦方程组静态场的麦克斯韦方程组1.1.静电场的泊松方程和拉普拉斯方程静电场的泊松方程和拉普拉斯方程二、泊松方程和拉普拉斯方程二、泊松方程和拉普拉斯方程 静电场基本方程静电场基本方程静电场是有散静电场是有散(有源有源)无旋场，是保守场。无旋场，是保守场。泊松方程泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程无源区域无源区域 2.2.恒
3、定电场的拉普拉斯方程恒定电场的拉普拉斯方程恒定电场基本方程恒定电场基本方程导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征，导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征，是保守场是保守场拉普拉斯方程拉普拉斯方程3.3.恒定磁场的矢量泊松方程恒定磁场的矢量泊松方程库伦规范库伦规范 矢量泊松方程矢量泊松方程 恒定磁场基本方程恒定磁场基本方程 恒定磁场是无散有旋场。恒定磁场是无散有旋场。矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程 分解小结：小结：两类静态场问题：两类静态场问题：分布型问题：分布型问题：已知场源，直接计算空间各点场强和位已知场源，直接计算空间各点场强和位函数；函数；边值型问题：边值型问题：给定边界条件，
4、求有界空间的场分布。给定边界条件，求有界空间的场分布。 静态场的边值问题，可归结为在给定边界条静态场的边值问题，可归结为在给定边界条件下，求解件下，求解拉氏方程拉氏方程和和泊松方程。泊松方程。边值问题边值问题研究方法研究方法计算法计算法实验法实验法作图法作图法解析法解析法数值法数值法实测法实测法模拟法模拟法定性定性定量定量分离变量法分离变量法镜像法、电轴法镜像法、电轴法微分方程法微分方程法保角变换法保角变换法有限差分法有限差分法有限元法有限元法边界元法边界元法矩量法矩量法模拟电荷法模拟电荷法数学模拟法数学模拟法物理模拟法物理模拟法边值问题研究方法边值问题研究方法积分法积分法三、静态场的重要原理
5、和定理三、静态场的重要原理和定理 1.1.对偶原理对偶原理（1 1）场源的概念）场源的概念 为了分析某些电磁场问题的方便，我们引入了磁为了分析某些电磁场问题的方便，我们引入了磁荷和磁流的概念，这样场源的概念将扩大到荷和磁流的概念，这样场源的概念将扩大到电荷、磁电荷、磁荷、电流荷、电流和和磁流磁流。体磁荷密度体磁荷密度 面磁荷密度面磁荷密度 体磁流密度体磁流密度 u引入以上等效场源后，引入以上等效场源后，MaxwellMaxwell方程修改为方程修改为：u对应电流连续性方程，引入磁流连续性方程对应电流连续性方程，引入磁流连续性方程u电磁场的边界条件也做相应的修改电磁场的边界条件也做相应的修改 对
6、于理想导体（对于理想导体（=），其边），其边界条件为：界条件为： 凡是满足理想导体边界条件的曲凡是满足理想导体边界条件的曲面称为面称为电壁电壁。 对于理想磁体（对于理想磁体（=），其边），其边界条件为：界条件为： 凡是满足理想磁体边界条件的曲凡是满足理想磁体边界条件的曲面称为面称为磁壁磁壁。u磁流强度磁流强度 图（图（a a）是一密绕螺线管，电感量为）是一密绕螺线管，电感量为L L，长度为长度为l, ,通低频电流通低频电流 ，我们可以将其，我们可以将其看作一块磁铁，磁体内部有磁流看作一块磁铁，磁体内部有磁流K K，磁铁两，磁铁两端分别有磁荷端分别有磁荷 和和 ，因而构成一个，因而构成一个磁偶磁
7、偶极子极子（图（图b b），且有），且有磁流强度磁流强度 l（a a）（b b）lK 对图（对图（c c）所示）所示小圆环电流小圆环电流就其远区辐射就其远区辐射场而言，可以等效为图（场而言，可以等效为图（b b）所示磁流元）所示磁流元（c c）（2 2）对偶原理）对偶原理只有电荷、电流只有电荷、电流只有磁荷、磁流只有磁荷、磁流存在以下对偶关系存在以下对偶关系电荷、电流电荷、电流磁荷、磁流磁荷、磁流 两个方程组的数学形两个方程组的数学形式完全相同，做对偶变换式完全相同，做对偶变换后可有一个方程组得到另后可有一个方程组得到另一个方程组，可由一类边一个方程组，可由一类边界条件得到另一类边界条界条件得
8、到另一类边界条件。件。 如果描述两种物理现象的方程具有相同的数如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并具有对应的边界条件，那么它们解的学形式，并具有对应的边界条件，那么它们解的数学形式也将是相同的，这就是数学形式也将是相同的，这就是对偶原理对偶原理，亦称，亦称为为二重性原理二重性原理。具有同样数学形式的两个方程称。具有同样数学形式的两个方程称为为对偶方程对偶方程，在对偶方程中，处于同等地位的量，在对偶方程中，处于同等地位的量称为称为对偶量对偶量。例例ILILr rz zK Klr rz zISISr rz zu教材上总结出了静态场与恒定电场、静电场与教材上总结出了静态场与恒定电场、静电
9、场与恒定磁场之间的对偶关系。恒定磁场之间的对偶关系。u应用对偶原理，可由一类问题的解，经过对偶应用对偶原理，可由一类问题的解，经过对偶量的替换，得到另一类问题的解；或者将单一量的替换，得到另一类问题的解；或者将单一问题按对偶原理分为两部分，这样工作量可以问题按对偶原理分为两部分，这样工作量可以减半。减半。u应用对偶原理，不仅要求方程具有对偶性，而应用对偶原理，不仅要求方程具有对偶性，而且要求边界条件也具有对偶性。且要求边界条件也具有对偶性。u在有源的情况下，对偶性依然存在，在有源的情况下，对偶性依然存在，2.叠加原理叠加原理 利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解利用叠加定理，可以把比较复杂
10、的场问题分解为较简单问题的组合，便于求解。为较简单问题的组合，便于求解。 若若 和和 分别满足拉普拉斯方程，则分别满足拉普拉斯方程，则 和和 的线性组合：的线性组合： 必然满足拉普拉斯方程。必然满足拉普拉斯方程。 3.惟一性定理惟一性定理狄里赫利问题狄里赫利问题第一类第一类边值问题边值问题第二类第二类边值问题边值问题第三类第三类边值问题边值问题诺伊曼问题诺伊曼问题（1 1）边值问题的分类）边值问题的分类混合边值问题混合边值问题（2 2）惟一性定理）惟一性定理 惟一性定理惟一性定理：在给定边界条件下，泊松：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。理解
11、理解静态场的边值问题能用解析法直接求解的并不静态场的边值问题能用解析法直接求解的并不多，许多问题需借助各种间接方法求解。那么多，许多问题需借助各种间接方法求解。那么用各种方法求得的边值问题的解是否正确？边用各种方法求得的边值问题的解是否正确？边值问题的解是不是独一无二的？值问题的解是不是独一无二的？ 这就是边值这就是边值问题的问题的惟一性问题惟一性问题。惟一性定理对上述问题做了肯定的回答，它表明惟一性定理对上述问题做了肯定的回答，它表明只要给出场域内的只要给出场域内的位函数分布位函数分布及及边界面上的函数边界面上的函数值值，则场分布是唯一确定的。，则场分布是唯一确定的。例：例：图示平板电容器极
12、板之间的电位，哪一个解图示平板电容器极板之间的电位，哪一个解 答正确？答正确？答案答案：（：（ C C ）图图 平板电容器外加电源平板电容器外加电源U U0 0四、镜像法四、镜像法 待求区域的电场由分布电荷与边界条件共待求区域的电场由分布电荷与边界条件共 同决定；同决定；镜像法就是在待求区域之外，用一些假想镜像法就是在待求区域之外，用一些假想 的电荷代替场问题的边界；的电荷代替场问题的边界；镜像法只使用于一些比较特殊的边界；镜像法只使用于一些比较特殊的边界；这些假想的电荷称为镜像电荷，大多是一这些假想的电荷称为镜像电荷，大多是一 些点电荷或者线电荷；些点电荷或者线电荷；镜像法的理论依据是唯一性
13、定理；镜像法的理论依据是唯一性定理；镜像电荷的选取原则：镜像电荷的选取原则：B B、镜像电荷不能改变原边界条件。、镜像电荷不能改变原边界条件。A A、镜像电荷必须位于待求区域之外；、镜像电荷必须位于待求区域之外；1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像镜像电荷有多大？放在什么地方？镜像电荷有多大？放在什么地方？图图 平面导体的镜像平面导体的镜像 例：设无限大接地导体平面上方例：设无限大接地导体平面上方d d处处有一点电荷有一点电荷q q，求上半空间电位。，求上半空间电位。 镜像电荷为镜像电荷为-q-q，放在和，放在和q q对称的地对称的地方。方。所以所以对于两相交平
14、面，角域夹角为对于两相交平面，角域夹角为/n/n，n n为整数时，为整数时，有有(2n(2n1)1)个镜像电荷。个镜像电荷。对于平面边界，镜像电荷位于与实际电荷关于对于平面边界，镜像电荷位于与实际电荷关于边界对称的位置上，且两者大小相，符号相反。边界对称的位置上，且两者大小相，符号相反。2.点电荷对接地导体球的镜像点电荷对接地导体球的镜像例：一半径为例：一半径为a a的导体球，外壳接地一点电荷的导体球，外壳接地一点电荷q q1 1置于距球心距离置于距球心距离d d处，求球外电位分布。处，求球外电位分布。从而求得从而求得另外，另外，r r1 1，r r2 2 可以表示为可以表示为镜像电荷的量值与
15、原电荷一般不相等；镜像电荷的量值与原电荷一般不相等；导体球在靠近点电荷一边感应密度大，而导体球在靠近点电荷一边感应密度大，而 远离的一边密度小，同时考虑到球上电荷远离的一边密度小，同时考虑到球上电荷 分布左右对称，所以镜像电荷应位于上半分布左右对称，所以镜像电荷应位于上半 球内的球心与实际电荷的连线上。球内的球心与实际电荷的连线上。五、分离变量法（直角坐标系）五、分离变量法（直角坐标系） 分离变量法是一种最经典的微分方程法，分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有理想边界条件的典型它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题边值问题 。其主导思想就是将求解偏微分。其主导思想就
16、是将求解偏微分方程定解的问题转化为求解常微分方程的问方程定解的问题转化为求解常微分方程的问题。题。应用实例应用实例 例：例：图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为与三壁绝缘且保持电位为 ，金属槽截面为，金属槽截面为正方形如图示正方形如图示, ,试求金属槽内电位的分布。试求金属槽内电位的分布。 解：解：选定直角坐标系选定直角坐标系（D D域内）域内）边值问题边值问题 分离变量法的前提分离变量法的前提是假设待求函数有分是假设待求函数有分离变量形式的解。离变量形式的解。代入到二维拉氏方程：代入到二维拉氏方程：分离常数分离常数 为实数，为实数
17、， 为虚数。为虚数。 为虚数，为虚数， 为实数。为实数。当当 取不同形式的值时，取不同形式的值时， 的解：的解： 为实数，为实数，若在某一个方向的边界条件周期的，则该若在某一个方向的边界条件周期的，则该 坐标的分离常数必为实数，其解要选三角坐标的分离常数必为实数，其解要选三角 函数；函数；若在某一个方向的边界条件是非周期的，若在某一个方向的边界条件是非周期的， 则该方向的解要选双曲函数；则该方向的解要选双曲函数；若函数与某一坐标无关，则该方向的分离若函数与某一坐标无关，则该方向的分离 常数为常数为0 0。结论：结论：要满足边界条件要满足边界条件 只有选取：只有选取： 为实数，为实数，注意：不能得到注意：不能得到A1A10 0 双曲函数双曲函数解题的一般步骤：解题的一般步骤：根据边界的几何形状和场的分布特征选根据边界的几何形状和场的分布特征选 定坐标系，写出对应的边值问题（微分定坐标系，写出对应的边值问题（微分 方程和边界条件）；方程和边界条件）；分离变量，将一个偏微分方程，分离成分离变量，将一个偏微分方程，分离成 几个常微分方程；几个常微分方程； 解常微分方程，并叠加各特解得到通解；解常微分方程，并叠加各特解得到通解；利用给定的边界条件确定积分常数，最利用给定的边界条件确定积分常数，最 终得到电位函数的解。终得到电位函数的解。
