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1、第十二章 排列、组合与二项式定理 排列与组合的内容是学习概率的预备知识，也是进一步学习数理统计、近世代数、组合数学等高等数学的基础；由于内容抽象，解法特殊，所以这部分内容也是发展逻辑思维能力的很好题材. 二项式定理是在初中乘法公式及组合数公式的基础上学习的内容，它与概率论中二项分布、微积分中求导公式的推导有着密切的联系，是进一步学习数学时经常用的基础知识.第一节 加法原理与乘法原理第二节 排列第三节 组合第四节 二项式定理第一节 加法原理与乘法原理 在讨论排列与组合之前,我们先介绍两个基本原理，看下面的问题. 例1 从甲地到乙地，可乘坐火车、汽车或轮船中的任何一种，火车每日1班，汽车每日2班，
2、轮船每日3班，问从甲地到乙地，一日中共有多少种不同的走法？ 从甲地到乙地，可乘坐三类交通工具：火车、汽车或轮船，这三类乘坐方法互不关联，使用其中任何一类都能独立完成从甲地到达乙地，如图12-1所示.图12-1 例1中甲地到乙地的不同走法解 因此，计算共有多少种不同走法，只需把这三类交通工具各自的班次数加起来，可得:(2+3+1)种=6种答：从甲地到乙地共有6种不同的走法.一般地，有以下原理.加法原理图12-2 例2中甲地到乙地的不同走法乘法原理思考题：课堂练习题：习 题1.如何理解加法、乘法原理? 2.如图从甲经过乙到丙共有几条路是用的哪个原理？为什么？ 1.一个三层书架每层依次有书30，25
3、，28本，现要取出一本书，有多少种不同取法？ 2.由数字1，2，3，4，5可组成多少个允许重复数字的三位数？答 案答 案答 案答 案第二节 排 列一、排列的概念我们看下面的问题. 例1 飞行在北京-上海-广州间的民航飞机，应准备多少种不同的飞机票？ 从北京、上海、广州三个站中间每次取出两个站，一个作为起点站，一个作为终点站，就是一种飞机票，我们也可以把它看成是从三个站中每次取出两个站，按起点站在前终点在后的顺序，把它们排成一列，共有多少种不同的排法，就有多少种不同的飞机票.现列举如下：解定义二、排列种数的计算公式证明 例6 有5面不同颜色的旗，每次可取1面、2面或3面按不同顺序挂在杆上就表示信
4、号，一共可以表示多少种不同的信号？三、重复排列 但事实上，有此问题中元素是允许重复选用的，例如编电话号码，选取的数字就可以重复，允许元素重复用的排列问题叫做重复排列.习 题思考题：课堂练习题： 什么叫排列？什么叫排列数？什么叫选排列？什么叫全排列？什么叫重复排列？排列与什么有关？什么叫相同排列？答 案答 案答 案答 案5.计算：6.回答：答 案答 案0 02 23 34 45 56 67 78 8（单击左键显示答案）第三节 组 合一、组合的概念 例1 飞行在北京-上海-广州间的民用飞机，有多少种不同的票价？ 从北京、上海、广州三个站中每次取出两个站，不管哪一个是起点，票价都是一样的，所以我们可
5、把它看成是从三个站中每次取出两个站，不管顺序如何，把它们并成一组，共可并成多少种不同的组，就有多少种不同的票价.因此，解定义二、组合种数的计算公式三、组合的两个性质性质1证解性质2(!化简、证明常用性质2.)证习 题思考题：课堂练习题：答 案答 案答 案答 案答 案第四节 二项式定理一、二项式定理我们知道 所表示的定理叫做二项式定理，而等式右边的多项式叫做 的二项展开式.二、二项展开式的性质叫做二项展开式的通项公式.证明习 题思考题：课堂练习题：答 案答 案答 案答 案答 案答 案答 案 部 分思考题解答： 1.完成一件事，有不同类方法.每类方法都可直接完成叫加法原理.完成一件事需分几个步骤配合完成叫乘法原理.它们都是计数的两大基本原理.所以今后称加法原理为分类计数原理(因为必属于某一类方法完成)，乘法原理为分步计数原理.返 回思考题解答：返 回课堂练习题解答：返 回课堂练习题解答：返 回思考题解答：返 回课堂练习题解答：返 回课堂练习题解答：返 回课堂练习题解答：返 回课堂练习题解答：返 回课堂练习题解答：返 回思考题解答：返 回课堂练习题解答：返 回课堂练习题解答：返 回课堂练习题解答：返 回课堂练习题解答：返 回思考题解答：返 回课堂练习题解答：返 回课堂练习题解答：返 回课堂练习题解答：返 回课堂练习题解答：返 回课堂练习题解答：返 回
