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1、第三章概率论悖论本章教学目的： （1）了解概率在实际生活的重要性； （2）说明直觉会得出错误的结论，而正确 的解答往往与常识矛盾； （3）用较为直观的方法深入体察问题的结构； （4）引导学生深入到概率论较深奥的内容中 去。 在社会实践和科学实验中，人类观察到的现象大体上可以分为两种类型。 一类是事前可以预知结果的，就是某些确定的条件满足时，某一确定的现象必然会发生（出现），或者根据它过去的状态，完全可以预知它将来的发展状态，我们称这一类现象为确定性现象或必然现象。例如在标准大气压下，水在100时肯定会沸腾；两个异性的电荷一定相互吸引；冬天过去春天肯定会到来，等等。另一类现象是在一定条件下，并不
2、总是出现相同结果的现象，我们称为随机现象。对于随机现象，事前不能预知结果，就是某些确定的条件满足时，究竟会发生（出现）什么结果也是不能确定的。或者根据它过去的状态，不能肯定它将来的发展状态。换句话说，即使在相同的条件下重复进行试验，每次所得到的结果未必相同。例如抛掷一枚硬币，当硬币落在地面上时，可能是正面（有国徽的一面）向上，也可能是反面向上，在硬币落地之前我们不能预知哪个结果会出现。在我们买彩票时，我们不知道哪一些号码组合会出现，只有在摇号机摇出结果以后才知道。由于在一次试验中随机现象的规律性不容易确定，因此我们通过重复试验来探求。若在次试验中，事件发生了次，则称为事件在次试验中出现的频率。
3、由于频率的大小表示事件发生的频繁程度，频率越大，事件发生的越频繁，就意味着事件在一次试验中发生的可能性越大。因此频率在一定程度上表示了事件在一次试验中发生的可能性大小。设在次试验中，事件发生次，当很大时，如果其频率稳定的在某一数值附近摆动，且随的增加，摆动幅度越来越小，则称为事件的概率，记为。 在1487年，帕西欧里（Paccioli）曾经考虑过下面的分配奖金问题：甲乙两人比赛，奖金64元，先赢60次的人获得全部奖金。当甲赢50次、乙赢30次时，由于某种原因，比赛不得不终止，问甲乙如何分此64元才公平。帕西欧里的答案是甲得 元，乙得 元，公平吗？ 帕斯卡与费马在往来的信函中讨论“合理分配赌注问
4、题”，后来荷兰物理学家惠更斯也参与进来。该问题可以简化为：甲、乙两人进行某种比赛，先赢三场赢取全部赌注。假定在甲赢两场、乙赢一场时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。他们两人用不同的方法得到相同的结果。经过他们共同研究，这个问题的通解是：如果甲需要再赢m次才能获胜，乙需要再赢n次才能获胜，则甲乙分钱之比为从这个结果可以看到前面帕西欧里曾经给出的分配奖金问题的答案是错误的。如果一个事件的发生不影响另外一个事件发生的概率，则认为这两个事件是独立的。如果抛掷一枚硬币两次，第一次出现的结果不会影响第二次的结果。如果你认为不是这样，可以这样来考虑：硬币是没有记忆的，它不会记下第一次
5、的结果而影响第二次的结果，反过来也是。 正是独立性使人们产生很多困惑。如果一个人抛掷硬币连续出现5次正面，他可能会认为下一次十有八九会出现反面，而实际上下一次出现反面的概率仍是二分之一，和出现正面的概率一样，只要硬币是对称的。更进一步，如果抛掷一枚硬币十次，全是正面的概率和你事先将每一次的结果任意确定以后的概率是一样的。 1 1独立性的误区独立性的误区 在网上有一种赌博游戏，人们用虚拟货币作为赌资。游戏规则是：参与赌博的人将自己的赌资选择押在单数或者双数上，而由计算机随机产生一个数字，押对者获胜。 参与者甲：“我选择的一直是单数，结果连续10次都是双数，输惨了，下一次押什么数呢？” 参与者乙：
6、“连续10次都是双数，下一次肯定是单数，你多押点，不管怎么说，下一次是单数的机会要大得多！”为了说明问题，我们可以假定一个人抛掷硬币，前面三次都是国徽向上。这时再扔第四次，国徽向上的概率还是完全与以前一样：一半对一半，硬币对于它过去的结果是不会有记忆的，因此也不会为出现哪一面提供帮助。很多玩轮盘赌的赌徒以为，他们在盘子转过很多红色数字之后，就会落在黑的上，他们就可以赢了。事情将是这样进行的吗？埃德加阿兰坡坚持认为，如果你在一轮掷骰子中已掷出五次两点，你下次再掷出两点的机会就要小于1/6了。他说得对不对呢？ 如果你对任何这类问题回答说“对”，你就陷入了所谓“赌徒的谬误”之中。在掷骰子时，每掷一次
7、都与以前掷出的点数完全无关。 如果事件A的结果影响到事件B，那么就说B是“依赖”于A的。 例如，你在明天穿雨衣的概率依赖于明天是否下雨的概率。 在日常生活中说的“彼此没有关系”的事件称为“独立”事件。 例如，你明天穿雨衣的概率是和美国总统明天早餐吃鸡蛋的概率无关的。 （1）第一次世界大战期间，前线的战士要找新的弹坑藏身。他们确信老的弹坑比较危险，因为他们相信新炮弹命中老弹坑的可能性较大。因为，看起来不可能两个炮弹一个接一个都落在同一点，这样他们就合理地认为新弹坑在一段时间内将会安全一些。（2）有一个故事讲的是多年前有一个人坐飞机旅行。他担心哪一天会有一个旅客带着隐藏的炸弹，于是他就总是在他的公
8、文包中带一枚他自己卸了火药的炸弹。他知道一架飞机上不太可能有某个旅客带着炸弹，他又进一步推论，一架飞机上同时有两个旅客带炸弹是更加不可能的事。事实，他自己带的炸弹不会影响其他旅客携带炸弹的概率，这种想法无非是以为一个硬币扔出的正反面会影响另一个硬币的正反面的另一种形式而已。（3）轮盘赌中最受欢迎的系统是戴伦伯特系统，它正是以赌徒未能认识到事件的独立性这一“赌徒谬误”为基础的。参与者赌红色或黑色（或其他任何一个对等赌金的赌），每赌失败一次就加大赌数，每赌赢一次就减少赌数。他们猜想，如果小小的象牙球让他赢了，那么就会有某种原因“记住”它，不太可能让他在下一次再赢；如果小球使他输了，它将感到抱歉，很
9、可能帮助他在下一次赢。事实是每一次旋转，轮盘都与以前的结果无关，这就十分简单地证明了，任何一个赌博系统给赌徒的好处都不会比给赌场主的还多。2 2哪一种情况更容易出现哪一种情况更容易出现？ 在实际问题中，人们很容易作出错误的概率计算。桥牌中的某一花色分布是很容易计算错的一种情况。现在假设庄家手上有某一花色的七张牌，对方的分布可能是什么样呢？ 庄家：“哦，外面有六张牌，最可能的情况应该是3-3分布，即每位对方手里有三张牌。正好我有三张大牌，拿到四墩牌没问题！” 事实真是这样吗？如果外面有偶数张牌，许多庄家就会认为是平均分布，但是这种看法不准确。只有外面是两张牌时，1-1分布才比2-0分布略高一丁点
10、，这时1-1分布是52%，2-0分布是48%。当外面有4张牌时，3-1分布是49.7%，2-2分布是40.7%。当外面有6张牌时，3-3分布是35.5%，4-2分布是48.5%。当外面有8张牌时，差距更大，5-3分布是47.1%，4-4分布是32.7%。 如果一个家庭有四个孩子，他们的性别会是什么样呢？同上面一样，很多人会认为有两个男孩和两个女孩的可能性最大，实际上三个男孩一个女孩或者三个女孩一个男孩的可能性更大一些。 我们可以用抛掷硬币来说明上面的情况。如果抛掷四枚硬币，假设每枚硬币出现正面和反面的可能性相同，下面十六种结果出现的可能性是一样的：正正正正，正正正反，正正反正，正正反反，正反正
11、正，正反正反，正反反正，正反反反，反正正正，反正正反，反正反正，反正反反，反反正正，反反正反，反反反正，反反反反。在这十六种情况中，两次正面两次反面的情形只有6种，而三反一正和三正一反的情形有八种。 3.3.抽签的公平性抽签的公平性 抽签是人们经常使用的一种方法，尤其在现代体育比赛中得到广泛应用。在足球比赛中，每个小组里面球队的确定往往使用抽签的办法，其它球类比赛也往往如此。如果没有人为的故意，大家都相信抽签的公平性，是这样吗？ 我们来看一个简单的抽签模型。假如学校给某个班级10张电影票，而这个班级有40人，大家都想得到一张电影票。于是班长就将40张纸条上分别写上1-40的数字，规定抽到1-1
12、0号数字的同学获得电影票。由于要有先后抽签的顺序，自然就产生一个问题：先抽与后抽的机会一样吗？学习过全概率公式的同学很容易计算书它们的概率完全一样。我们使用古典概型也很容易计算出来。抽签的历史已经无从考求，但人们肯定在很早以前就开始应用抽签方法来进行某种决策行为了。那种认为抽签不公平的想法只是混淆了条件概率。 4 4伯特纳德箱悖论伯特纳德箱悖论 伯特纳德设想有三个外观一模一样的箱子，第一个箱子装着两枚金币，第二个箱子装着两枚银币，第三个箱子装有一枚银币和一枚金币。将三个箱子混杂在一起，然后随机选取一个箱子，显然这个箱子里装着两个一样的钱币的概率是2/3。假定我们从选出的箱子中拿出一枚钱币，结果
13、看到它是金币。这就是说，箱子里的不可能是两枚银币，因此，它必然是两枚金币，或者是一枚金币和一枚银币。由于两个箱子中任何一个被选中的机会相等，看起来似乎我们取得两枚同样钱币的概率降到了1/2。如果取出的是银币，也会得出同样的结论。 取出箱中的一枚钱币看一看，怎么就改变了箱中装两枚同样钱币的概率呢？显然这是不可能的。当我们看到一枚金币时，其实有两种可能：这一枚金币或者另外一枚金币。并非仅有一种可能。这和前面抽签问题一样，使用全概率公式很容易算出问题的概率不会发生变化。在伯特纳德以后，一位德国数学家将这个悖论写进一本书中，于1889年发表。 数学家达朗贝尔（DAlembert，17171783）曾经
14、考虑过下面的问题：抛掷一枚硬币两次，问至少出现一次正面的概率是多少？我们知道这个概率概率是3/4。达朗贝尔认为，如果抛掷第一次出现正面，就不必抛掷第二次。如果第一次出现反面，第二次的抛掷结果有两种情况，因此一共有三种情况出现，于是问题的答案应该是2/3。达朗贝尔的错误在于把上面每一个事件的概率都看成相同的，这样才会得到他的结果。 在很多赌博游戏中，如果相信对概率认识的直觉将会吃亏。下面是一个用三张卡片和一顶帽子做工具的赌博例子，可以证明这一点。 卡片由下面三张形式的卡片组成。第一张卡片两面都是圆圈。中间那张卡片，一面是黑点，一面是小圈。最后一张则两面都是黑点。 庄家把卡片放在帽子里摇晃，让你取
15、一张。把它放到桌子上。然后，他与你以对等的赌金，打赌下面两圈点是和上面的一样。 庄家为了哄你，让你以为这个赌博是公平的，比如看到上面是一个小圈，就说你的卡片不可能是黑点黑点卡。因此，它要么是小圈小圈卡，要么是黑点小圈卡。下面的不是黑点，便是小圈，所以你和他赢的机会相等。 要是这个游戏是公平的，庄家怎么会这样快就赚了你的钱呢？ 一个男孩有一个玻璃球，一个女孩有两个玻璃球。他们向竖在地上的一根立柱弹球，玻璃球最接近立柱者胜。假定男孩和女孩技巧完全相同，测量也足够精确而不会引起纠纷。女孩赢的概率是什么？观点一：女孩弹两个玻璃球，男孩只弹一个，因此女孩赢的概率是2/3。 观点二：把女孩的玻璃球叫做A和
16、B，把男孩的叫做C，就有四种可能的情况： （1）A和B都比C更接近立柱； （2）仅A球比C球接近立柱； （3）仅B球比C球接近立柱； （4）C球比A和B都接近立柱。 这四种情况中三种都是女孩赢，所以女孩赢的概率是3/4。 为了解决这个问题，我们列出全部可能的情况，它是六种而不是四种。 按三个球接近立柱的次序，使最近者在前，列表如下： ABC ACB BAC BCA CAB CBA 在六种情况中有四次是女孩赢。这就证明了第一种观点对，女孩赢的机会是4/62/3。 5女朋友的烦恼女朋友的烦恼 人们在排队等候进行某种事情时总会有这样的感觉：自己所排的队伍总是比较慢，自己很少排在行进最快的队伍中。银行
17、的服务窗口开展多种服务，每一种服务所需要的时间不一样，而且即使同样的业务不同的人需要的时间也可能不一样，这样导致人们等待时间不同。去银行办理业务的人往往困惑不已：为什么自己总是排在比较慢的队伍里？大家听说过一个青年无法决定看哪个女朋友好的事吗？他有两个女朋友，一个住在东城，一个住在西城。他每天不定什么时候要去地铁车站一次坐上最早碰到的列车。向东的列车和向西的列车都是十分钟到一次。有一天晚上，东城的姑娘说：我真快乐，你十天里就来看了我九次。又一天晚上，西城的姑娘十分生气：怎么回事？你十天才来看我一次！ 哪里出了问题呢？问题出在列车时刻表上。尽管开往每个方向的列车都是每隔十分钟一趟，可是列车的运行
18、时刻表却编得使西去的列车总是比东去的列车晚到一分钟。这样一来，为了赶上西去的列车，男孩必须在一分钟间隔内的某个时刻到达；而要赶东去的列车，他只需要在九分钟间隔内的某个时刻到达就行了。因此向西去的概率只有1/10，往东的概率却是9/10。所以，他的看似公平的安排，实际上并不公平。 6 6帽子戏法帽子戏法 这里是一个设圈套骗人的故事。在一个公园的一角，一个人正在一边摆弄着三个帽子，一边大声地吆喝着：“快来，出一块钱试试你的运气！谁能找到哪个帽子下面的老将，谁就赢两块！” 正在公园散步的老李很好奇，就蹲下来询问玩法。原来在那人面前有三个帽子，其中一个帽子下面藏有一枚象棋老将，另外两个帽子下面什么也没
19、有。愿意参加的人拿出一块钱作为赌注，如果能猜着哪个帽子下有老将，就赢一块钱。老李在玩了一阵后便断定，他最多只能三次里赢一次，于是便不想玩了。正当他要转身离去的时候，那人又喊了起来：“别走，别走。我让你破例玩这个游戏。你随便选一个帽子，我再翻开一个空帽子，这样，老将肯定在另外两个帽子中的一个里，这时你赢的机会就增加了”。然而，可怜的老李很快就输光了。他没有认识到翻开一个空帽子根本不影响他赢的机会，原因很简单，在老李选出了一个帽子之后，至少有一个剩余的帽子肯定是空的。由于操纵者知道他把老将放在哪一个贝壳下面，他就总能翻开一个空帽子。因此，他这样做对于老李修改他挑到正确帽子的概率没有增添任何有用的信
20、息。 你可以利用同样的道理耍个小花招。如果你手上有一张黑桃A和两张红A（一张红桃A，一张方片A）。当着你朋友的面将三张牌混在一起，然后把它们放在桌上摆成一排。这时让你的一个朋友指出一张牌，他指出的那张牌正好是黑桃A的概率是多少？显然是1/3。现在你可以耍花招了：你先让你的一个朋友指出一张牌，然后你翻开一张红A。如果这时候你对你的朋友说：“现在只有两张牌，黑桃A就是这两张中的一张，因此你指出的那张牌正好是黑桃A的概率增加了，是1/2了。”十之八九你的朋友会同意你的说法，这样一来他就上当了。 7 7谁谁 最最 走走 运运? ? 一些游乐场里有一种被称为“碰运气”的游戏，这种游戏吸引很多人碰碰自己的
21、运气，结果却让游乐场老板走了大运。 “碰运气”游戏是在一个不透明盒子里装着三个骰子，摇晃盒子使骰子滚动。玩的人可以赌从1到6任何一个数，只要三个骰子有一个骰子出现他说的数时，他就得到他赌的钱数。如果有两个骰子出现他说的数时，他就得到他赌的钱数的两倍，如果有三个骰子出现他说的数时，他就得到他赌的钱数的三倍。 参加者往往这样想：“如果这个笼子里只有一个骰子，我赌的数就只能在六次中出现一次。如果有两个骰子，则六次中就会出现两次。有三个骰子时，六次中就会有三次赢，这是对等的赌博！” 他们甚至还会这样想：“可能，我的机会还要好一些！如果我赌一个数，比如5，赌一块钱。要是有两个骰子点数是5的话，我就赢两块
22、钱；若是三个骰子都是5，我就赢3块。这个游戏肯定对我有利！ ” 假设某人参加游戏一次，他选择一个数字，不妨设为1。用随机变量表示一次游戏中数字1出现的次数，则于是随机变量的数学期望 8 8不同的答案不同的答案 老王参加同学聚会，回到家里非常高兴的和妻子谈起许多年没有见面的同学时代的好友老赵的一些事情。老王告诉妻子老赵有两个孩子，妻子问道：“有男孩吗？” 老王：“有，他提到儿子的一些事情，肯定有男孩。” 妻子：“两个都是男孩吗？” 老王：“我不知道。不过另一个孩子是男孩的概率是二分之一，因此有一半的可能性两个都是男孩。”老王猜的对吗？如果仅仅知道老赵家有两个孩子，那么容易计算出老赵家的两个孩子都
23、是男孩的概率是四分之一。这时候按照大的孩子在前的顺序排列有四种情况：男男、男女、女男、女女，两个都是男孩仅有一种情况。如果知道老赵家至少有一个男孩，那么按照大的孩子在前的顺序排列有三种情况：男男、男女、女男，有两个男孩的概率应该是三分之一，因此老王的说法不正确！ 9.9.圣彼得堡悖论圣彼得堡悖论 在概率论发展的早期，有几位数学家讨论如下的问题：甲乙两人玩一赌博游戏，乙事先付给甲若干元，然后由乙连续抛掷一枚硬币直到出现第一次正面为止。如果乙抛掷了n次才出现第一次正面，那么甲付给乙 元。为了使赌博公平，乙事先应该付多少钱呢？我们知道硬币在第n次才出现正面的概率是，因此如果用随机变量表示乙得到的钱数
24、，则的数学期望是也就是说乙应该先给甲无穷多元才会使赌博公平。可是，在乙抛掷硬币时总会有一次出现正面，因此乙拿到的钱一定是有限的，这怎么是公平的呢？ 上面提到的几位数学家包括孟特莫（Montmort，16781719）、尼古拉伯努利（Nicholas Bernoulli,16871759）、约翰伯努利（John Bernoulli,16671748）。在微积分产生以后，出现了谁是微积分的发明人之争。当时欧洲数学家组成了一个调查委员会进行调查，孟特莫是调查委员之一。最后的调查结论是当时解析几何的高度发展使微积分出现的时机已经成熟，牛顿和莱布尼兹各自独立发现了微积分，都是微积分的创始人。约翰贝努利是
25、雅各布贝努利的幼弟，他们来自于历史上最大的数学家族，即瑞士巴塞尔的贝努利家族，在十七、十八世纪，这个家族产生了十多位著名的数学家，约翰贝努利与雅各布贝努利是其中最有影响的两位。 约翰贝努利的儿子丹尼尔伯努利（Daniel Bernoulli,17001782）把这个问题在圣彼得堡科学院发表出来，后人称之为圣彼得堡悖论。对于这个问题，我们能够解释的只能是这样：如果乙先付给甲Y元，当Y不是无穷大时，对乙有利；当Y是无穷大时，对甲有利，这个赌博游戏没办法达到公平。10.另一个盒子另一个盒子在你面前有两个封闭的盒子，每个盒子中都有一定数量的钱。这些钱当初是按下列规则放进去的：连续抛掷一枚均匀的硬币，直
26、到它落下来反面向上为止。如果连续抛掷n次落下来都是正面向上，到n+1次才反面向上，则在一个盒子中放3n元，在另一个盒子中放3n+1元。现在允许你打开其中一个盒子，数一数里面有多少钱。你可以把这些钱放进自己的口袋，也可改变主意，拿走另一个尚未打开的盒子里的钱。你怎么办？ 设A=“盒子里有3n元钱”， B=“抛n-1次正面后出现一次反面”， C=“抛n次正面后出现一次反面”， 则 11.11.打败赌场老板打败赌场老板 在某个娱乐性赌场，人们可以玩这样一种游戏进行赌博。赌场老板公布一个正整数n，在这个赌博中，由赌客抛掷一枚质量分布均匀的硬币直到它反面向上为止。如果赌客恰好抛掷了n-1次，则输给老板8
27、n-1元；如果赌客抛掷了n+1次，则从老板那里赢得8n+1元；其它情况都算平手。因为恰好抛掷n-1次的概率是 ，恰好抛掷n+1次的概率是 ，从而赌客赢钱的数学期望是 （n1）或2（n=1）。 由于赌客赢钱的数学期望就是老板输钱的数学期望，而上面的数字是一个正数，因此这个赌博对老板是不利的。但是赌场老板原来是这样确定n的：他也是抛掷一枚质量分布均匀的硬币直到它反面向上为止，如此所抛掷的次数就确定为n。这样老板和赌客就是以完全对称的方式来玩这个赌博游戏，每人都按以上方式抛掷硬币，如果两人所抛掷的次数恰好是两个相邻的整数n和n+1，那么掷了n次的那位就付8n元给掷了n+1次的那位。但从上面的计算看到
28、，无论老板宣布的是哪一个数字，从数学期望的角度来看，这个赌博是有利于赌客而不利于老板的，为什么在一个完全对称的赌博中会出现这种不对称的结果呢？12对双方都有利的赌博对双方都有利的赌博前面我们看到的赌博游戏都是庄家设计骗取别人的钱财，而下面的一个赌博游戏则是对双方都有利，即每个人都可能得到更多的钱财。两个守财奴和一个大学教授一起吃午饭。两个守财奴唯恐由自己付饭钱，于是便争先恐后地哭穷。 教授：“今天的饭钱由我付。不过我可以告诉你们一个对你们都有利的赌博游戏。把你们的钱包放在桌子上，由我来数一数里面的钱。谁的钱包里的钱少，所有的钱都归谁。”守财奴甲想到：如果我的钱比对方的多，他就会赢掉我的钱。不过
29、，如果他的钱多，我就会赢多于我的钱，所以我赢的要比输的多。因此这个游戏对我有利。另一个守财奴的想法也是一样的，因此这是一个对双方都有利的赌博。可是一个游戏怎么会对双方都有利呢？这是不可能的。是不是因为两个参与者都错误地设想他赢和输的机会是相等的，因而产生了这个谬论呢？13中立原理中立原理甲：银河系中地球以外的星球有人吗？ 乙：世界会发生一场核战争吗？ 如果我们回答这类问题时说，肯定和否定是同样可能的，就笨拙地应用了一个名为“中立原理”的东西。 “中立原理” 如下：如果我们没有充足理由说明某事的真伪，我们就选对等的概率来定每一事物的真实值。 法国天文学家、数学家拉普拉斯有一次曾以这个原理为基础计
30、算出太阳第二天升起的概率是1/1826214。火星上可能有某种生命形式的概率是多少？应用中立原理就得到答案1/2 。在火星上连简单的植物生命都没有的概率是多少？同样，我们答道1/2。没有单细胞动物的概率呢？也是1/2。那么火星上既没有简单的植物生命，也没有单细胞动物的概率是几？按照概率乘法定律，答案是1/4。这意味着在火星上有某种形式的生命的概率就升高到1-1/4=3/4,这就与我们原来的估计值相矛盾了。 在公元2010年内发生核战争的概率是多少？根据中立原理，我们回答是1/2。那么原子弹不会落在美国国土上的概率是多少？回答是1/2。俄罗斯不会受原子弹轰炸的概率是多少？法国不受原子弹轰炸的概率
31、是多少？如果我们将这一理由应用到10个不同的国家，则原子弹不会轰炸其中任何一个国家的概率就是的1/210次方，即用1减这个数就得到原子弹会炸到10个国家中任何一个国家的概率1-1/210。假定你知道有一立方体，藏在一个柜子里，其边长是2尺到4尺之间。既然你没有任何理由认为它的边长是比3尺短或比3尺长，那么你认为此立方体的边长是3尺就是最好的估计。现在来考虑这个立方体的体积。它必然是在23=8尺3到43=64尺3之间。同样，既然你没有任何理由认为其体积比36尺3少或比36尺3多，那么认为36是该立方体的体积就是最好的估计。换句话说，你对这个立方体最好的估计是边长为3尺，体积为36尺3，这该是一个
32、多么奇怪的立方体啊！换一种方法，如果你把中立原理应用于立方体的边长，则你得到边长为3尺，此时体积为27尺3。但若把它应用于体积你得到的体积为36尺3，这时边长是36的立方根，大约是3.30尺。14帕斯卡赌注帕斯卡赌注帕斯卡：一个人无法决定他是接受还是拒绝教堂的教义。教义也许是真实的，也可能是骗人的。这有点象抛硬币，两种可能性均等。可报应是什么呢？假定某个人拒绝了教堂的教义-如果教义是骗人的，则他什么也没有损失；可是，如果教义是真实的，那他将会面临在地狱遭受无穷苦难的未来。假定这个人接受了教堂的宣传-如果教义是骗人的，他就什么也得不到；可是，如果教义是真实的，他将能进入天堂享受无穷的至福。 帕斯
33、卡确信，对这一决策游戏的报应无限有利于把宝押在教义是真的这一态度之上。 哲学家们自那以后一直在对帕斯卡的赌注进行争论。我们的看法如何？ 十七世纪的法国数学家和哲学家、物理学家布莱斯帕斯卡是概率论的奠基者之一。他提出了一个被称之为“帕斯卡三角”的著名的数字结构。 1中立原理是合法地应用于帕斯卡的论断之中吗？ 2对于法国哲学家丹尼斯林德罗提出的这样一个异议你作何回答？世界上还有很多其他的影响很大的宗教，例如伊斯兰教，它们也提出接受该宗教是得到拯救的条件。帕斯卡赌注也适用于所有这些宗教吗？如果这样的话，一个人难道能成为每个宗教的信徒吗？ 3你对威尔斯的看法有何见解？我们并不知道世界在经历一场原子大战
34、之后是否会保留下来。可是，你的生活和所作所为应该表现得好象你确信世界能够经历这场劫难而保存下来那样，这是因为（如威尔斯所说）“如果在末了，你的乐观看法不能证实，你也总是快乐的”。不可思议的巧合（1）她就在你身后 米迦勒迪克同家人走遍英国，寻找其10年前失散的女儿丽莎。苦寻未果，他便来到萨福克免费报社，他们答应为他在报上登启事。幸运的是，他那失散多年的女儿看到了启事，于是家人重逢。诡异的是，在免费报纸拍照片时他女儿就在他的身后。不可思议的巧合（2）同一个人会被闪电击中四次？在第一次世界大战的最后一年，英国骑兵军官萨摩福特少校在佛兰德斯的战场上作战，一个闪电把他劈落马下，致使其腰部以下瘫痪。六年后
35、他移居加拿大的温哥华，一次外出钓鱼，萨摩福特少校再次被闪电击中，其右侧身体瘫痪。在康复两年后的一个夏日，他来到当地的一个公园，突然天降暴雨，闪电又一次击中他，致使其终身瘫痪。两年以后，他去世了。可是，在死后第四年，他的石墓被毁是被闪电击中的！不可思议的巧合（3）什么是山不转水转1965年四岁的罗格劳斯尔在塞勒姆海滩游泳，他遭遇险情差点淹死，一位名叫爱丽丝布雷斯的女子救了他。1974年还是在那个海滩，罗格坐着小船出海，他把一个男人从水中救了上来令人惊讶的是这位获救的男子是爱丽丝布雷斯的丈夫。不可思议的巧合（4）幸运的休威廉姆斯1660年12月5日一艘轮船在多佛的航道上沉没，唯一的幸存者名叫休威廉
36、姆斯。1767年12月5日另一艘轮船在相同水域沉没，127人丧生，唯一的幸存者名叫休威廉姆斯。1820年8月8日一艘野餐船在泰晤士河翻船，只有一位幸存者名叫休威廉姆斯。1940年7月10日一艘英国拖网渔船被德国水雷炸毁，只有两人生还，一位男子和其侄子他们都叫休威廉姆斯。不可思议的巧合（5）幸运的巧合2004年5月28日，波兰一个七十七岁高龄的老太太巴巴拉罗雅上了国际新闻。从幼年起，她就灾难不断，但每次平安度过。巴巴拉一生经历四次飞机失事，七次车祸，十二次从大楼或楼梯莫名其妙摔下来，还发生过她在阳台看楼下小朋友玩游戏，阳台断裂，华沙剧院屋顶吊灯坠落，两次火车相撞，煤气爆炸，罪犯袭击，快艇沉入水底
37、等灾难，但她却安然无恙。巴巴拉保留有关她的报纸剪报跟目击者证词，根据这些资料，她一生一百二十七次与死神擦身而过，可以说是人间奇迹。巴巴拉两岁时从家中五楼窗子掉去，掉在一堆纸板上，毫发无伤。十岁她穿越马路，被一个胖男人骑脚踏车撞上，她没事，胖子却摔断胳膊。十二岁，一辆卡车冲向她，就在卡车要撞上巴巴拉之际，卡车车轮脱落，卡车冲出路面，巴巴拉逃过一劫。波兰科学家和星象家都无法解释巴巴拉的经历，因此有人怀疑有守护天使保护她，但也有人说巴巴拉是扫帚星。不可思议的巧合（6）言传身教商人丹尼德托伊特在南非当众演讲，题目是：要当心，因为死神可以随时把你带走。演讲末了，他把一颗薄荷糖塞到嘴里，而后就噎死了。不可
38、思议的巧合（7）意外的意外1971年，一位亚利桑那人不小心开枪打伤了自己。这倒没有什么大惊小怪的，这种事情常有发生。可是为了提高求救声的分贝，这位受伤的人又开了一枪，打中了自己的另外一条腿。不可思议的巧合（8）复杂的程序一个法国人1998年尝试了一次复杂的自杀：他站在一个高高的悬崖上，在脖子上套了一个套索，把绳索固定在一块巨大的岩石上；然后他喝下毒药，并开始自焚。在他从悬崖上跳下去的时候，他又朝自己的脑袋开了一枪。 但子弹没有打中目标，反而打断了绳索，他掉到了海里没被吊死，冰冷的海水扑灭了他身上的火焰，下落的冲击力使他把毒液吐了出来。一位渔民把他从水里拖了起来，送到医院，结果他由于体温过低而死
39、亡。不可思议的巧合（9）被诅咒的跑车美国好莱坞电影明星詹姆斯迪恩1955年驾驶名牌跑车外出，死于一场车祸，时年24岁。他那辆被撞毁的跑车后来被拖到了汽车修理厂，然而在拆卸过程中，用千斤顶支撑悬空的那辆废车突然坠地，砸断了修理工的一条腿。这辆车的发动机后来被卖给了一名喜爱赛车的美国医生，他将发动机安装在自己的赛车上，这名医生后来开赛车参加比赛时，死于车祸；在同一场赛车比赛中，另一名购买了迪恩报废汽车方向轴的赛车手，也死于车祸。美国人对迪恩的汽车开始“谈车色变”，有人用他的报废车的外壳展览赚钱。然而在一次展览中，展览厅突然发生火灾。在后来的一次展览中，这辆废跑车的外壳又从展台上跌落，砸碎了一名游客的臀骨。不可思议的巧合（10）死亡前的相遇死亡前的相遇1890年7月28日，意大利国王翁贝尔托一世到米兰几里外的蒙察，准备次日的颁奖。当晚国王到一间小饭店用膳，国王发现店主的容貌和体型跟自己十分相似，倾谈后发现，两人在同年同月同日生于同地，名字相同，同在1868年4月22日结婚，妻子都叫玛格丽塔，都有一个名为维托里奥的儿子，这饭店开张之时就是国王登基之日，两人同时在1866年获得英勇勋章。第二天店主在枪击中意外中弹丧生，国王亦在同一天被刺客用枪杀死。
