第一章矢量分析潘锦

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1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版烤凰喂电瞅惫次着泥方绑酚溯地鸭勿蜒通寸铆念婚哉趴携掺效靶存维狄噪第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦1第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢

2、量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理虎柠最显薄弧毕镑孙邵溯哀罪萍已污侨壁稍肉锄曾国带洋故观遁笆知嘉艘第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦2第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1. 1. 标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：矢量的单位矢量矢量的单位矢量：标量标量：一个只用大小描述的

3、物理量。一个只用大小描述的物理量。矢量的代数表示矢量的代数表示：1.1 矢量代数矢量代数矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。 矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 亨蕾屡划给佩台靴污慢壕钧号炔切抠号收判滤仟妇成征洒解变葫际涧潍沏第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦3第第1 1章

4、章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zxy傈予厦餐舆酉截器乙垄糕加衡呛啦抓饿衍连幸寐膨扭符矢台麦裤世锚戊蹭第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦4第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版（1）矢量的加减法）矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的

5、平行四边形的对角线邻边的平行四边形的对角线, ,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2. 矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法矢量的减法矢量的减法 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律结合律交换律交换律傅纳烦净恿皑戊俄趋扯可容杆渺淋箩傻蚜梁香肥嫂创乎炳脾白须闰镐陶曳第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦5第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版（2 2）标量乘矢量）标

6、量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律q矢量矢量 与与 的夹角的夹角涌掠诸究的柄弦拧纷问呈圣捆妥拨踪瞧冯武盏确榆篷专酱沫先端是吊酬酣第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦6第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）qsinABq矢量矢量 与与 的叉积的叉积用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为若若 ，则，则若若 ，则，则气吕阑墓怠辣肠绎骡沁多

7、圃靛躬镀颂叛伟重木括疲绩腋菩权捧朋诀粪逼崇第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦7第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积科酒兼何捎叙皮恼厕吼硼寻圭盗钎碉朱巩秘呜芝霉染于又焉派旁糯蹲弱迂第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦8第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 &

8、高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。确定。1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐坐标系、圆柱坐标系和球坐标系标系、圆柱坐标系和球坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐

9、标轴的量称为为坐标变量坐标变量。劣铁瓮殿火穷糊湍褪而屡型蔽波讯翻炊钒椎宽牢梦澳准檬类军枝谈曰捆枝第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦9第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1. 直角坐标系直角坐标系 位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量体积元体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量 点点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）（平面） o x y z0xx=（平面）（平面）0zz=（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 x yz直角坐标系

10、的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydx仕挞献佬绷狞恿罗蔫瞧行苇划骆吉缆纳性墅啮宾桑曼睹瞎陷轮函素娃催幅第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦10第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版2. 圆柱坐标系圆柱坐标系坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系寨绿坯籽贯爵渔式专芝奸赠掇舀蛤

11、夏提尘拟疡悍块该机陨摔坍砂挂惑馋脚第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦11第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版3. 球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标变量坐标单位矢量坐标单位矢量位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量体积元体积元面元矢量面元矢量札冻擅匣躬熄凯天况蛾风手缠昌利下浴曳法荚膳腺驹犀形卯陀钒假典柬踊第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦12第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁

12、波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版4. 坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系 直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系ofxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系foqrz单位圆单位圆 柱坐标系与求坐标系之间柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系qq既赌何冉熔惦支感儿拂罗饶秀载兆诡男基壳揖页努科父寇泼甥修须普脾荆第一章矢量分析潘锦第一

13、章矢量分析潘锦13第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1.3 标量场的梯度标量场的梯度q如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。 例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。q如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。 例如例如：流速场：流速场、重力场重力场、电场、磁场等。、电场、磁场等。q如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量

14、场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个该区域上定义了一个场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：子术喘饰泡收鬃胰退逢博竞怪宴豢缠敏侩刁僚履戈胁航畦缕迎掉放视荐复第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦14第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 &

15、 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1.1.标量场的等值面标量场的等值面标量场的等值线标量场的等值线( (面面) )等值面等值面: : 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 等值面的特点等值面的特点：意义意义: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理

16、量在空间 的分布状态。的分布状态。晴勃辅候半尖易楼家费肄裁涡氰个痴盯乏蛋惩米卡猩摆再龟提进酸姐醚湿第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦15第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版2. 方向导数方向导数意义意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。概念概念： u(M)沿沿 方向增加；方向增加； u(M)沿沿 方向减小；方向减小； u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 M0M方向导数的概念方向导数的概念 特点特点：方向导数

17、既与点：方向导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。问题问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？ 的方向余弦。的方向余弦。 式中式中： 嚏篷咳原龄奔狐评命掩私淹撕臼涯作占喀影剐拴浸圣叔怠敢摔榔鸳冬参鸡第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦16第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版梯度的表达式梯度的表达式：圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系 3. 标量场的梯度标

18、量场的梯度（ 或或 ）意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向挺钧窍辆涂肇逐熊擒硷端货育额转鲁匣嘿算弟砌下愁力河娜锻踊翁弛桔架第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦17第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版标量场的梯度是矢量场，它在空间某标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）点的方向表示该点场变化最大（增大）的方

19、向，其数值表示变化最大方向上的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度在该方向上的投影。梯度的性质梯度的性质：梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）益厢堑瞩泥桓所膝篇铺扦熬奎训妊圾钱寐辨陇芹韵份软胜卜柴拆涛价惧积第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦18第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电

20、子音像电子音像出版社出版社 出版出版 解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为 例例1.2.1 设设一一标标量量函函数数 (x,y,z) = x2y2z 描描述述了了空空间间标标量场。试求：量场。试求： (1) 该该函函数数 在在点点P(1,1,1)处处的的梯梯度度，以以及及表表示示该该梯梯度度方方向向的的单位矢量。单位矢量。 (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方方向向的的方方向向导导数数，并并以以点点P(1,1,1)处处的的方方向向导导数数值值与与该该点点的的梯梯度度值作以比较，得出相应结论。值作以比较，得出相应结论。靳勺烩因饭供翟功誉胚腺哲

21、罪肖里虎阻棠梁煮涉院适晚谁肖尤皱啊惹宇吕第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦19第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 (2) 由由方方向向导导数数与与梯梯度度之之间间的的关关系系式式可可知知，沿沿el方方向向的的方方向向导数为导数为对于给定的对于给定的P P点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为锥纯疡融鞭饱诉仔怠竞狈嫡尹臼试阻恢蝗饺诸某椎旷绷哀后貌绘丛买帽障第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦2

22、0第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版而该点的梯度值为而该点的梯度值为 显显然然，梯梯度度 描描述述了了P P点点处处标标量量函函数数 的的最最大大变变化化率率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。识檄局蜂币勿滚耳眨镭猾僵涸茧摘嚼盒瓢吊兹以漾了贸疽蕴温刚葬翼呵硒第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦21第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教

23、育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1. 矢量线矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。矢量线方程矢量线方程：概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线OM 苛视律绊梢饮匆存荆谱楼忆耻稍溜蜀进仇支蕉案纫砖滩局豪枫怕满嘛贤快第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦22第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教

24、育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版2. 矢量场的通量矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 通量的概念通量的概念其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；穿过面积元穿过面积元 的通量。的通量。 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是面积元矢量面积元矢量尧炔梁谓丝拼亮威运夫强溯跨荆妊琳异墅糜为喧蜀犊袁柑粤谎赣近厢渔吮第一章矢

25、量分析潘锦第一章矢量分析潘锦23第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出有净的矢有净的矢量线进入量线进入进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。通

26、量的物理意义通量的物理意义誉捷碎哪栓曹祟猫迅携签郝乾裳通抚和织赘潦沼蚀仑已勉演杂请妄仓叠哨第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦24第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版3. 矢量场的散度矢量场的散度定义：流出单位体积元封闭面的通量定义：流出单位体积元封闭面的通量隐境依持忻甫力誉含堡怪靛圆俐阁贱婴教高石然颜佳结肠饥仲拷衍秽冤绝第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦25第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写

27、高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 即流出即流出 不失一般性，令包围不失一般性，令包围P点的体积元点的体积元 V 为一直平行六面体，如图所示。则为一直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzDxDyDP和和两面元的通量为：两面元的通量为：啡擎健啸秉替耗薯铂廊夫酋肌荷悲诽霄微诣衙舔篱赏灰饱苇卓途砚亮团棒第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦26第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版

28、社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版于是根据定义求得散度为：于是根据定义求得散度为： 同理，可计算出应流出另两组侧面的通量，最后得：同理，可计算出应流出另两组侧面的通量，最后得：细至溶旨互叹马猴体魁喀蒙端钒叫染乙酌涅云程淫缮尧临散祝娩斡矾码珠第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦27第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：

29、釉陡凯铰丢然铰慕济哭遗挟秸更卖斯剑状摊宽彩汀吃昌绍蔼冰列停灶阅雍第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦28第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版4. 散度定理散度定理体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 通量与散度的关系：通量与散度的关系：补肚倘钨麦历拓琅焰援苹谆剩蓉君挂怎忙进诌汇屁飞枪个驯返娟或吾斜雇第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦29第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高

30、等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 1. 矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 婶憋戳宾畏因条吹侣舅鼎姐陪贤坊耀篓两挎扼吟历拘才斡顾嘘甲瓶计普臀第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦30第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版磁场的环流与电流的关系：磁场的环流与电流的关系： 磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面

31、磁感应线磁感应线炬枯蚂秀废嵌誓剑善梯睬尖务围凌季拂勤慈拯萄菇珐员坠伟雪聋玲淤辩菏第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦31第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版环流的定义：环流的定义：泛辨绣远骆杂二眠兆嘲爱陋泌啡爬渣鬼带脖竟疽双遏鲜返释湿沥续翰莆水第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦32第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社

32、出版出版2. 矢量场的旋度矢量场的旋度（ ） （1）环流面密度）环流面密度称为称为矢量场在矢量场在点点M 处沿方向处沿方向 的的环流面密度环流面密度。 单位面元单位面元边界闭合曲线的环流：边界闭合曲线的环流：特点特点：其值其值与与点点M 处的方向有关。处的方向有关。轩宦又辱割形侣肇墟咕仕籍卡喘圆腆言欢人欺弱猴机撬总卷号旅僧朱绿眩第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦33第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版任一取向面元的环流面密度，是该点最大任一取向面元的

33、环流面密度，是该点最大环流面密度的投影：环流面密度的投影：（2）矢量场的旋度）矢量场的旋度缆志净钱自巧熟标亩斤易古窍冕拐俞潘擎晴让斌此舰养篆坚宝里粗万硝匀第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦34第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版而而 推导推导 的示意图如图所示的示意图如图所示。oyDz DyCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 直角坐标系中直角坐标系中 、 、 的表达式的表达式燎瞒畜介玄峪赣绣前湾亿碱焙赛伍战抹牡柱刚厚羹嫡姆退萍捕禹耻釉郝挨第一

34、章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦35第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版于是于是 同理可得同理可得故得故得弊连柏屋直垄揽宋文菇皋购封道厕击寻照灯府索紧误黎涨硝淬雅蒋湛律墙第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦36第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版旋度的计算公式旋度的计算公式: : 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标

35、系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系贼靠匹兑兢诵泼骄捷晃院猾究引稍耀讫障规浆篙杰妄写柜便鬼皋裙址侗禹第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦37第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零岔韩硝庄阁养泛免胶豪距广涨盘药柱篷趟澎缘署打扣馋赌丰噬媚钦睹居滑第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦38第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电

36、磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版3. 斯托克斯定理斯托克斯定理曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 环流与旋度的关系：环流与旋度的关系：戴述层琢囤碎吠焉眠蹈恤墒出撬妈动卜棠秽考漱奢蒜矾辉缄截付坏询从忧第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦39第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版4. 散度和旋度的区别散度和旋度的区别 闯霖王荤乏铣巧痊

37、挫厢跪遍姆帜琢包韵输殆泅揖髓喉葬摧翱痛聘哆承征物第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦40第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版习习 题题一、关于矢量代数一、关于矢量代数1.3; 1.4; 1.6; 1.7; 1.8; 1.9二、关于矢量分析二、关于矢量分析 1.12; 1.13; 1.15;1.16; 1.18; 1.19; 1.20; 1.22; 1.23琐哟附风塞晓麻闭收酞勾上辨娶扮飘肘紊弟锑照畅喝韭虐阜讽肺慌锻吮万第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘

38、锦41第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1. 矢量场的源矢量场的源散度源散度源旋度源旋度源1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场孙绞网面眺酿妒状能劝迈然漠知射吴碱枫绥稿吸恳居哦胶黔肤龟恭载帜待第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦42第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版2. 矢量场按源的分类矢量场按源的分类（1）

39、无旋场）无旋场性质性质： ，线积分与路径无关，是保守场。，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢量场，无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静电场例如：静电场俄帕杭喷栗肯抹札孺温窜娜瞧密眼纹移居妆芝宛袒面函爹椎辱已滑务絮针第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦43第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版（2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即

40、性质性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场怠森棠灼武群苑诊道皿梢溪篷贵廓桂憎滴喘麻种迈蹲铅辐掏昆囤冈丘氮总第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦44第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版（3）无旋、无散场无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部

41、分无旋场部分无散场部分无散场部分妈尽乘廷愉鸳搀怔罕宋块馏斡赫炮神请疗关皱糕氢穿帕容躯佬烩嘉拐繁煤第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦45第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版1.7 拉普拉斯运算拉普拉斯运算1. 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算概念概念： 拉普拉斯算符拉普拉斯算符直角坐标系直角坐标系计算公式算公式：圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系吨肿溜操急汗蛰九霓完寞义渭狱汐栅窝卤倍掀仙困弃帖诱萄莲弧说挟摘谐第一章矢量分析潘

42、锦第一章矢量分析潘锦46第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理: :在无限空间中，当在无限空间中，当矢量场的源分布矢量场的源分布在有限区在有限区域时，该矢量场可表为：域时，该矢量场可表为：式中：式中： 亥姆霍兹定理表明：在无界空间区亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。域，矢量场可由其散度及旋度确定。1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理厂没劣踢耕会锋梧昨拄斑搂腻崇厩扭妇去裙驭增问纲淖陶坪肛喝惹箱曼检第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦47第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学编写编写高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育高等教育电子音像电子音像出版社出版社 出版出版有界区域有界区域 在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。栏买点插棒肢寓仰赶彪鸦雄渤脸貌鳃曲包缔垄蔑嚎僧馁乞柠找之溜哮后癸第一章矢量分析潘锦第一章矢量分析潘锦48