《《矩阵的标准形》PPT课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《矩阵的标准形》PPT课件（68页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、同济大学数学系同济大学数学系 2009-3-222009-3-22第第3 3章章 矩阵的标准形矩阵的标准形武汉理工大学理学院3.1 一元多项式一元多项式定定义. .设 n 是一个非是一个非负整数，表达式整数，表达式 23则称则称 f(x)与与 g(x)相等相等，记作，记作 f(x)= g(x)。若其同次项的系数都相等，即若其同次项的系数都相等，即定义定义. .4多项式加法多项式加法为了方便起见，设为了方便起见，设5运算规律运算规律:6数乘多项式数乘多项式运算规律运算规律:7多项式乘法多项式乘法其中其中k 次次项的系数是的系数是8运算规律运算规律:9定理定理3.1.1（带余除法）（带余除法）设设
2、 f(x)和和 g(x)是数域是数域 F 上的多项式，上的多项式，并且并且q(x)和和 r(x)是唯一的，是唯一的， 带余除法带余除法且且 g(x) 0，则必存在多项式，则必存在多项式 q(x)和和 r(x) ，使得，使得若若r(x)=0，则称，则称 g(x)是是 f(x)的因式，的因式， f(x)是是 g(x)的倍式，的倍式， 也称也称 g(x)能整除能整除 f(x)，并记作，并记作 g(x)| | f(x)。10例例3.1.1设 f(x)和和 g(x) 是有理数域是有理数域 F上的两个多上的两个多项式式 求求满足等式足等式 的多的多项式式 11123.2 因式分解定理因式分解定理若若h(x
3、)既是既是 f(x)的因式，又是的因式，又是 g(x)的因式，的因式，则称则称h(x)为为 f(x)与与 g (x)的一个公因式。的一个公因式。 定义定义. . 若若h(x)既是既是 f(x)的倍式，又是的倍式，又是 g(x)的倍式，的倍式，则称则称h(x)为为 f(x)与与 g (x)的一个公倍式。的一个公倍式。 则称则称 d(x)为为 f(x)和和 g(x) 的一个的一个最大公因式最大公因式。则称则称 d(x)为为 f(x)和和 g(x) 的一个的一个最小公倍式最小公倍式。，并且满足并且满足: :，并且满足并且满足: :14不可约多项式不可约多项式定义定义. . 设设 ，若，若 在数域在数
4、域F上只有平凡因式，上只有平凡因式，则称则称 为域为域 F上的不可约多项式，上的不可约多项式，否则，称否则，称 为域为域F上的可约多项式。上的可约多项式。 注意：注意：(1) 一次多项式总是不可约多项式；一次多项式总是不可约多项式； (2) 多项式的不可约性与其所在系数域密切相关。多项式的不可约性与其所在系数域密切相关。 例如，例如，15因式分解唯一性定理因式分解唯一性定理 定理定理. 数域数域F上任一个次数不小于上任一个次数不小于1的多项式的多项式 f(x)都可以都可以唯一地分解成数域唯一地分解成数域F上有限个不可约多项式的乘积。上有限个不可约多项式的乘积。 其唯一性是指，若有两个分解式其唯
5、一性是指，若有两个分解式 则则 s = t , 并且经过对因式的适当排序后有并且经过对因式的适当排序后有 其中其中 为非零常数。为非零常数。 16称为称为标准分解式标准分解式。 分解式分解式其中其中a 是是 f(x)的首的首项系数，系数， 是首项系数为的是首项系数为的不可约多项式，而不可约多项式，而 是正整数是正整数17复系数多项式的因式分解定理：复系数多项式的因式分解定理： 因式分解定理因式分解定理 次数次数不小于不小于1的复系数多的复系数多项式在复数域上式在复数域上可唯一地分解成一次因式的乘可唯一地分解成一次因式的乘积。 标准分解式为标准分解式为 复系数多项式复系数多项式的的其中其中 是正
6、整数，且是正整数，且 18实系数多项式的因式分解定理：实系数多项式的因式分解定理： 次数次数不小于不小于1的的实系数多系数多项式在式在实数域上数域上可唯一地分解成一次因式可唯一地分解成一次因式和二次不可约因式和二次不可约因式的乘的乘积。 标准分解式为标准分解式为 实系数多项式实系数多项式的的其中其中 和和 是正整数，且是正整数，且 的标准分解式。的标准分解式。例例 求求 在在实数域上数域上的标准分解式的标准分解式: 在复数域上在复数域上的标准分解式的标准分解式: Problem：n矩阵矩阵A到底和一个多简单的矩阵相似？到底和一个多简单的矩阵相似？Solution：n理想情况下：理想情况下：A为
7、对角形为对角形 n并非所有的矩阵都可以对角化并非所有的矩阵都可以对角化 Jordan标准形理标准形理论。论。Jordan标准形的应用标准形的应用: 微分方程组的解微分方程组的解3.3 矩矩阵的阵的Jordan标准形标准形 Jordan 块块: 形如形如的的 ni 阶矩阵称为阶矩阵称为 ni 阶阶Jordan 块。块。分块对角阵分块对角阵称为称为 Jordan标准形标准形Jordan标准形标准形 定理定理：任何任何n阶复方阵阶复方阵A 都和一个都和一个Jordan标准形相似标准形相似即存在可逆阵即存在可逆阵P，和，和 Jordan标准形标准形使得使得Jordan标准形基本理论标准形基本理论求矩阵
8、的求矩阵的Jordan标准形的方法标准形的方法(I)(I)求矩阵的求矩阵的Jordan标准形的方法标准形的方法(I)(I)(1)行列式因子行列式因子(Determinate divisor)(2) 计算行列式因子的步骤：计算行列式因子的步骤：Step1Step2Remark.例例不变因子不变因子( (Invariant divisor) )(3)Remark.例例30(3)定义：设定义：设 A(l l)的的 各阶各阶不变因子在复数域的标准分解式不变因子在复数域的标准分解式初等因子初等因子称指数称指数 为为A(l l)的初等的初等因子。因子。Remark.来自不同的不变因子的一次因式的方幂不能合
9、并来自不同的不变因子的一次因式的方幂不能合并.例例的初等因子的初等因子:初级因子与初级因子与Jordan块的关系块的关系对于对于ni阶的阶的Jordan块，我们有：块，我们有：初级因子与初级因子与Jordan块的关系块的关系(4)例例例例 设设 求矩阵求矩阵 A 的的 Jordan标准形。标准形。初等因子初等因子组:363.4 l l 阵的标准形阵的标准形 定义定义. 元素是元素是 l l 的多项式的矩阵称为的多项式的矩阵称为l l 矩阵，记作矩阵，记作A(l l )例如例如定义定义. 设设l l 矩阵矩阵 A(l l), B(l l) 满足满足称称 A(l l )为可逆的为可逆的l l 矩阵
10、，且矩阵，且B(l l )为为A(l l )的逆。的逆。显然，显然， A(l l )可逆可逆38定义定义. l l 矩阵的初等变换矩阵的初等变换39定义定义: : 若若l l 矩阵矩阵 A(l l) 经过若干次初等变经过若干次初等变换变为换变为B(l l)，l l 矩阵的等价矩阵的等价则称则称 A(l l)与与B(l l) 等价等价，记作，记作40定理：设定理：设 A(l l) 为为 mn 阶阶l l 矩阵矩阵，则则A(l l)等价于分块等价于分块 对角阵对角阵 称为称为 A(l l) 等价标准形，等价标准形，其中其中并且并且 首项系数为首项系数为 1，l l 矩阵的等价标准形矩阵的等价标准形
11、例：例： 求求l l 矩阵的等价标准形矩阵的等价标准形414243l l 矩阵的秩矩阵的秩定义：定义：l l 矩阵矩阵A(l l)的不恒为零的子式的最高阶数的不恒为零的子式的最高阶数显然，等价的显然，等价的 l l 矩阵矩阵有相同的秩。有相同的秩。称为称为A(l l)的秩。的秩。事实上，事实上，l l 矩阵的初等变换不会改变矩阵的初等变换不会改变其其子式子式恒为零与否恒为零与否的状态，也就的状态，也就不会改变其不会改变其不恒为零子式不恒为零子式最高阶数最高阶数。例如，例如，A 为为 n 阶数字方阵，则阶数字方阵，则不恒为零，故不恒为零，故的秩为的秩为 n 。行列式因子行列式因子定义：定义：l
12、l 矩阵矩阵A(l l)的所有的所有 k 阶子式的首阶子式的首1最大公因最大公因式称为式称为A(l l)的的 k 阶阶行列式因子，记作行列式因子，记作Dk(l l)定理：等价的定理：等价的 l l 矩阵矩阵有相同的各有相同的各阶阶行列式因子行列式因子。事实上，事实上，初等变换不会改变初等变换不会改变 A(l l)各阶各阶子式子式的最大公因式的最大公因式也就也就不会改变其各不会改变其各阶行列式因子阶行列式因子。46例：求例：求A(l l)的等价标准形的等价标准形的各的各阶阶行列式因子行列式因子。依依行列式因子的定义：行列式因子的定义：47不变因子和初等因子不变因子和初等因子定义：设定义：设 为为
13、l l 矩阵矩阵 A(l l)的的k 阶阶行列式因子，行列式因子，定理：等价的定理：等价的 l l 矩阵矩阵有相同的各有相同的各阶阶不变因子不变因子。称为称为A(l l)的的 k 阶阶不变因子。不变因子。定理：等价的定理：等价的 l l 矩阵矩阵有相同的初等有相同的初等因子因子。48定理：定理：l l 矩阵矩阵的等价标准形是唯一的，的等价标准形是唯一的，我们称之为我们称之为Smith标准形标准形.注意到，注意到，A(l l)的的等价标准形中等价标准形中D(l l)的对角元是的对角元是A(l l)的的各各阶不变因子。阶不变因子。求矩阵的求矩阵的Jordan标准形的方法标准形的方法（IIII）50
14、例例2 设设求矩阵求矩阵 A 的并求的并求Jordan标准形标准形解：解：54求矩阵的求矩阵的Jordan标准形标准形J，并求可逆阵，并求可逆阵P, 使使例例 设设（P.61例例3.1.6）55解：解：A的的Jordan标准形为标准形为565758定义：设定义：设 A 为为 n 阶方阵，若多项式阶方阵，若多项式 满足满足则称则称 j j ( (l l) ) 为为 A 的零化多项式。的零化多项式。3.5 矩矩阵的阵的最小多项式最小多项式定理：定理：( Hamilton-Cayley )设设 A 为为 n 阶方阵，则阶方阵，则 A 的特征多项式的特征多项式为为 A 的零化多项式。的零化多项式。哈密
15、顿（哈密顿（哈密顿（哈密顿（HamiltonHamilton，William Rowan)William Rowan)爱尔兰人爱尔兰人爱尔兰人爱尔兰人哈密顿自幼聪明，被称为神童他哈密顿自幼聪明，被称为神童他哈密顿自幼聪明，被称为神童他哈密顿自幼聪明，被称为神童他3 3岁英语已读得非常好，岁英语已读得非常好，岁英语已读得非常好，岁英语已读得非常好，4 4岁时是不错的地理学者；岁时是不错的地理学者；岁时是不错的地理学者；岁时是不错的地理学者；5 5岁时能阅读和翻译拉丁语、希岁时能阅读和翻译拉丁语、希岁时能阅读和翻译拉丁语、希岁时能阅读和翻译拉丁语、希腊语和希伯来语，喜欢用希腊语朗诵荷马史诗；腊语和
16、希伯来语，喜欢用希腊语朗诵荷马史诗；腊语和希伯来语，喜欢用希腊语朗诵荷马史诗；腊语和希伯来语，喜欢用希腊语朗诵荷马史诗；8 8岁掌握岁掌握岁掌握岁掌握了意大利语和法院，觉得英语过于平庸，用拉丁文的六韵了意大利语和法院，觉得英语过于平庸，用拉丁文的六韵了意大利语和法院，觉得英语过于平庸，用拉丁文的六韵了意大利语和法院，觉得英语过于平庸，用拉丁文的六韵步诗体；步诗体；步诗体；步诗体；1010岁不到开始学习阿拉伯语、梵语、波斯语；同岁不到开始学习阿拉伯语、梵语、波斯语；同岁不到开始学习阿拉伯语、梵语、波斯语；同岁不到开始学习阿拉伯语、梵语、波斯语；同时学习马来语、孟加拉语、古叙利亚语时学习马来语、孟
17、加拉语、古叙利亚语时学习马来语、孟加拉语、古叙利亚语时学习马来语、孟加拉语、古叙利亚语. .；他即将学习；他即将学习；他即将学习；他即将学习汉语，但是太难搞到书。汉语，但是太难搞到书。汉语，但是太难搞到书。汉语，但是太难搞到书。1414岁时，因在都柏林欢迎波斯大岁时，因在都柏林欢迎波斯大岁时，因在都柏林欢迎波斯大岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头主要贡献：力学、数学、光学主要贡献：力学、数学、光学主要贡献：力学、数学、光学主要贡献：力学、数学、光学Hamilton， 1805-1865定义：设定义：设 A 为为 n 阶方阵，则称阶方阵，则称 A 的次数最低的的次数最低的零化多项式为零化多项式为 A 的最小多项式，的最小多项式，记作记作62最小多项式的性质：设最小多项式的性质：设 A 为为 n 阶方阵，则阶方阵，则例例 设设，求矩阵，求矩阵 A 的最小多项式。的最小多项式。解：解： A 的特征多项式为的特征多项式为则则 A 的最小多项式只可能是的最小多项式只可能是由于由于(A-2E)(A-3E)=0，知，知A的最小多项式为的最小多项式为例例 设设求矩阵求矩阵 A 的的Jordan标准形及最小多项式。标准形及最小多项式。68初等因子初等因子组:
