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1、高 等 代 数 6.2 线性空间的定义与简单性质第二节第二节 线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质第六章第六章 线性空间线性空间Linear Space6.2 线性空间的定义与简单性质一、线性空间的概念一、线性空间的概念定义定义 1 设设 V 是一个非空集合是一个非空集合 , P 是一个数域是一个数域 .在集合在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法加法； 这就是说，给出了一个法则，对于这就是说，给出了一个法则，对于 V 中任中任意两个元素意两个元素 与与 ，在，在 V 中都有唯一的一个元素中都有唯一的一个元素 与它们对应，称为与它们对应
2、，称为 与与 的和，记为的和，记为 = + .在数域在数域 P 与集合与集合 V 的元素之间还定义了一种运算的元素之间还定义了一种运算 ,叫做叫做数量乘法数量乘法；这就是说，对于数域这就是说，对于数域 P 中任一中任一数数 k 与与 V 中任一元素中任一元素 ，在，在 V 中都有唯一的一个中都有唯一的一个6.2 线性空间的定义与简单性质元素元素 与它们对应，称为与它们对应，称为 k 与与 的数量乘积，记的数量乘积，记 = k . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那如果加法与数量乘法满足下述规则，那么么 V 称为数域称为数域 P 上的线性空间上的线性空间.加法满足下面四条规则：加法满足下面四条规
3、则：1) ；2) ( ) ( )；3) 在在 V 中有一个元素中有一个元素 0，对于，对于 V 中任一元素中任一元素 都有都有 + 0 = (具有这个性质的元素具有这个性质的元素 0 称为称为 V 的的零元素零元素) ；6.2 线性空间的定义与简单性质4) 对于对于 V 中每一个元素中每一个元素 ，都有，都有 V 中的元素中的元素 ，使得，使得 + = 0( 称为称为 的的负元素负元素) .数量乘法满足下面两条规则：数量乘法满足下面两条规则：5) 1 = ；6) k( l ) = ( kl ) .数量乘法与加法满足下面两条规则：数量乘法与加法满足下面两条规则：7) ( k + l ) = k
4、+ l ;8) k( + ) = k + k .6.2 线性空间的定义与简单性质在以上规则中，在以上规则中，k , l 表示数域表示数域 P 中的任意数中的任意数 ; , , 等表示集合等表示集合 V 中任意元素中任意元素.线性空间的元素也称为线性空间的元素也称为向量向量. 当然，这里所谓当然，这里所谓向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多. 线性空线性空间有时也称为间有时也称为向量空间向量空间.一般用小写的希腊字母一般用小写的希腊字母 , , , 表示线性空间表示线性空间 V 中的元素，用小写的中的元素，用小写的拉丁字母拉丁字母 a, b, c, 表示数域表
5、示数域 P 中的数中的数.6.2 线性空间的定义与简单性质 注注 向量空间的定义可简单记为向量空间的定义可简单记为 “1128 ” ，即一个数域即一个数域 P，这是基础域；，这是基础域； 一个集合一个集合； 两个两个运算，又叫做线性运算；八条规则，其中前四条是运算，又叫做线性运算；八条规则，其中前四条是加法的运算律，这时称加法的运算律，这时称对加法做成一个加群，第对加法做成一个加群，第五、六条是数量乘法算律，五、六条是数量乘法算律， 最后两条是分配律，表最后两条是分配律，表示两种运算之间的联系示两种运算之间的联系.6.2 线性空间的定义与简单性质 例例 1 在解析几何中，在解析几何中， 平面或
6、空间中一切向量平面或空间中一切向量组成的集合组成的集合 V, 对于向量的加法及实数与向量的乘对于向量的加法及实数与向量的乘法法, 构成实数域上的一个线性空间构成实数域上的一个线性空间. 例例 3 全体定义在区间全体定义在区间 a,b上的连续函数组上的连续函数组成的集合成的集合V, 对于函数的加法及实数与连续函数的对于函数的加法及实数与连续函数的乘法乘法, 构成实数域上的一个线性空间构成实数域上的一个线性空间. 用用 C a,b 表示表示. 例例 2 全体全体 n 维实向量组成的集合维实向量组成的集合 V, 对于向对于向量的加法及实数与向量的乘法量的加法及实数与向量的乘法, 构成实数域上的构成实
7、数域上的一个线性空间一个线性空间.6.2 线性空间的定义与简单性质 例例 4 数域数域 P 上一元多项式环上一元多项式环 P x ， 按通常按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成数域的多项式加法和数与多项式的乘法，构成数域 P 上上的一个线性空间的一个线性空间. 如果只考虑其中次数小于如果只考虑其中次数小于 n 的多的多项式，再添上零多项式也构成数域项式，再添上零多项式也构成数域 P 上的一个线性上的一个线性空间，用空间，用 P x n 表示表示. 但是，数域但是，数域 P 上的上的 n 次多次多项式集合对同样的运算不构成线性空间，因为两个项式集合对同样的运算不构成线性空间，因为两个 n
8、次多项式的和可能不是次多项式的和可能不是 n 次多项式次多项式.6.2 线性空间的定义与简单性质例例 5 全体数域全体数域 P 上的上的 m n 矩阵组成的集合矩阵组成的集合V，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数域域 P 上的一个线性空间，用上的一个线性空间，用 P m n 表示表示.例例 6 全体实函数，按函数的加法和数与函数全体实函数，按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成实数域上的一个线性空间的数量乘法，构成实数域上的一个线性空间.例例 7 数域数域 P 按照本身的加法与乘法，即构成按照本身的加法与乘法，即构成自身上的一个线性空间自身上的一
9、个线性空间.6.2 线性空间的定义与简单性质例例 8 全体数域全体数域 P 上的上的 2 维向量组成的集合维向量组成的集合V ,定义数与向量的数量乘法如下定义数与向量的数量乘法如下:k (a, b) = ( ka，0) ,对于通常的向量加法及以上定义的数与向量的数量对于通常的向量加法及以上定义的数与向量的数量乘法不构成数域乘法不构成数域 P 上的线性空间上的线性空间. 事实上事实上 , 当当 b0 时时 1 (a, b) = ( 1a，0) = ( a，0) (a, b) .6.2 线性空间的定义与简单性质 注注 例例 8 中集合中集合 V 满足线性空间定义中的其满足线性空间定义中的其他七条公
10、理他七条公理, 可见第五条虽然比较简单可见第五条虽然比较简单, 但是不可但是不可由其他七条推出由其他七条推出. 在在 8 条公理中只有第一条加法满足交换律不条公理中只有第一条加法满足交换律不是独立的是独立的. 证明证明 2( )2 2 (11) (11) (1 1 )(1 1 )( )( ) ( ) , 6.2 线性空间的定义与简单性质 2( ) (11)( ) ( )( ) ( ) , . 证毕证毕6.2 线性空间的定义与简单性质二、线性空间的简单性质二、线性空间的简单性质1. 零向量是唯一的零向量是唯一的.证明证明假设假设 01，02 是线性空间是线性空间 V 中的两个零中的两个零向量向量
11、.于是于是01 = 01 + 02 = 02 .证毕证毕故零向量是唯一的故零向量是唯一的.6.2 线性空间的定义与简单性质2. 任意向量的负向量是唯一的任意向量的负向量是唯一的.假设假设 有两个负向量有两个负向量 与与 ， + = 0， + = 0 .那么那么 证毕证毕向量向量 的负向量记为的负向量记为 - .证明证明则则= + 0= .= + ( + )=( + )+ = 0 + 利用负向量，定义利用负向量，定义减法减法如下：如下： - = + ( - ) .6.2 线性空间的定义与简单性质3. 0 = 0 ; k0 = 0 ; (-1) = - .证明证明 + 0 = 1 + 0 = (1 + 0) = 1 0 = 0 . (-1) + = (-1) + 1 =(-1) + 1 = 0 =0 ,所以所以(-1) = - .所以所以证毕证毕= .所以所以k0 + k = k (0 + ) = k k0 = 0 .6.2 线性空间的定义与简单性质4. 如果如果 k =0，那么那么 k = 0 或者或者 = 0 .证明证明 假设假设 k 0，于是，于是k -1( k )从而从而1 = 0 ，证毕证毕= 0 .= k -10(k -1k) = 0， = 0 .即即6.2 线性空间的定义与简单性质
