《7.2.2用坐标表示平移(2013新版人教版)课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《7.2.2用坐标表示平移(2013新版人教版)课件（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7.2.2用坐用坐标表示平移表示平移(2013新版人新版人教版教版)课件件体验，回顾体验，回顾1 1 什么叫做平移？什么叫做平移？2 2 平移后得到的新图形与原图形有平移后得到的新图形与原图形有什么关系？什么关系？把一个图形整体沿某一方向移动一把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移。定的距离，图形的这种移动，叫做平移。平移后图形的位置改变，形状、大小平移后图形的位置改变，形状、大小不变。不变。2021/5/222一一 .探索图形平移与点的坐标变化探索图形平移与点的坐标变化间的关系间的关系 1. 观察观察 将吉普车从点将吉普车从点A(-2,-3)向右平移向右平移5个单位
2、长度，个单位长度，它的坐标是它的坐标是 。把吉普车从点把吉普车从点A向上向上平移平移4个单位长度呢？个单位长度呢？ 21-1-2-3-4-2241234-1-2-3-412-1-2-3xy21-1-2-3-4-2241234-1-2-3-412-1-2-3xy0(3,-(3,-3)3)(-2,1)(-2,1)A A2021/5/223 如图如图, ,将点将点A(A(2, 2, 3)3)向右平移向右平移5 5个单位长度个单位长度, ,得到点得到点A A1 1, ,在图上标出这个点在图上标出这个点, ,并写出它的坐标并写出它的坐标. .把点把点A A向左平移向左平移2 2个单位呢个单位呢? ?点的
3、平移点的平移x xy yO O1 1 2 2 3 3 4 42 24 41 13 3-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5-1-1-2-2-3-3-4-4-5-55 5-6-6A A1 1(3,(3,3)3)A A( (2,2,3)3)A A2 2( (4,4,3)3)( (2,2,3)3)右平移右平移5 5个单位个单位(3,(3,3)3)横坐标加横坐标加5 5( (2,2,3)3)左平移左平移2 2个单位个单位( (4,4,3)3)横坐标减横坐标减2 22021/5/224在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，将点（将点（x，y）向右向右平移平移a个单位长度，对个单位长度，对应点的横坐标
4、应点的横坐标 a ，而纵坐标不变，而纵坐标不变，即坐标变为即坐标变为 。加上加上将点（将点（x，y）向左向左平移平移a个单位长度，对个单位长度，对应点的横坐标应点的横坐标 a ，而纵坐标不变，而纵坐标不变，即坐标变为即坐标变为 。（x+a，y）（x-a，y）减去减去2021/5/225 如图如图, ,将点将点A(A(2, 2, 3)3)向上平移向上平移6 6个单位长度个单位长度, ,得到点得到点A A3 3, ,在图上标出这个点在图上标出这个点, ,并写出它的坐标并写出它的坐标. .点的平移点的平移x xy yO O1 1 2 2 3 3 4 42 24 41 13 3-1-1-2-2-3-3
5、-4-4-5-5-1-1-2-2-3-3-4-4-5-55 5-6-6A A( (2,2,3)3)把点把点A A向下平移向下平移4 4个单位呢个单位呢? ?A A3 3( (2,3)2,3)A A4 4( (2,2,7)7)( (2,2,3)3)上平移上平移6 6个单位个单位( (2, 3)2, 3)纵坐标加纵坐标加6 6( (2,2,3)3)下平移下平移4 4个单位个单位( (2,2,7)7)纵坐标减纵坐标减4 42021/5/226在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，将点（将点（x，y）向下向下平移平移a个单位长度，对个单位长度，对应点的纵坐标应点的纵坐标 a ，而横坐标不变，而横坐标
6、不变，即坐标变为即坐标变为 。减去减去将点（将点（x，y）向上向上平移平移a个单位长度，对个单位长度，对应点的纵坐标应点的纵坐标 a ，而横坐标不变，而横坐标不变，即坐标变为即坐标变为 。（x，y-a）（x，y+a）加上加上2021/5/227口口 诀诀上下平移上下平移左右平移左右平移上加下减上加下减横不变横不变左减右加左减右加纵不变纵不变2021/5/228在平面直角坐标系中，有一点（在平面直角坐标系中，有一点（1 1，3 3），要使它），要使它平移到点（平移到点（-2-2，-2-2），应怎样平移？说出平移的），应怎样平移？说出平移的路线。路线。- 5- 4 - 3- 2- 7- 61 2
7、3 4 5 6 701234567xy- 5- 4- 3- 2- 7- 6- 1- 1先向左平移个单位先向左平移个单位长度再向下平移个长度再向下平移个单位长度单位长度2021/5/2291.1.将点将点A A（3 3，2 2）向上平移）向上平移2 2个单位长度个单位长度, ,得到得到A,A,则则AA的坐标为的坐标为_._.2.2.将点将点A A（3 3，2 2）向下平移）向下平移3 3个单位长度个单位长度, ,得到得到A,A,则则AA的坐标为的坐标为_._.3.3.将点将点A A（3 3，2 2）向左平移）向左平移4 4个单位长度个单位长度, ,得到得到A,A,则则AA的坐标为的坐标为_._.
8、4.4.将点将点A A（3 3，2 2）向右平移向右平移2 2个单位长度个单位长度, ,得到得到A,A,则则AA的坐标为的坐标为_._.(3,4)(3,-1)(-1,2)(5,2)2021/5/2210 已知点已知点A(3A(3，2),2),将点将点A A先向右平移先向右平移2 2个单位长度个单位长度, ,再向上平移再向上平移5 5个单位长度个单位长度, ,得到得到A,A,则则AA的坐标为的坐标为_._.(5,7)(5,7)横纵坐标都要横纵坐标都要发生变化发生变化2021/5/22111 1、点、点P P（2 2，-1-1）向左平移）向左平移3 3个单位长个单位长度得点度得点Q Q的坐标为的坐
9、标为 . .2 2、点、点P P（2 2，-1-1）向上平移）向上平移2 2个单位长个单位长度得点度得点Q Q的坐标为的坐标为 . .3 3、点、点P P（2 2，-1-1）向右平移）向右平移3 3个单位长个单位长度，再向下平移度，再向下平移2 2个单位长度得点个单位长度得点Q Q的的坐标为坐标为 . .(-1,-1 )(-1,-1 )( 2,1 )( 2,1 )( 5,-3 )( 5,-3 )2021/5/22121.1.把点把点M M（1 1，2 2）平移后得到点）平移后得到点N N（1 1，-2-2） 则平移的过程是：则平移的过程是：向下平移向下平移4 4个单位个单位2.2.把点把点M
10、M（-3-3，1 1）平移后得到点）平移后得到点N N（-1-1，4 4） 则平移的过程是：则平移的过程是：向右平移向右平移2 2个单位，再向上平移个单位，再向上平移3 3个单位个单位或：向上平移或：向上平移3 3个单位，再向右平移个单位，再向右平移2 2个单位个单位2021/5/22131.1.将点将点P P（0 0，-2-2）向左平移）向左平移2 2个单位，个单位， 再向上平移再向上平移4 4个单位得点个单位得点Q(x,y)Q(x,y)，则，则 xy= xy= -4-42.2.将点将点P P（m,1m,1）向右平移）向右平移5 5个单位个单位长度，得到点长度，得到点Q Q（3 3，1 1）
11、，则点），则点P P坐标为坐标为（-2-2，1 1）2021/5/22142.将点将点P（m+2,2m+4)向右平移向右平移1个单位得个单位得到到P，且，且P在在y轴上，那么轴上，那么P坐标是（坐标是（ ）A.(-2,0) B.(0,-2) C.(1,0) D.(0,1)B1.将点将点M（a,b)向左平移向左平移2个单位长度，个单位长度，再向下平移再向下平移3个单位长度后，其坐标变个单位长度后，其坐标变为（为（1，-6），则），则a=( ),b=( ).3-32021/5/22151.1.已知线段已知线段 MN=4 MN=4，MNyMNy轴，若点轴，若点M M坐标坐标 为为(-1,2)(-1,
12、2)，则，则N N点坐标为点坐标为同类变式：同类变式：已知线段已知线段 MN=4 MN=4，MNxMNx轴，若点轴，若点M M坐标坐标为为(-1,2)(-1,2)，则，则N N点坐标为点坐标为 （-1-1，-2-2）或（）或（-1-1，6 6）（3 3，2 2）或（）或（-5-5，2 2）2021/5/2216小结小结点点(x,y)向右平移向右平移a(x+a,y)向左平移向左平移a(x-a,y)向向上上平平移移a(x,y+a)向向下下平平移移a(x,y-a)左右平移左右平移左减右加左减右加纵不变纵不变上上下下平平移移上上加加下下减减横横不不变变2021/5/2217图形的平移图形的平移2021
13、/5/2218 如图，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A（-2，4），B（-2，3），C（-1，3），D（-1，4），将正方形ABCD向下平移7个单位长度，再向右平移8个单位长度，两次平移后四个顶点相应变为点E，F，G，H（1）点E，F，G，H的坐标分别是什么？点E，F，G，H的坐标分别是：（6，-3），（6，-4），（7，-4），（7，-3）2021/5/2219 如图，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A（-2，4），B（-2，3），C（-1，3），D（-1，4），将正方形ABCD向下平移7个单位长度，再向右平移8个单位长度，两次平移后四个顶点相应变为点E，F，G，H（2）如果直接平移正
14、方形ABCD，使点A移到点E，它和我们前面得到的正方形位置相同吗？若直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它就和我们前面得到的正方形位置相同 一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到. . 对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图示上的点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图示上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样
15、的平移的平移2021/5/2220图形的平移图形的平移例例1. 1.如图如图, ,三角形三角形ABCABC三个顶点的坐标分别是三个顶点的坐标分别是A(4,3)A(4,3)、B(3,1)B(3,1)、C(1,2). C(1,2). (1) (1) 若将三角形若将三角形ABCABC向左平向左平移移6 6个单位个单位, ,请画出平移后的请画出平移后的三角形三角形, ,并写出并写出A A、B B、C C的对的对应点的坐标应点的坐标; ;ABCACBC”B”xyO1 2 3 424135-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5A” (2) (2) 若将三角形若将三角形ABCABC向下平向下平移移5 5个
16、单位个单位, ,请画出平移后的请画出平移后的三角形三角形, ,并写出并写出A A、B B、C C对应对应顶点的坐标顶点的坐标; ;(-2,3)(-3,1)(-5,2)(4,-2)(3,-4)(1,-3)在此图形平移在此图形平移中中对应点对应点的坐的坐标有何关系标有何关系? ?在此平在此平移中移中对对应点应点的的坐标有坐标有何关系何关系? ?(4,3)(3,1)(1,2)2021/5/2221图形的平移图形的平移反过来反过来, ,从图形上所有的点的坐标的某种变化从图形上所有的点的坐标的某种变化; ;我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移, ,例例1.1.
17、如图如图, ,三角形三角形ABCABC三个顶点的坐标分别是三个顶点的坐标分别是A(4,3)A(4,3)、B(3,1)B(3,1)、C(1,2).C(1,2). (1) (1) 若将三角形若将三角形ABCABC三个顶点的三个顶点的横坐标都减去横坐标都减去6,6,纵坐标不变纵坐标不变, ,分别分别得到点得到点A A1 1、B B1 1、C C1 1, ,依次连接得到依次连接得到三角形三角形A A1 1B B1 1C C1 1 , ,它与原三角形它与原三角形ABCABC的大小、位置有什么关系的大小、位置有什么关系? ?ABCA1C1B1xyO1 2 3 424135-1-2-3-4-5-1-2-3-
18、4-5(-2,3)(-3,1)(-5,2)三角形三角形ABCABC的大小、形状完全的大小、形状完全相同相同, ,三角形三角形A A1 1B B1 1C C1 1可以看作将可以看作将三角形三角形ABCABC向左平移向左平移6 6个单位得个单位得到到. .2021/5/2222图形的平移图形的平移反过来反过来, ,从图形上所有的点的坐标的某种变化从图形上所有的点的坐标的某种变化; ;我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移, ,例例1. 1.如图如图, ,三角形三角形ABCABC三个顶点的坐标分别是三个顶点的坐标分别是A(4,3)A(4,3)、B(3,1)B
19、(3,1)、C(1,2). C(1,2). (2) (2) 若将三角形若将三角形ABCABC三个顶点的三个顶点的纵坐标都减去纵坐标都减去5,5,横坐标不变横坐标不变, ,分别分别得到点得到点A A2 2、B B2 2、C C2 2, ,依次连接得到依次连接得到三角形三角形A A2 2B B2 2C C2 2, ,它与原三角形它与原三角形ABCABC的的大小、位置有什么关系大小、位置有什么关系? ?ABCxyO1 2 3 424135-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5A A2 2的纵坐标的纵坐标:3-5=-2:3-5=-2B B2 2的纵坐标的纵坐标:1-5=-4:1-5=-4C C2 2
20、的纵坐标的纵坐标:2-5=-3:2-5=-3三角形三角形ABCABC大小、形状完全大小、形状完全相同相同, ,三角形三角形A A2 2B B2 2C C2 2可以看可以看作将三角形作将三角形ABCABC向下平移向下平移5 5个单位得到个单位得到. .C2B2A2(4,-2)(3,-4)(1,-3)2021/5/2223如果将三角形三个顶点的横坐标都加如果将三角形三个顶点的横坐标都加3，纵坐标不变，纵坐标不变，三角形三角形A1 B1C1可以看作将三角形可以看作将三角形A BC向右平移向右平移3个单位长度得到的；个单位长度得到的；如果将三角形三个顶点的纵坐标都加如果将三角形三个顶点的纵坐标都加2，
21、横坐标不变，横坐标不变，三角形三角形A1 B1C1可以看作将三角形可以看作将三角形A BC向上平移向上平移2个单位长度得到的；个单位长度得到的；（2）如果将三角形三个顶点的横坐标都减去）如果将三角形三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标都减去，纵坐标都减去5，三角形三角形A1 B1C1可以看作将三角形可以看作将三角形A BC先向左平移先向左平移6个单位长度，个单位长度，再向下平移再向下平移5个单位长度得到的。个单位长度得到的。2021/5/2224(1)横坐标变化横坐标变化,纵坐标不变纵坐标不变原图形向右平移原图形向右平移a个单位个单位原图形上的点原图形上的点(x,y) (x+a,y)总结规律总结规
22、律2:2:图形上点的坐标变化与图形平移间的关系图形上点的坐标变化与图形平移间的关系原图形向左平移原图形向左平移a个单位个单位原图形上的点原图形上的点(x,y) (x-a,y)原图形向上平移原图形向上平移b个单位个单位原图形上的点原图形上的点(x,y) (x,y+b)原图形向下平移原图形向下平移b个单位个单位原图形上的点原图形上的点(x,y) (x,y-b)(2)横坐标不变横坐标不变,纵坐标变化：纵坐标变化：（a0）(b0)2021/5/2225(3)上、下、左、右平移：上、下、左、右平移：向右平移向右平移向右平移向右平移a a个单位个单位个单位个单位 原图形上的点原图形上的点(x,y) ，向左
23、平移向左平移向左平移向左平移a a个单位个单位个单位个单位x+a, y+b x-a, yb向上平移向上平移向上平移向上平移b b个单位个单位个单位个单位( )原图形上的点原图形上的点(x,y) ，总结规律总结规律:图形平移与点的坐标变化间的关系图形平移与点的坐标变化间的关系向上平移向上平移向上平移向上平移b b个单位个单位个单位个单位( )2021/5/2226 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数的横坐标都加（或减去）一个正数a a，相应的新图，相应的新图形就是把原图形向形就是把原图形向（或向（或向）平移）平移 个单位
24、长个单位长度；度； 如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数正数a a，相应的新图形就是把原图形向，相应的新图形就是把原图形向 （或（或）平移平移_个单位长度个单位长度. .右右左左上上下下a aa a2021/5/2227【解析】选【解析】选B.B.点点C(3,3)C(3,3)向下向下平移平移5 5个单位，再向左平移个单位，再向左平移2 2个单位，得到（个单位，得到（1 1，-2-2）. . 已知已知ABCABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，在平面直角坐标系中的位置如图所示，将将ABCABC向下平移向下平移5 5个单位，再向左平移个单位，再向左
25、平移2 2个单位，则平个单位，则平移后移后C C点的坐标是（点的坐标是（ ）(A)(A)（5 5，2 2） (B)(B)（1 1，2 2）(C)(C)（2 2，1 1） (D)(D)（2 2，2 2）ABCOxy练习练习2021/5/2228 2解：依次走下列各点：解：依次走下列各点：（-4，-2），（），（-7，-2），），（-7，7），（），（-3，7），），（-3，4）2021/5/2229 制作动画时，经常要用到图形的平移，如图，小老鼠从，制作动画时，经常要用到图形的平移，如图，小老鼠从，到这几个过程中，分别进行了怎样的平移？，到这几个过程中，分别进行了怎样的平移？2021/5/223
26、0练习练习1:制作动画时，经常要用到图形的平移，如图，小老鼠从到制作动画时，经常要用到图形的平移，如图，小老鼠从到，再到，到这几个过程中，分别进行了怎样的平移？，再到，到这几个过程中，分别进行了怎样的平移？(-3,-3)(-3,0)(-1,0)(-1,2)(2,2)(2,-1)(4,-1)2021/5/2231 观察下列图形，与图（观察下列图形，与图（1 1）的鱼相比，图（）的鱼相比，图（2 2）中的鱼）中的鱼发生了一些变化，若图（发生了一些变化，若图（1 1）中鱼上点的坐标为（，）中鱼上点的坐标为（，. .）则这个点在图（）则这个点在图（2 2）中的对应点的坐标应为；）中的对应点的坐标应为；
27、y y y y（4,2.24,2.2）2021/5/2232Q(2,3)R(4,1)解：解：P(-1, 1) Q(-3, 1) R(-1,- 1)30秒后，飞机的位置分别是秒后，飞机的位置分别是 P(4, 3) Q(2, 3) R(4, 1)（4,3）CP582021/5/2233A1B1C1D1A2B2C2D2解：如图所示，长方形向左解：如图所示，长方形向左平移平移2 2个单位长度后的图形个单位长度后的图形为长方形为长方形A A1 1 B B1 1 C C1 1 D D1 1，顶点坐标变为顶点坐标变为A A1 1 （-5-5，2 2）B B1 1（-5-5，-2-2）C C1 1（1 1，-
28、2-2） D D1 1（1 1，2 2）将它向上平移将它向上平移3 3个单位长度个单位长度后，顶点坐标变为后，顶点坐标变为A A2 2（-3-3，5 5）B B2 2（-3-3，1 1）C C2 2（3 3，1 1） D D2 2（3 3，5 5）2021/5/2234解：小鸭子由解：小鸭子由A向上平移向上平移2个单位长度，个单位长度，向右平移向右平移2个单位长度到个单位长度到B。由由B向上平移向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度，向右平移3个单位长度到个单位长度到C。由由C向右平移向右平移1个单位长度，向下平移个单位长度，向下平移3个单位长度到个单位长度到D2021/5/2235A1B1
29、C1A1(3,6)B1(1,2) C1(7,3)2021/5/2236解：解：SAOB=46-0.562-0.542-0.524 =24-6-4-4 =102021/5/2237（1）学校（）学校（1，3） 邮局（邮局（-3，-1）（2）李明从家里出发，途经糖果店、汽车站、游乐场、）李明从家里出发，途经糖果店、汽车站、游乐场、消防站、宠物店、姥姥家，最后又回到家中。消防站、宠物店、姥姥家，最后又回到家中。（3）如图，得到一个箭头。）如图，得到一个箭头。2021/5/2238解：解：（1 1）上面的三角形向左平移）上面的三角形向左平移3 3个单位长度，再向下平移个单位长度，再向下平移6 6个单位
30、长度得到下面的三角形，把平移前各点的横坐标都减个单位长度得到下面的三角形，把平移前各点的横坐标都减去去3 3，纵坐标都减去，纵坐标都减去6 6，就得到平移后个对应点的坐标。，就得到平移后个对应点的坐标。（2 2）下面的梯形向右）下面的梯形向右平移平移6 6个单位长度，再向上平移个单位长度，再向上平移8 8个个单位长度得到上面的单位长度得到上面的梯形，梯形，把平移前各点的横坐标都加上把平移前各点的横坐标都加上6 6，纵坐标都加上纵坐标都加上8 8，就得到平移后个对应点的坐标。，就得到平移后个对应点的坐标。2021/5/2239解解（1）这些点在一条直线上，这条直线与这些点在一条直线上，这条直线与
31、x轴轴平行平行。 （2）这些点在一条直线上，这条直线与）这些点在一条直线上，这条直线与x轴轴垂直垂直。2021/5/2240x0y(2)表示阅读课外书的时间和看电视时间相同。表示阅读课外书的时间和看电视时间相同。（3）位于对角线左上方的点的）位于对角线左上方的点的纵坐标大于横坐标，纵坐标大于横坐标，表示阅读课外表示阅读课外书的时间多于看电视时间。书的时间多于看电视时间。左上方的点的左上方的点的横坐标大于纵坐标，横坐标大于纵坐标，表示阅读课外书的时间少于表示阅读课外书的时间少于看电视时间看电视时间2021/5/2241x0y500-1500500-500第第1口井口井第第2口井口井第第3口井口井
32、第第4口井口井-900第第5口井口井解：以村委会为坐标原点，解：以村委会为坐标原点，分别以正东、正北方向为分别以正东、正北方向为x 轴、轴、y 轴正方向建立直角坐标系，轴正方向建立直角坐标系，5口井的位置如图所示：口井的位置如图所示：2021/5/22429.解：线段解：线段AB、CD、EF、GH、IJ如图所示，如图所示，它们的它们的中点的坐标中点的坐标分别是分别是（3，1），），（0，3），（），（1，1），（），（3，0），（），（-1，0）.中点中点的的横坐标（纵坐标）等于两个横坐标（纵坐标）等于两个端点端点横坐标（纵坐标）的横坐标（纵坐标）的和和的一半的一半2021/5/2243课堂小
33、结：课堂小结： 1、一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到. 2、对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图示上的点的坐标的某种变化，发生相应的变化；反过来，从图示上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数的横坐标都加（或减去）一个正数a a，相应的新图，相应的新图形就是把原图形向形就是把原图形向（或向（或向）平移）平移 个单位长个单位长度；度； 如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数正数a a，相应的新图形就是把原图形向，相应的新图形就是把原图形向 （或（或）平移平移_个单位长度个单位长度. .右右左左上上下下a aa a3、2021/5/2244课本 P78 习题7.2课后作业：课后作业：2021/5/2245谢谢
