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1、实验四实验四:昆虫繁殖问题昆虫繁殖问题 莱斯利矩阵模型莱斯利矩阵模型实验任务与操作实验任务与操作思考题与练习题思考题与练习题直线族及其包络绘图直线族及其包络绘图莱斯利于莱斯利于1945年提出用于预测单种群生物年提出用于预测单种群生物数量增长的矩阵模型。数量增长的矩阵模型。将一个生物种群按年龄分为将一个生物种群按年龄分为 m 个年龄组个年龄组。设设 xk( t ) 表示表示 t 时刻第时刻第 k 个年龄组的生物数个年龄组的生物数量量, xk(0)是初始时刻数量。生物数量向量是初始时刻数量。生物数量向量随时间随时间 t = 0, t1, t2, t3, 变化规律用矩阵变化规律用矩阵描述。即描述。即
2、P.H.Leslie1900-1974一种昆虫最长一种昆虫最长寿命六周寿命六周. .分为三个年龄组分为三个年龄组, ,第一组幼虫第一组幼虫( (不产卵不产卵) ), ,第二组每只成虫平均第二组每只成虫平均两周产卵两周产卵100，第三组每只成虫平均两周产，第三组每只成虫平均两周产卵卵150。 假设每个卵的成活率为假设每个卵的成活率为9%，第一，第一组和第二组的昆虫两周后成为下一年龄组组和第二组的昆虫两周后成为下一年龄组昆虫的存活率分别为昆虫的存活率分别为10%和和20%。X(k+1)=L X(k)以两周为一时间段以两周为一时间段, ,设设 t0=0, t1 = 2, t2 = 4, t3 = 6
3、, . 各年龄组昆虫数量为：各年龄组昆虫数量为：x1(k)=x1(tk), x2(k)= x2(tk), x3(k)= x3(tk)昆虫寿命为六周昆虫寿命为六周, ,将其分为三个年龄组将其分为三个年龄组: : 第一组第一组 0 02 2周龄周龄; ;第二组第二组 2 24 4周龄周龄; ;第三组第三组 4 46 6周龄周龄.第一组成长为第二组昆虫的存活率为第一组成长为第二组昆虫的存活率为10%，第二组成长为第三组昆虫的存活率第二组成长为第三组昆虫的存活率20%.第二组每虫两周内产卵第二组每虫两周内产卵100; ;第三组每虫两周内产卵第三组每虫两周内产卵150. .第一组为幼虫第一组为幼虫( (
4、不产卵不产卵););每个卵的孵化成活率为每个卵的孵化成活率为9%,两周为一时段各年龄组数目为：两周为一时段各年龄组数目为：x1(k), x2(k), x3(k)通项通项=？x1(0)x2(0)x3(0)x2(1)=0.1x1(0)x3(1)=0.2x2(0)x1(1)=0.09(100x2(0)+150x3(0)实验任务实验任务: :1.1.以两周为一时间段，分析昆虫各年龄组数量向量以两周为一时间段，分析昆虫各年龄组数量向量变化规律变化规律. .2.2.昆虫数量向量变化趋势是无限增长还是趋于灭亡昆虫数量向量变化趋势是无限增长还是趋于灭亡？3.3.一种刹虫剂使用后可以控制各年龄组昆虫数量，一种刹
5、虫剂使用后可以控制各年龄组昆虫数量，使得各年龄组昆虫成活率减半，这种除虫剂是否使得各年龄组昆虫成活率减半，这种除虫剂是否有效？有效？ 现有三个组的昆虫各现有三个组的昆虫各100只只, ,计算第计算第2周、第周、第4周、第周、第6周后各个周龄的昆虫数目周后各个周龄的昆虫数目 开始时刻开始时刻 X(0) = 100, 100, 100T实验任务一实验任务一:昆虫数量变化规律计算昆虫数量变化规律计算function X=insect(n)X=100;100;100;L=0 9 13.5;0.1 0 0;0 0.2 0;P=X;for k=1:n X=L*X; P=P,X;endfigure(1),b
6、ar(P(1,:)figure(2),bar(P(2,:)figure(3),bar(P(3,:)调用函数调用函数 X=insect(27) X = 7368.05 686.52 127.97L=0 9 13.5;0.1 0 0;0 0.2 0;P,lamda=eig(L)A 的主特征值的主特征值实验任务二实验任务二: 主特征值的特征向量试验主特征值的特征向量试验p=-P(:,1);D=sum(p);X=p(1)/D,p(2)/D,p(3)/D*300P=-1.00 0.99 -0.95-0.09 -0.14 0.27-0.02 0.04 -0.16Lamda= 1.07 0 0 0 -0.7
7、3 0 0 0 -0.35X= 270.14 25.17 4.69昆虫数量向量昆虫数量向量按年龄显示出按年龄显示出倒金字塔结构倒金字塔结构 270.14 25.17 4.69取取 n=27取取 n=3 270 292 310 336 25 27 29 31 5 5 5 5function P=insect(n)X=270;25;5; P=X;L=0 9 13.5;0.1 0 0;0 0.2 0;for k=1:n X=L*X; P=P,X;endK=0:n;figure(1),bar(K,P(1,:) figure(2),bar(K,P(2,:) figure(3),bar(K,P(3,:)
8、主特征值主特征值:三个线性无关特征向量三个线性无关特征向量:取取初始时刻初始时刻:通项通项:实验任务三：实验任务三：使用除虫剂使用除虫剂, ,各组昆虫的成活率各组昆虫的成活率以及孵化成活率减半以及孵化成活率减半, ,数学模型数学模型 X(k+1) = L1 X(k) (k = 0, 1,2,3,)1.L1 = ？ 2.L1 的主特征值为多少的主特征值为多少?3.使用杀虫剂后各组昆虫在使用杀虫剂后各组昆虫在10周内的变化情况周内的变化情况 特征值特征值:三个线性无关特征向量三个线性无关特征向量:初始时刻数量分解初始时刻数量分解:求求n使得使得只需只需通项通项:使用除虫剂使用除虫剂, ,各组昆虫的
9、成活率以及孵化成活各组昆虫的成活率以及孵化成活率减半率减半, ,数学模型数学模型 X(k+1) = L X(k) (k = 0, 1,2,3,)实验任务与操作实验任务与操作A=0 9 13.5;0.1 0 0;0 0.2 0;X0=100;100;100;X=X0;X=A*X;results(:,1)=X;X=A*X;results(:,2)=X;X=A*X;results(:,3)=X;results1=fix(results)D=eig(A),lamda=max(D)B=0.5*A;X=X0;X=B*X;results(:,1)=X;X=B*X;results(:,2)=X;X=B*X;r
10、esults(:,3)=X;results2=fix(results)D=eig(B),lamda=max(D)A 的主特征值的主特征值B 的主特征值的主特征值思考题与练习题思考题与练习题1.在昆虫繁殖问题中在昆虫繁殖问题中,除虫剂的效果使各组昆虫的成活除虫剂的效果使各组昆虫的成活率减半率减半, ,将如何影响莱斯利矩阵的特征值将如何影响莱斯利矩阵的特征值？ 2.莱斯利矩阵反映的是一种精确变化的规律莱斯利矩阵反映的是一种精确变化的规律,这一数学这一数学模型有何缺点？模型有何缺点？3.昆虫繁殖过程中各年龄组的数量是整数昆虫繁殖过程中各年龄组的数量是整数,而数学模型而数学模型所反映的是实数所反映的是
11、实数,应该怎样调整应该怎样调整?如何描述昆虫基本灭如何描述昆虫基本灭绝？绝？4. 如果要在六周内基本消灭昆虫如果要在六周内基本消灭昆虫,莱斯利矩阵的主特莱斯利矩阵的主特征值应该定为多少征值应该定为多少？如何调整除虫剂的效果如何调整除虫剂的效果？所有切线构成直线族所有切线构成直线族, ,原来曲线成为直线族的包络。原来曲线成为直线族的包络。直线簇及其包络实验直线簇及其包络实验 当第一象限曲线为单减凹曲线时，当第一象限曲线为单减凹曲线时，曲线的切线位于曲线下方。曲线的切线位于曲线下方。设有星形曲线设有星形曲线 参数方程参数方程 (x，y)处点斜式方程处点斜式方程 曲线的切线斜率曲线的切线斜率将参数方
12、程代入，得将参数方程代入，得 X轴上点轴上点: (cos t , 0 )Y轴上点轴上点: ( 0 , sin t )function starlin(N)if nargin=0,N=20;endt=linspace(0,pi/2,N); %确定参数值确定参数值x=cos(t).3; %计算曲线坐标计算曲线坐标y=sin(t).3;O=zeros(1,N);X=cos(t);O; %创建创建X坐标矩阵坐标矩阵Y=O;sin(t); %创建创建Y坐标矩阵坐标矩阵figure(1),plot(X,Y,r, x,y,k)figure(2),plot(X,-X,-X,X,Y,Y,-Y,-Y,r)axis off
