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1、第四讲第四讲 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程内容提要内容提要 1. 1. 二阶常系数齐次线性微分方程；二阶常系数齐次线性微分方程； 2. 2. 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构. .教学要求教学要求 1. 1. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法； 2. 2. 掌握二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构掌握二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构. .一、二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程形如形如（1）称为二阶常系数线性微分方程称为二阶常系数线性微分方程.称为二阶常系数齐次线性微分方程称为二阶
2、常系数齐次线性微分方程.称为二阶常系数非齐次线性微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程.（2）1、二阶、二阶常系数线性微分方程的概念常系数线性微分方程的概念2、二阶常系数齐次线性微分方程解的结构、二阶常系数齐次线性微分方程解的结构定理定理1 证明证明 注意：注意：定理定理2（1）的通解形式？）的通解形式？例例证证3、二阶常系数齐次线性微分方程解法、二阶常系数齐次线性微分方程解法将其代入上方程将其代入上方程, 得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根特征根有如下三种情况：特征根有如下三种情况：（1）为方程为方程(1)的解的解, （1 1）有两个不相等的实根）有两个不相等的实根两个线性无关的特解
3、两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为（2 2） 有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为（3 3） 有一对共轭复根有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为两复数解两复数解4、典型实例、典型实例解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 1特征方程为特征方程为例例2 2解解故所求通解为故所求通解为特征根为特征根为例例3解解特征方程为特征方程为特征根为特征根为故所求通解为故所求通解为例例4解解特征方程为特征方程为特征根为特征根为故所求通解为故所求通解为二二、二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构解的叠加原理解的叠加原理小小 结结2. 二阶常系数齐次线性微分方程求解的一般步骤二阶常系数齐次线性微分方程求解的一般步骤:（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.（1）写出相应的特征方）写出相应的特征方程程;（2）求出特征根）求出特征根;1.二阶常系数齐次线性微分方程解的结构；二阶常系数齐次线性微分方程解的结构； 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构.
