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1、第十八讲第十八讲 两角和与差及二倍角公式两角和与差及二倍角公式回归课本回归课本1.C(-) cos(-)=coscos+sinsinC(+) cos(+)=coscos-sinsinS(+) sin(+)=sincos+cossinS(-) sin(-)=sincos-cossinT(+) tan(+)= (,+k+ ,k Z)T(-) tan(-)= (,-k+ ,k Z).注意注意:(1)注意公式的适用范围注意公式的适用范围:在在T()中中,都不等于都不等于k+ (k Z).即保证即保证tan tan tan()都有意义都有意义. (2)对公式对公式tan(+)= ,下面的四种变式在以后的
2、下面的四种变式在以后的解题中经常用到解题中经常用到: =tan(+)(逆用逆用);1-tantan=tan+tan=tan(+)(1-tantan);tantantan(+)=tan(+)-tan-tan.2.在和角公式在和角公式S(+) C(+) T(+)中中,当当=时就可得到二倍角时就可得到二倍角的三角函数公式的三角函数公式S2 C2 T2.sin2=2sincos,cos2=cos2-sin2,tan2=3.余弦二倍角公式有三种形式余弦二倍角公式有三种形式,即即cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2,由此可得变形公式由此可得变形公式sin2= ,cos2= ,它的双
3、向应用分别起到缩角它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用升幂和扩角降幂的作用.4.asin+bcos= sin(+),其中其中cos= ,sin= ,tan= .的终边所在象限由的终边所在象限由点点(a,b)来确定来确定.注意注意:(1)公式成立的条件公式成立的条件:在公式中在公式中,只有当公式的等号两端都只有当公式的等号两端都有意义时有意义时,公式才成立公式才成立.(2)公式应用要讲究一个公式应用要讲究一个“活活”字字,即正用即正用 逆用逆用 变形用变形用,还要还要创造条件用公式创造条件用公式,如拆角如拆角 配角技巧配角技巧:=(+)-,2=(+)+(-)等等.注意切化弦注意切化弦 通
4、分等方法的使用通分等方法的使用,充分利用三角函数值的变式充分利用三角函数值的变式,如如1=tan45,-1=tan135, =tan60, =cos60或或 =sin30,sinx+ cosx=2sin 学会灵活地运用公式学会灵活地运用公式. (3)当角当角,中有一个角为中有一个角为90的整数倍时的整数倍时,使用诱导公式较为使用诱导公式较为简便简便,诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特例诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特例.(4)搞清公式的来龙去脉搞清公式的来龙去脉,C(-)是基础是基础,其他公式都是用代换法其他公式都是用代换法及诱导公式得到的推论及诱导公式得到的推论,即即(5)二倍角公
5、式的正用二倍角公式的正用 逆用及变形用是公式的三种主要使用逆用及变形用是公式的三种主要使用方法方法,特别是变形用有时恰是解题思路的关键特别是变形用有时恰是解题思路的关键.如如:2sincos=sin2,sincos= sin2,cos=cos2-sin2=cos2, =tan2,1sin2=sin2+cos22sincos=(sincos)2,1+cos2=2cos2,1-cos2=2sin2.考点陪练考点陪练1.sin15cos75+cos15sin105等于等于( )解析解析:sin15cos75+cos15sin105=sin15cos75+cos15sin75=sin90=1.答案答案
6、:D答案答案:A答案答案:B4.下列各式中下列各式中,值为值为 的是的是( )A.2sin15cos15 B.cos215-sin215C.2sin215-1 D.sin215+cos215答案答案:B答案答案:A类型一类型一两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数解题准备解题准备:利用和差公式对三角函数式进行化简与求值利用和差公式对三角函数式进行化简与求值,是每是每年高考必考内容年高考必考内容,纵观近几年的高考试题纵观近几年的高考试题,对本考点的内容对本考点的内容一是直接考查一是直接考查,二是以和差公式为角的变换工具二是以和差公式为角的变换工具,与向量与向量 函函数数 不等式等知识相结合的综
7、合题不等式等知识相结合的综合题. 分析分析 先将条件等式展开先将条件等式展开,联立方程组求得联立方程组求得sin cos与与cos sin的值的值,再将待求式子化简即可再将待求式子化简即可. 反思感悟反思感悟 已知三角函数值已知三角函数值,求三角函数式的值求三角函数式的值,往往要对待往往要对待求式进行化简求式进行化简.像本题通过化简发现必须先求像本题通过化简发现必须先求 的值的值,而已知条件为正弦函数值而已知条件为正弦函数值,因此由求因此由求 转化为求转化为求 的值的值,从而容易想到将两个条件等式展开从而容易想到将两个条件等式展开,再联立再联立方程组即可方程组即可.类型二类型二二倍角的三角函数
8、二倍角的三角函数解题准备解题准备:本考点的考查基本上是以二倍角公式或变形公式为本考点的考查基本上是以二倍角公式或变形公式为工具工具,对角或函数名称进行恰当变换对角或函数名称进行恰当变换,以化简求值为主以化简求值为主,在具在具体问题中体问题中,必须熟练准确地运用公式必须熟练准确地运用公式. 反思感悟反思感悟二倍角的余弦公式的正用是化倍角为单角二倍角的余弦公式的正用是化倍角为单角,相应三相应三角函数式项的次数翻倍角函数式项的次数翻倍(即升幂即升幂);其逆用则是化二次式为一其逆用则是化二次式为一次式次式(即降幂即降幂),单角变倍角单角变倍角,求解中注意倍角与单角的相对性求解中注意倍角与单角的相对性.
9、类型三类型三辅助角公式的应用辅助角公式的应用解题准备解题准备:1.由由S(+),我们可以得出辅助角公式我们可以得出辅助角公式,即即asinx+bcosx= sin(x+)(其中其中角的终边所在象角的终边所在象限由限由a,b的符号确定的符号确定,角满足角满足cos= ,sin= ,这是经常用到的一个公式这是经常用到的一个公式,它可把含它可把含sinx、cosx的一次式的三角函数式化为的一次式的三角函数式化为Asin(x+)的形式的形式,从而进一步从而进一步探索三角函数的性质探索三角函数的性质.错源一错源一使用公式时不注意使用条件使用公式时不注意使用条件 剖析剖析这是一道热点测试题这是一道热点测试
10、题,上述解法执行了上述解法执行了“标准标准”答案选答案选A.题设条件中的题设条件中的m (0,1),事实上事实上,如当如当=2k+ (k Z)时时,1-2m2=0,tan2失掉意义失掉意义,若题设条件中限制若题设条件中限制m ,则则应当选应当选A.答案答案D错源二错源二求角时对角的范围讨论不准确求角时对角的范围讨论不准确【典例典例2】若若tan(-)= ,tan= ,且且, (0,),求求2-的值的值. 剖析剖析上述解法就是犯了对角的讨论不正确而错误确定了所上述解法就是犯了对角的讨论不正确而错误确定了所求角的取值范围求角的取值范围.技法一技法一构造斜率构造斜率【典例典例1】求值求值: 解解设设
11、A(cos40,sin40),B(cos20,sin20),于是所求是于是所求是A B两点连线的斜率两点连线的斜率kAB,而而A B两点都在单位圆两点都在单位圆x2+y2=1上上.设直线设直线AB与与x轴交于轴交于C点点,作作OD AB垂足为垂足为D.易知易知 xOB=20, xOA=40, BOA=20, BOD=10,于是在于是在Rt COD中中, COD=30, DCO=60,于是直线于是直线AB的倾斜角的倾斜角 xCD=120,所以所以kAB= =tan120= 技法二技法二巧用两角和与差公式解题巧用两角和与差公式解题一一 巧变角巧变角1.巧凑角巧凑角【典例典例2】若锐角若锐角、满足满
12、足cos= ,cos(+)= ,求求sin的值的值. 解解注意到注意到=(+)-, sin=sin(+)-=sin(+)cos-cos(+)sin 为锐角且为锐角且cos= , sin=2.巧拆角巧拆角【典例典例3】求求 的值的值.解题切入点解题切入点该题为非特殊角三角函数求值该题为非特殊角三角函数求值,不能直接进行不能直接进行,注注意拆角向特殊靠拢易求值意拆角向特殊靠拢易求值.二二 巧变公式结构巧变公式结构【典例典例4】求求tan25+tan35+ tan25tan35的值的值.解解注意到注意到25+35=60,故用两角和正切变形公式故用两角和正切变形公式.原式原式=tan(25+35)(1
13、-tan25tan35)+ tan25tan35= (1-tan25tan35)+ tan25tan35=三三 巧引参数巧引参数【典例典例5】已知锐角已知锐角、满足条件满足条件 求证求证+= .解题切入点解题切入点若注意到已知条件满足公式若注意到已知条件满足公式sin2+cos2=1时时,可引进参数可引进参数,进行三角代换进行三角代换. 证明证明由已知可设由已知可设 =cos, =sin,则有则有sin2=cos cos,cos2=sin sin+得得sin2+cos2=coscos+sinsin即即1=cos(-). -=2k(k Z),=2k+(k Z). sin2=coscos=cos2,cos2=sinsin=sin2.又又 为锐角为锐角, sin=cos=又又 = -,故故+=
