《高中数学第一章导数及其应用1.4.1曲边梯形面积与定积分课件新人教B版选修22》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章导数及其应用1.4.1曲边梯形面积与定积分课件新人教B版选修22（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4.1曲边梯形面积与定积分第一章1.4定积分与微积分基本定理学习目标1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积及变力所做的功.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点一曲边梯形的面积如图，为求由抛物线yx2与直线x1，y0所围成的平面图形的面积S，该图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案答案答案已知图形是由直线x1，y0和曲线yx2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段.思考2能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答案答案答案分割；近似代替；求和；取极限.(1)曲
2、边梯形曲线与平行于 的直线和 所围成的图形，称为曲边梯形.(2)求曲边梯形面积的方法求由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形(如图)的面积的步骤 梳理梳理x轴y轴分割：把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些 (如图)；近似代替：对每个小曲边梯形“ ”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积的 ；求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积.小曲边梯形以直代曲近似值思考知识点二定积分的概念与基本性质分析求曲边梯形的面积和变力所做的
3、功，找一下它们的共同点.答案答案答案两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限.定积分的有关概念与基本性质(1)函数定积分的定义设函数yf(x)定义在区间a，b上(如图)，用分点ax0x1x2xn1xnb，把区间a，b分为n个小区间，其长度依次为xixi1xi，i0,1,2，n1.记为这些小区间长度的最大者，当趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个小区间内任取一点i，作和式In .梳理梳理当0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作 .(2)定积分的定义式(3)定积分的相关名称符号f(x)f(
4、x)dxxaba，b相关名称积分号_积分变量_积分区间被积函数被积式积分下限积分上限(4)定积分的基本性质题型探究例例1求直线x0，x2，y0与曲线yx21所围成的曲边梯形的面积参考公式1222n2 n(n1)(2n1).解答类型一求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积(1)思想：以直代曲.(2)步骤：分割近似代替求和取极限.(3)关键：近似代替.(4)结果：分割越细，面积越精确.(5)求和时可用到一些常见的求和公式，如反思与感悟跟踪训练跟踪训练1求由抛物线yx2与直线y4所围成的曲边梯形的面积.解答类型二利用定积分表示曲边梯形的面积解答例例2利用定积分表示由直线yx2，曲线xy2围成的平面区域的面
5、积S.(1)定积分的几何意义：当函数f(x)在区间a，b上恒为正时，定积分 f(x)dx的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积.一般情况下，如图，定积分 f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图象以及直线xa、xb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.反思与感悟(2)利用定积分表示曲线围成的面积时，关键是弄清定积分的几何意义，特别注意符号问题，定积分的值可正可负可为零，而面积是正值.跟踪训练跟踪训练2利用定积分表示下图中阴影部分的面积.答案则(1)_；(2)_.类型三利用定积分的几何意义求定积分例例3说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义
6、求出定积分的值.解答解答解答引申探究引申探究解答解答解答利用定积分所表示的几何意义求 f(x)dx的值的关键是确定由曲线yf(x)，直线xa，直线xb及x轴所围成的平面图形的形状.常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形.反思与感悟跟踪训练跟踪训练3用定积分的几何意义求：解答(2) ；解答解解如图2，由于A的面积等于B的面积，从而 0.解答解解令f(x)|x1|x1|4，作出f(x)在区间3，3上的图象，如图3所示，易知定积分 f(x)dx表示的就是图中阴影部分的面积的代数和.阴影部分的面积S1S31，S26， (|x1|x1|4)dx1164.当堂训练1.下列结论中成立的个数
7、是答案2233445511解析A.0 B.1 C.2 D.3解析解析成立.2.关于定积分a (2)dx的叙述正确的是A.被积函数为y2，a6B.被积函数为y2，a6C.被积函数为y2，a6D.被积函数为y2，a6答案2233445511解析解析解析由定积分的概念可知，由定积分的几何意义知， (2)dx等于由直线x1，x2，y0，y2所围成的图形的面积的相反数，22334455113.求由曲线y x2与直线x1，x2，y0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_.答案解析1.024. 2(x2)dx_.2233445511解析答案55.计算：解答2233445511解解由定积分的几何意义，得由定积分的几何意义，得 0.所以 5 2.规律与方法2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分.对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.3.几类曲边梯形的面积与定积分的关系面积图示本课结束
