《误差理论与数据处理-第四章-测量不确定度》由会员分享，可在线阅读，更多相关《误差理论与数据处理-第四章-测量不确定度（68页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 1第四章 测量不确定度 2 2教学目标 本章介绍用测量不确定度来评定和表示测量结果的基本概念和方法，要求正确掌握测量不确定度的若干名词术语，会分析不确定度的来源，掌握标准不确定度的两类评定、合成标准不确定度的求取方法，还应学会正确表示测量结果的方式。 3 3教学重点和难点v 不确定度的基本概念v A类不确定度评定v B类不确定度评定v 自由度v有效自由度v合成不确定度v扩展（展伸）不确定度v测量结果的表示方法4 4第一节 研究不确定度的意义 5 5一、研究不确定度的必要性一、研究不确定度的必要性误差概念和误差分析在用于评定测量误差概念和误差分析在用于评定测量结果时结果时, ,有时显得既不完
2、备，也难于操有时显得既不完备，也难于操作。作。 一种更为完备合理、可操作性强的评一种更为完备合理、可操作性强的评定测量结果的方法。定测量结果的方法。 寻寻求求诞诞生生测量不确定度测量不确定度 6 6二、不确定度的由来二、不确定度的由来 v19271927年德国物理学家海森堡提出测不准关系，也称为不年德国物理学家海森堡提出测不准关系，也称为不 确定度关系确定度关系。 v19781978年国际计量局发出不确定度征求意见书，征求各国年国际计量局发出不确定度征求意见书，征求各国和国际组织的意见。和国际组织的意见。 v19801980年，国际计量局提出了实验不确定度建议书年，国际计量局提出了实验不确定度
3、建议书INC-INC-1 1（19801980）。）。 v19861986年组成国际年组成国际不确定度不确定度工作组，负责制定用于计量、工作组，负责制定用于计量、生产、科学研究中的不确定度指南。生产、科学研究中的不确定度指南。 v19931993年出版了测量不确定度表示指南（年出版了测量不确定度表示指南（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement，简称简称GUM）。）。 7 7第二节第二节 不确定度的基本概念不确定度的基本概念 8 8一、不确定度的定义一、不确定度的定义测量不确定度测量不确定度 指测量结果的变化的不肯定，是表征测量
4、指测量结果的变化的不肯定，是表征测量的真值在某个量值范围的一个的真值在某个量值范围的一个估计估计，是测量，是测量结果含有的一个参数，用于结果含有的一个参数，用于表征表征被测量值的被测量值的分散性分散性。 9 9不确定度的定义(续)v说明：明：该参数是一个表征分散性的参数。它可以是标准该参数是一个表征分散性的参数。它可以是标准差或其倍数，或说明了差或其倍数，或说明了置信水平的区间半宽度置信水平的区间半宽度。该参数一般由若干个分量组成，统称为不确定该参数一般由若干个分量组成，统称为不确定度分量度分量 该参数是通过对所有若干个不确定度分量进行该参数是通过对所有若干个不确定度分量进行方差和协方差合成得
5、到。所得该参数的方差和协方差合成得到。所得该参数的可靠程度可靠程度一般可用自由度的大小来表示一般可用自由度的大小来表示 该参数是用于完整地表征测量结果的该参数是用于完整地表征测量结果的 1010三、不确定度评定方法的分类三、不确定度评定方法的分类 A A类评定类评定 指用对样本观测值的统计分析进行不确定度指用对样本观测值的统计分析进行不确定度评定的方法。评定的方法。 B B类评定类评定 指用不同于统计分析的其他方法进行不确指用不同于统计分析的其他方法进行不确定度评定的方法。定度评定的方法。 1111四、几个相关的名词与概念四、几个相关的名词与概念 标准不确定度标准不确定度 用标准差表示测量结果
6、的不确定度，一般用符用标准差表示测量结果的不确定度，一般用符号号u u来表示。对于不确定度分量，常在来表示。对于不确定度分量，常在u u上加小脚上加小脚标进行表示，如标进行表示，如u u1 1，u u2 2，u ui i u un n等。等。 合成（标准）不确定度合成（标准）不确定度 当测量结果由若干个其他量的值求得时，测量结当测量结果由若干个其他量的值求得时，测量结果的合成标准不确定度等于这些量的方差和（或）果的合成标准不确定度等于这些量的方差和（或）协方差加权和的正平方根，其中权系数按测量结果协方差加权和的正平方根，其中权系数按测量结果随这些量变化的情况而定。用符号随这些量变化的情况而定。
7、用符号u uc c表示。表示。 1212扩展不确定度扩展不确定度 规定了测量结果取值区间的半宽度，该区间包规定了测量结果取值区间的半宽度，该区间包含了合理赋予被测量值的分布的大部分。用符号含了合理赋予被测量值的分布的大部分。用符号U U表示。表示。 包含因子包含因子 为获得扩展不确定度，对合成标准不确定度所为获得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘的乘的倍数因子倍数因子。常用符号。常用符号k k来表示。在国内，有来表示。在国内，有的也其称为的也其称为覆盖因子覆盖因子，其取值一般在，其取值一般在2 2与与3 3之间。之间。 几个相关的名词与概念几个相关的名词与概念( (续）续） 1313不确定度
8、与误差关系v共同点：共同点：都是都是评价价测量量结果果质量高低的重要指量高低的重要指标，都可，都可以作以作为测量量结果精度的果精度的评定参数定参数。 1414不确定度与误差关系（续）v不同点：不同点：误差是以差是以真真值和和约定真定真值为中心中心，而，而测量不确定度是以量不确定度是以被被测量的量的估估计值为中心中心，因此，因此，误差是一个理想的概念，差是一个理想的概念，一般不能准确知道，一般不能准确知道，难以定量；而以定量；而测量不确定度是反映量不确定度是反映人人们对测量量认识不足的程度不足的程度 ，可以定量，可以定量评定。定。在分在分类上，上，误差按自身特性和性差按自身特性和性质可分可分为随
9、机随机误差、系差、系统误差和粗大差和粗大误差差，但各，但各类误差之差之间并不存在并不存在绝对界限，界限，故在故在分分类计算算时不易准确掌握不易准确掌握；测量不确定度不按性量不确定度不按性质分分类，而是按，而是按评定方法分定方法分类，分分为A 评定和定和B类评定，可定，可按情况加以按情况加以选择使用使用。这就无需考就无需考虑其影响因素及来源，其影响因素及来源，只考只考虑影响影响结果的果的评定方法，从而定方法，从而简化了分化了分类，便于便于评定和定和计算算。1515第三节标准不确定度评定 1616一、一、A A类评定方法类评定方法采用统计分析的方法评定标准不确定度，用采用统计分析的方法评定标准不确
10、定度，用实验标准差或样本标准差表示实验标准差或样本标准差表示。 单次测量值作为被测量的估计值单次测量值作为被测量的估计值 当用当用n n次测量的平均值作为被测量的估计值次测量的平均值作为被测量的估计值 单次测量的标准差单次测量的标准差 n次测量的标准差次测量的标准差计算标准差的方法：贝塞尔公式，极差法等计算标准差的方法：贝塞尔公式，极差法等 1717二、二、B B类类评定方法评定方法 B B类评定方法获得不确定度，不是依类评定方法获得不确定度，不是依赖于对样本数据的统计，他必然要设赖于对样本数据的统计，他必然要设法利用与被测量有关的法利用与被测量有关的其他先验信息其他先验信息来进行估计来进行估
11、计。因此，如何获取有用的。因此，如何获取有用的先验信息十分重要，而且如何利用好先验信息十分重要，而且如何利用好这些先验信息也很重要这些先验信息也很重要 18181 1、B B类类评定的方法评定的方法 （1）若由先验信息给出测量结果的概率分布，若由先验信息给出测量结果的概率分布，及其及其“置信区间置信区间”和和“置信水平置信水平” 置信区间的半宽度置信区间的半宽度 置信水平的包含因子置信水平的包含因子 （2）若由先验信息给出的测量不确定度若由先验信息给出的测量不确定度U U为为标准差的标准差的k k倍时倍时 （3）若由先验信息给出测量结果的若由先验信息给出测量结果的“置信区置信区间间”及其概率分
12、布及其概率分布 置信区间的半宽度置信区间的半宽度 置信水平接近置信水平接近1 1的包含的包含因子因子 1919几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计（1 1）舍入误差）舍入误差 舍入误差的最大误差界限为舍入误差的最大误差界限为0.50.5（末），按均匀分（末），按均匀分布考虑，故标准不确定度为布考虑，故标准不确定度为 （2 2）引用误差）引用误差 测量上限为的级电表，其最大引用误差限测量上限为的级电表，其最大引用误差限（即最大允许不确定度）为（即最大允许不确定度）为 按均匀分布考虑，故标准不确定度为按均匀分布考虑，故标准不确定度为 2020（3 3）示值误差）示值误差 某些测量仪器是按符合
13、某些测量仪器是按符合“最大允许误差最大允许误差”要求而制造的，要求而制造的，经检验合格，其最大允许误差为经检验合格，其最大允许误差为 按均匀分布考虑，故标准不确定度为按均匀分布考虑，故标准不确定度为 （4 4）仪器基本误差）仪器基本误差 设某仪器在指定条件下对某一被测量进行测量时，可能设某仪器在指定条件下对某一被测量进行测量时，可能达到的最大误差限为达到的最大误差限为 按均匀分布考虑，故按均匀分布考虑，故标准不确定度标准不确定度为为 几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计 2121（5 5）仪器分辨力）仪器分辨力 设仪器的分辨力为，则其区间半宽度为设仪器的分辨力为，则其区间半宽度为 按均匀
14、分布考虑，故标准不确定度为按均匀分布考虑，故标准不确定度为 （6 6）仪器的滞后）仪器的滞后 滞后引起的标准不确定度为滞后引起的标准不确定度为 几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计(续） 2222各类分布和包含因子分布名称分布名称方差方差k正态正态23-2.58均匀均匀(矩形）矩形）a2/31.73反正弦反正弦a2/21.41三角三角a2/62.45直角直角2a2/92.12椭圆椭圆a2/42双三角双三角a2/21.41 2323正态分布下置信概率p与包含因子间关系P(%)5068.27909595.459999.73kp0.6711.6451.96022.5763 2424设校准证书给
15、出名义值设校准证书给出名义值1010的标准电阻器的电的标准电阻器的电阻阻，测量结果服从正态测量结果服从正态分布，置信水平为分布，置信水平为9999。求其标准不确定度。求其标准不确定度。 例例4-14-1【解】【解】根据题意，该标准电阻器的置信区间根据题意，该标准电阻器的置信区间半宽度半宽度 查表得查表得计算计算2525三、自由度三、自由度 2626研究自由度的意义研究自由度的意义 由于不确定度是用标准差来表征，因此，由于不确定度是用标准差来表征，因此，不确定度的评定质量就取决于标准差的可信不确定度的评定质量就取决于标准差的可信赖程度。而标准差的信赖程度与自由度密切赖程度。而标准差的信赖程度与自
16、由度密切相关，相关，自由度愈大，标准差愈可信赖自由度愈大，标准差愈可信赖。所以，。所以，自由度的大小就直接反映了不确定度的评定自由度的大小就直接反映了不确定度的评定质量质量 不确定度的不确定度的评定质量评定质量标准差的可标准差的可信赖程度信赖程度自由度自由度 2727自由度的概念对于一个测量样本，自由度等于该样本数对于一个测量样本，自由度等于该样本数据中据中n n个独立测量个数减去待求量个数个独立测量个数减去待求量个数1 1。 对某量对某量X X进行进行n n次独立重复测量，用贝塞尔次独立重复测量，用贝塞尔公式估计实验标准差的自由度为公式估计实验标准差的自由度为n-1n-1。 情形情形1 1情
17、形情形2 2自由度自由度 计算总和中独立项个数，即总和的项数减去计算总和中独立项个数，即总和的项数减去其中受约束的项数。其中受约束的项数。 对于不同计算标准差的方法，其自由度是不同的 2828A A类评定的自由度类评定的自由度 最常用的是按贝塞尔公式计算标准差的自最常用的是按贝塞尔公式计算标准差的自由度公式由度公式 34567891015201234567891419Bessel公式最大误差法极差法1.92.6 3.33.94.65.2 5.86.4 6.98.39.50.91.8 2.73.64.55.36.06.8 7.510.5 13.1几种几种A A类评定不确定度的自由度类评定不确定度
18、的自由度 10.9 2929自由度的概念按估计相对标准差来定义的自由度称为有按估计相对标准差来定义的自由度称为有效自由度效自由度 （或）（或）情形情形3 3自由度自由度 其中，其中， 为评定不确定度为评定不确定度u的标准差的标准差 为评定为评定u的相对标准差的相对标准差 3030B B类评定的自由度类评定的自由度 对于对于B B类评定的不确定度，其自由度一般类评定的不确定度，其自由度一般通通过相对标准不确定度来折算。过相对标准不确定度来折算。 00.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.5050 128632自由度相对标准不确定度与自由度的关系相对标准不确定度与自由度的关系 相对标
19、准不确定度3131四、应用举例 3232用游标卡尺对某一试样的尺寸重复测量用游标卡尺对某一试样的尺寸重复测量1010次，得次，得到的测量列如下（单位：到的测量列如下（单位：mmmm） 75.0175.01，75.0475.04，75.0775.07，75.0075.00，75.0375.03，75.0975.09，75.0675.06，75.0275.02，75.0575.05，75.08 75.08 求该重复测量中随机变化引起的标准不确定度分量求该重复测量中随机变化引起的标准不确定度分量及其自由度。及其自由度。 例例4-24-2【解】【解】本例估计的是重复测量中随机变化引起的本例估计的是重复
20、测量中随机变化引起的标准不确定度分量，可根据已知样本数据标准不确定度分量，可根据已知样本数据进行类评定进行类评定 3333按极差法求取极差按极差法求取极差 查表得， 则标准差则标准差 查查表表其自由度其自由度 用两种方法估计得到的标准差很接近，但自由度用两种方法估计得到的标准差很接近，但自由度有明显不同，可见用贝塞尔公式更好一些。有明显不同，可见用贝塞尔公式更好一些。 由贝塞尔公式由贝塞尔公式其自由度其自由度计算结果别别8.0极极7.5最最6.93434第四节合成不确定度 3535一、一、 合成公式合成公式合成标准不确定度合成标准不确定度 当测量结果受多个因素影响而形成若干个不确当测量结果受多
21、个因素影响而形成若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度通过该定度分量时，测量结果的标准不确定度通过该多个标准不确定度分量合成得到的。多个标准不确定度分量合成得到的。 第个标准不确定度分量第个标准不确定度分量 第和第第和第j j个标准不确定度分量之间的相关系数个标准不确定度分量之间的相关系数 不确定度分量的个数不确定度分量的个数 合成标准不确定度合成标准不确定度 3636间接测量的合成标准不确定度公式间接测量的合成标准不确定度公式 输出量估计值 的标准不确定度 输入量估计值 和 的标准不确定度 函数 在 处的偏导数，称为灵敏系数灵敏系数，在误差合成公式中称其为传递系数传递系数； 和 在 处
22、的相关系数 标准不确定度传递公式标准不确定度传递公式 3737不确定度分量合成公式 直接测量的不确定度分量 直接测量的不确定度分量的合成公式 记 3838简单的合成公式当 和 相互独立时, 标准不确定度传递公式 3939二、有效自由度二、有效自由度 合成标准不确定度的自由度称为有有效自由度效自由度，一般用 来表示。 设被测量有个影响测量结果的分量，记为设被测量有个影响测量结果的分量，记为 ，当各分量均服从正态分布，且相互独立时，当各分量均服从正态分布，且相互独立时，可根据可根据韦尔奇韦尔奇- -萨特思韦特萨特思韦特（Welch- Welch- SatterthwaiteSatterthwait
23、e）公式来计算其合成标准不确定度公式来计算其合成标准不确定度的有效自由度。的有效自由度。 4040三、应用举例 4141例例4-44-4某测量结果含某测量结果含5 5个不确定度分量，每个分量的大小个不确定度分量，每个分量的大小及自由度见下表，它们之间的协方差均为零，求其及自由度见下表，它们之间的协方差均为零，求其合成标准不确定度和有效自由度合成标准不确定度和有效自由度。 来源序号12345合成结果基准尺读数电压表电阻表温度1.01.01.42.02.05104161不确定度符号数值符号数值自由度3.57.8 4242【解】【解】根据题意，计算合成标准不确定度 有效自由度计算方法 4343测量环
24、路正弦交变电位差幅值测量环路正弦交变电位差幅值V V，电流幅值电流幅值I I，各重复测量各重复测量5 5次，得到如下表所示的数据，相关次，得到如下表所示的数据，相关系数系数=0.360.36，试根据测量值，求阻抗试根据测量值，求阻抗R R的最佳的最佳值及其合成标准不确定度。值及其合成标准不确定度。 例例4-54-55.007次数123454.9945.0054.9904.99919.63919.663电位差幅值V 电流幅值mA 19.64019.68519.675 4444【解】【解】根据算术平均值和标准差的计算公式得 算术平均值和标准差的计算 4545计算结果电阻的最佳值为 合成标准不确定度
25、 相对标准不确定度为 4646第五节扩展（展伸）不确定度 4747一、概述扩展不确定度的两种方法表示扩展不确定度的两种方法表示 在传统场合多用合成标准不确定度在传统场合多用合成标准不确定度 来表示测来表示测量结果的分散性，但在许多领域，常要求量结果的分散性，但在许多领域，常要求用扩展用扩展不确定度来表示不确定度来表示 合成标准不确定度乘以包含因子合成标准不确定度乘以包含因子 给定的置信概率或置信水平给定的置信概率或置信水平 4848包含因子的确定方法自由度法超越系数法（略）简易法 扩展不确定度表示方法中，关键扩展不确定度表示方法中，关键是是确定包含因子确定包含因子常用方法常用方法 4949自由
26、度法自由度法 有效自由度 置信水平，常取95%或99% 扩展不确定度近似按下两式表示 包含因子可取为包含因子可取为 当 足够大时, 或 5050超越系数法超越系数法 当无法获得自由度信息，而大致知道测量分布且为对称分布对称分布时，可以根据分布的四阶矩（即超越系数）来确定其包含因子。 合成分布的超越系数 设有若干个不确定度分量 ，每个分量对应的分布均对称，其超越系数 (可查表得到)，合成标准不确定度为 算得 后，再查表，即可得合成分布的包含因子 5151简易法简易法 不知道不知道自由度和有关合成分布的信息，被测量自由度和有关合成分布的信息，被测量值的估计区间及其置信水平。值的估计区间及其置信水平
27、。 怎么办？取包含因子k=2或3 简易法 5252第六节测量结果表示方法一个完一个完整的测整的测量结果量结果 被测量的最佳估计值，一般由被测量的最佳估计值，一般由算术平均值给出算术平均值给出 有关测量不确定度的信息有关测量不确定度的信息 5353一、测量结果报告的基本内容一、测量结果报告的基本内容 测量不确定度用合成标准不确定度表示测量不确定度用合成标准不确定度表示 合成标准不确定度合成标准不确定度 自由度 测量不确定度用扩展不确定度表示测量不确定度用扩展不确定度表示 扩展不确定度扩展不确定度U 合成标准不确定度合成标准不确定度 自由度自由度 包含因子包含因子置信水平置信水平 5454二、二、
28、 测量结果的表示方式测量结果的表示方式 5555、合成标准不确定度表示方式、合成标准不确定度表示方式 某标准砝码的质量，其测量的估计值某标准砝码的质量，其测量的估计值合成标准不确定度，自由度合成标准不确定度，自由度 (1)，或，(2)(3)括号内的数值按标准差给出，其末位与测括号内的数值按标准差给出，其末位与测量结果的最低位对齐量结果的最低位对齐括号内的数值按标准差给出，单位同测量结括号内的数值按标准差给出，单位同测量结果一样果一样 56562 2、扩展不确定度表示方式、扩展不确定度表示方式 某标准砝码的质量，其测量的估计值某标准砝码的质量，其测量的估计值合成标准不确定度，自由度合成标准不确定
29、度，自由度包含因子，扩展不确定度包含因子，扩展不确定度 或或或 5757包含因子或或扩展不确定度表示方式扩展不确定度表示方式 扩展不确定度 5858三、数字位数与数据修约规则三、数字位数与数据修约规则 在表示测量结果时，究竟取几位数字为好呢？总结以下几条原则 (1) 最后报告的不确定度有效位数一般不超过两位最后报告的不确定度有效位数一般不超过两位当保留一位有效数字时，按当保留一位有效数字时，按“三分之一原则三分之一原则”进行修约。进行修约。多余部分推荐多余部分推荐当保留两位有效数字时，按当保留两位有效数字时，按“不为零即进位不为零即进位”；0.001 1010.001 2 0.001 001
30、0.001 5959多余部分按多余部分按“四舍六入、逢五取偶四舍六入、逢五取偶”的的原则进行舍弃截断或进位截断。原则进行舍弃截断或进位截断。 (2) 被测量的估计值的位数也要进行相应的修约被测量的估计值的位数也要进行相应的修约修约后的不确定度数值的位数对齐修约后的不确定度数值的位数对齐被测量的估计值 已修约的不确定度的数据修约的被测量的估计值20.000 54 0.0012 20.000 5 20.000 56 0.0012 20.000 6 20.000 55 0.0012 20.000 6 四舍六入逢五取偶被测量的估计值的位数的修约 6060在在最最终终表表示示测测量量结结果果的的场场合合
31、，规规范范和和完完整整的的表表示示方式有以下两种：方式有以下两种：（1 1）区间半宽度表示方式：）区间半宽度表示方式： 测测量量结结果果 = = 最最佳佳估估计计值值 测测不不准准部部分分（单位）（置信水平，自由度）（单位）（置信水平，自由度）（2）标准偏差表示方式：标准偏差表示方式： 测测量量结结果果 = = 最最佳佳估估计计值值 （ 测测不不准准部部分分）（单位）（自由度）（单位）（自由度）测量结果的最终表示 6161例例4-64-6用数字电压表测量某直流电压问题用数字电压表测量某直流电压问题 用数字电压表在标准条件下对用数字电压表在标准条件下对1010伏直流电压进行了伏直流电压进行了10
32、10次测次测量量，得到，得到1010个数据如下表所示。由该数字电压表的检定证书个数据如下表所示。由该数字电压表的检定证书给出，其给出，其示值误差示值误差按按3 3倍标准差计算为倍标准差计算为3.53.5 1010-6 -6 V V。同时，在同时，在进行电压测量前，对数字电压表进行了进行电压测量前，对数字电压表进行了2424小时的校准，在小时的校准，在1010V V点测量时，点测量时，2424小时的示值小时的示值稳定度不超过稳定度不超过 1515V V。试分析评定试分析评定对该对该1010伏直流电压量的测量结果伏直流电压量的测量结果。1234567891010.00010710.00010310
33、.00009710.00011110.00009110.00010810.00012110.00010110.00011010.000094 6262计算最佳估计值 10次电压测量的算术平均值 分析测量不确定度来源 （3）数字电压表测量重复性引起的不确定度u3（1）数字电压表示值稳定度引起的不确定度u1（2）数字电压表示值误差引起的不确定度u2计算步骤 6363不确定度评定 （1）数字电压表示值稳定度引起的不确定度分量u1 24小时的示值稳定度不超过15V。按均匀分布考虑，其置信因子为，则得标准不确定度分量 给出示值稳定度的数据可靠，按不可靠性10%考虑，取其自由度 6464（2）数字电压表示
34、值误差引起的不确定度分量u2 示值误差按3倍标准差计算为 故在10V点测量时，由其引起的标准不确定度分量 由检定证书给出的示值误差数据可靠，取其自由度 见前表不确定度评定 6565（3）电压测量重复性引起的不确定度分量u3 贝塞尔公式计算标准差 算术平均值的标准差 算术均值为测量结果重复性引起的不确定度分量 其自由度 不确定度评定 6666计算合成标准不确定度 根据韦尔奇-萨特思韦特公式，其有效自由度为 由于不确定度分量u1、u2、u3相互独立，它们之间的相关系数为0。根据合成标准不确定度的计算公式得 6767计算扩展不确定度计算扩展不确定度 取置信概率为99%，包含因子 故该电压测量结果的扩展不确定度 测量结果报告 用数字电压表测量该直流电压的结果 计算结果 6868作业：p98 4-1，4-3
