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1、第6章 基于状态空间模型的最优设计方法1、最优控制规律的设计问题 （1）离散二次型函数的最优调节器设计 （2）连续二次型函数的最优调节器设计2、Riccati 方程的求解及加权阵的选择3、状态最优估计器的设计（Kalman 滤波器） （1）Kalman 滤波方程 （2）推广 Kalman 滤波问题 （3）预报 Kalman 滤波问题第四节 控制器的设计一、分离性原理控制对象：（1）最优反馈控制规律（控制器）：（2）离散性能指标：连续性能指标：（3）（4）1、 LQ系统：确定性系统直接状态反馈的最优控制系统。控制对象：（5）LQG系统控制器：（6）2、LQG系统：随机性估计状态反馈的最优控制系统
2、。问题：（1）由上述对象和控制器组成的闭环控制系统是否仍是最优控制系统？（2）如果仍是最优控制系统，使何种性能指标最优？ 可以证明，由（5）（6）两式组成的LQG系统仍然是最优控制系统，它使如下的离散性能指标达到最优：（7）其最小值为：（8）（9）其最小值为：（10）使如下的连续性能指标达到最优其中上述便是著名的分离性原理。（11）由分离性原理，LQG控制器的设计可以分为两个独立的部分：（1）最优控制规律的设计。在设计最优控制规律时，可以将系统看作 确定性系统而不考虑随机的过程干扰何测量噪声，同时认为全部 状态可用于反馈。（2）状态最优估计的计算。考虑随机的过程干扰和测量噪声，状态 最优估计的
3、计算与性能指标中加权矩阵的选择无关。分离性原理的使用：LQ系统与LQG系统的区别：（1）在LQ系统中，考虑的是系统对非零初始条件的响应性能，性能指标 Jd 由无穷多项相加，Jc 是在无穷大区间上积分，但 Jd 和Jc皆为 有限数； 在LQG系统中，考虑的是系统在平稳状态时抗随机干扰和测量噪声的 性能，由于随机干扰和测量噪声的影响，因此在性能指标中 只取 时的一项，在 中只取 时一个采样周期内积分的 平均值。（2）LQ系统考虑的是确定性系统，Jd 和 Jc 表达式中的各量均为确定量； LQG系统考虑的是随机系统，系统中各量均为随机量，因此在性能 指标 和 均取数学期望。LQG 系统闭环极点的分布
4、情况：结合（5）（6）式并整理，得到整个系统的状态方程为：（12）（13）其中从而得到闭环系统的特征方程为：（第二列加到第一列）（第二行减去第一行）（14）其中 为LQ系统的闭环极点。由上节公式（9）（12）得到（15）显然 为状态估计器的极点。因此LQG系统的闭环极点由两部分组成： （1）LQ系统的极点； （2）状态估计器的极点。二、积分控制的引入（PI 控制器的设计）问题的提出： 前面所设计的调节系统的控制器（r(k)=0），其目的在于使系统从非零的初始条件回到零状态时具有满意的响应性能，即所设计的系统对脉冲型干扰具有很好的抑制作用，但对于阶跃或常值干扰，将具有稳态误差。原因分析：控制规律
5、为比例反馈（线性反馈），控制器中没有积分作用。解决方法：控制规律中引入积分作用，设计成PI控制器。设控制对象的离散状态方程为：（16）其中 为阶跃型干扰，即（17）（18）定义各量的差分为：显然，当 时，有 。对式（16）两边取差分得到：（22）（19）（20）令，结合式（19）（21），得到关于z(k)的状态方程：即：（21）其中：（23）设取二次型性能指标为：（24）其中 Q1 是非负定对称阵，Q2 是正定对称阵。假定 是能稳定的，且设 D 为能使 DTD=Q1 成立的任何矩阵，同时假定 是能检测的。式（22）和（24）是标准的最优调节器问题，根据定理1可以求得：（25）（26）（27）由
6、式（25）得到其中是相应的分块矩阵。（28）由式（22）和（24）组成的标准最优调节器问题，由于假设了 是能稳定的， 是能检测的，因此根据定理1，该最优反馈控制系统是渐进稳定的，即从而（29），即系统对常值干扰 无稳态误差。对（28）式两边做求和运算，得到：（30）忽略初始条件x(0)与u(0)，实际控制规律为：（31）可见，u(k)由两部分组成，一部分是状态的比例调节，另一部分是输出量的积分反馈，通常称这样的调节器为PI最优调节器，其结构图如下图所示：Cu(k)+x(k)y(k)+-L2-L1PI调节器图 1采用最优状态估计器（Kalman 滤波）来重构系统的全部状态 后，PI调节器变为：u
7、(k)+y(k)+-L2-L1PI调节器图 2最优估计器控制对象基于二次型性能指标函数设计调节系统PI控制器步骤如下：（1）按式（23）组成矩阵 ；（2）给定二次型性能指标函数，并合适地给定加权矩阵Q1，Q2；（3）针对状态方程式（22），按最优控制设计出控制规律 ；（4）选择最优估计器的类型（预报估计器，现时估计器）；（5）应用 Kalman 滤波公式计算出最优估计器增益矩阵 K ；（6）按图2的结构图组成PI调节器。由第三章的内容可知，引入参考输入后控制器的标准状态方程为：（32）当采用现时的 Kalman 滤波时（相当于现时预报观测器）有：（33）（一）一般跟踪系统第五节 跟踪系统设计当
8、采用一步预报的 Kalman 滤波时有：（34） 根据一般结构控制器标准状态方程，按如下三种方式引入参考输入，增益矩阵 M 和 N 的选择方法如下：1、方式1，即参考输入的引入不影响观测器的状态重构的情况。对于现时 Kalman 滤波器，有（35）对于一步预报的 Kalman 滤波器，有（36）（1） 的选择：（2）N的选择：（37）若对象中包含积分环节，上式简化为：（38）2、方式2，即仅用误差进行控制，此时有（39）3、方式3（只适合单输入/输出系统）： 任意选择M和N，以满足零点配置及静态精度的要求。若给定D1(z)的零点多项式 ，则有由此得到：（40）（41）N值由（37）式或（38）
9、式确定。（二）积分控制的引入问题的提出：系统对脉冲型干扰具有很好的抑制作用，但对于阶跃或常值干扰，将具有稳态误差。原因分析：控制规律为比例反馈（线性反馈），控制器中没有积分作用。解决方法：控制规律中引入积分作用。 由前述积分控制的引入内容（参考图1），不考虑状态估计器，可以得到引入参考输入时相应的跟踪系统的结构图如图3。Cu(k)+x(k)y(k)_L2L1控制器图 3 包含积分控制的跟踪系统结构图ue(k)+_e(k)r(k)根据图3，得到控制器方程为：（49）其中L1和L2仍按第一节介绍的 PI 调节器的方法进行设计。 对于这样的控制器结构，对于常值参考输入以及在常值干扰作用下，均不存在稳态误差。 图5中，仍然要求全部状态直接反馈，这在实际中是不现实的，因此仿照前面类似的方法，通过构造估计器来获得状态重构 ，然后再反馈 ，最后得到包含估计器及积分的控制器结构如图6所示。u(k)+y(k)_L2L1控制器图 4 包含估计器及积分控制的跟踪系统结构图+_e(k)r(k)第六章第45节课结束观测器
