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1、1.2 定积分 如图，阴影部分是由抛物线如图，阴影部分是由抛物线f(x)f(x)x x2 2，直线，直线x x1 1以及以及x x轴所围成的平面图形轴所围成的平面图形问题问题1 1：通常称这样的平面图形为什么？通常称这样的平面图形为什么？ 曲边梯形曲边梯形问题问题2 2：如何求出所给平面图形的面积近似值？如何求出所给平面图形的面积近似值？把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和的面积和 复习回顾复习回顾问题问题3 3：如何更精确地求出阴影部分的面积如何更精确地求出阴影部分的面积S?S? 提示：提示：分割的曲边梯形数目越多，所求的面积越
2、分割的曲边梯形数目越多，所求的面积越精确精确 曲边梯形的面积的解决思路：曲边梯形的面积的解决思路： 利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可可概括概括“分割分割- -取近似取近似- -求和求和- -逼近逼近” ” 的步骤的步骤. .将曲边梯形的底，即将曲边梯形的底，即a ,b进行分割进行分割( (用垂直于用垂直于x轴的直线轴的直线).).第一步第一步 分割；分割；a bxyo取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积. .第二步第二步 取近似；取近似；a bxyo用矩形面积近似用矩形面积近似用矩形面积近似用矩形面积
3、近似小曲边梯形面积小曲边梯形面积小曲边梯形面积小曲边梯形面积底底典型小区域面积典型小区域面积 a bxyo第三步第三步 求和；求和；矩形面积和与曲边梯矩形面积和与曲边梯形面积不相等形面积不相等有误差有误差有误差有误差将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来有的小矩形面积加起来. .第四步第四步 逼近逼近. .当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越近似于曲边梯形面积和越近似于曲边梯形面积. .a bxyo被被积积函函数数被被积积表表达达式式积分上限积分上限积分下限积分下限积积分分变变
4、量量积分和积分和注意：注意： 中中,积分上限是积分上限是_,积分下限是积分下限是_,积分区积分区间是间是_.2 2-2-2-2,2-2,2练一练练一练xaxby0yf(x)xaxb探究点探究点2 2 定积分的几何意义定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义几何意义思考思考1 1 根据定积分的几何意义，根据定积分的几何意义， 的值一定是正数的值一定是正数吗？吗？ 思考思考2 2 试将曲线试将曲线 与直线与直线x=0,x=4,y=0x=0,x=4,y=0所围成的所围成的图形的面积写成定积分的形式图形的面积写成定积分的形式. .提示提示:
5、: 0(x0(x0,40,4) )，由定积分的几何意，由定积分的几何意义知，曲线义知，曲线 与直线与直线x=0,x=4,y=0x=0,x=4,y=0围成图形的围成图形的面积可以用定积分表示为面积可以用定积分表示为例例 说明下列定积分所表示的意义，并根据说明下列定积分所表示的意义，并根据其其意义求出定积分的值意义求出定积分的值. .(1)(1)(2)(2)(3(3) )o1解解（1 1）表示的是图中所示长方形表示的是图中所示长方形的面积，由于这个长方形的面积，由于这个长方形的面积为的面积为2.2.所以所以2o1（2 2）表示的是图中所表示的是图中所示梯形的面积，示梯形的面积，由于这个梯形的面由于
6、这个梯形的面122积为积为 . .所以所以o（3 3）半径为半径为1 1的半圆的面的半圆的面表示的是图中所示表示的是图中所示积，由于这个半圆积，由于这个半圆o1-11的面积为的面积为 . .所以所以【变式练习】【变式练习】说明定积分说明定积分 所表示的意义，并根据其意义所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值求出定积分的值. .解析解析是图中所示三角形的是图中所示三角形的面积之差，面积之差，由于由于表示的表示的所以所以o-1-2224定理定理对定积分的补充规定对定积分的补充规定:定理定理三、三、定积分的性质定积分的性质定理定理补充：不论补充：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式
7、总成立.定理定理 （积分区间的可加性）（积分区间的可加性）abcSacScbS2323思考思考1 1 定积分的性质定积分的性质(3)(3)能推广到多个函数的和或能推广到多个函数的和或差的定积分运算吗？差的定积分运算吗？提示提示: :能能. .推广公式为推广公式为思考思考2 2 定积分的性质定积分的性质(4)(4)能推广到有限个区间上的能推广到有限个区间上的积分和吗？积分和吗？提示提示: :能能. .推广公式为推广公式为 (ac(ac1 1cc2 2cck kb). b). 练一练练一练-1-11.1.设连续函数设连续函数f(x)f(x)在在a, ba, b上恒有上恒有f(x)0,f(x)0,则
8、定积则定积分分 值的符号值的符号( )( )A.A.一定为正一定为正B.B.一定为负一定为负C.C.可能为正也可能为负可能为正也可能为负D.D.不能确定不能确定B B2.2.（20102010福建师大附中高二检测）用福建师大附中高二检测）用S S表示图中阴影部分的表示图中阴影部分的面积，则面积，则S S的值是的值是( )( ) 【解题提示】【解题提示】注意注意 与图中面积的不同与图中面积的不同. .【解析】【解析】选选D.D.根据定积分的几何意义可知，应选根据定积分的几何意义可知，应选D.D.3.3.若若 ( ) ( )（A A）9 9 （B B）12 12 （C C）15 15 （D D）1
9、818【解析】【解析】选选C.C.根据定积分的性质及几何意义可得根据定积分的性质及几何意义可得 =3+4(3-0)=15.=3+4(3-0)=15.5 52 2利用几何意义求定积分 解 函数 y1x在区间0, 1上的定积分是以y1x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形的面积. 因为以y1x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形是一个直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以 首页 例2 三、解答题（三、解答题（6 6题题1212分，分，7 7题题1313分，共分，共2525分）分）6.6.将下图阴影部分的面积用定积分表示出来将下图阴影部分的面积用定积分表示出来. . 【解题提示】【解题提示】利
10、用定积分的几何意义直接求解即可，不能利用定积分的几何意义直接求解即可，不能直接表示出来时，要将图形适当分割，使得可以利用定积分来直接表示出来时，要将图形适当分割，使得可以利用定积分来表示表示. .【解析】【解析】由由y=xy=x2 2和和y=xy=x可得它们的交点为可得它们的交点为(0,0)(0,0)，(1,1)(1,1)，所以，所以图中阴影部分的面积为图中阴影部分的面积为4.4.（1515分）用定积分表示抛物线分）用定积分表示抛物线y=xy=x2 2-2x+3-2x+3与直线与直线y=x+3y=x+3所围成所围成的图形的面积的图形的面积. .【解析】【解析】解方程组解方程组 得交点的横坐标为
11、得交点的横坐标为x=0x=0和和x=3.x=3.如如图，图，由由y=xy=x2 2-2x+3-2x+3、x=0x=0、x=3x=3和和y=0y=0围成的曲边梯形的面积为围成的曲边梯形的面积为 由由y=x+3y=x+3、x=0x=0、x=3x=3和和y=0y=0围成的梯形的面围成的梯形的面积为积为 ，所以所求图形（阴影）的面积为，所以所求图形（阴影）的面积为 若被积函数是分段函数，当分段点在积分若被积函数是分段函数，当分段点在积分区间内时，计算定积分要用定积分对区间的可加性区间内时，计算定积分要用定积分对区间的可加性.说明：说明：例例解解回顾本节课你有什么收获？回顾本节课你有什么收获？1.1.定积分的实质：特殊和式的逼近值定积分的实质：特殊和式的逼近值. .2.2.定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取逼近取逼近精确值精确值定积分定积分3.3.定积分的几何意义及简单应用定积分的几何意义及简单应用. . 如果在胜利前却步，往往只会拥抱失败；如果在胜利前却步，往往只会拥抱失败；如果在困难时坚持，常常会获得新的成功如果在困难时坚持，常常会获得新的成功. .
