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1、数学2.32.3等差数列的前等差数列的前n n项和项和数学 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究数学 自主预习自主预习1.1.掌握等差数列的前掌握等差数列的前n n项和公式项和公式, ,了解推导等差数列前了解推导等差数列前n n项和公式的方法项和公式的方法倒序相加法倒序相加法. .2.2.能够利用等差数列的前能够利用等差数列的前n n项和公式进行有关的计算项和公式进行有关的计算. .3.3.掌握等差数列前掌握等差数列前n n项和的最值问题的解法项和的最值问题的解法. .4.4.掌握等差数列前掌握等差数列前n n项和的性和的性质及其及其应用用. .5.5.理解理解a an n与与S Sn n的关系
2、的关系, ,会利用会利用这种关系解决有关的种关系解决有关的问题. .课标要求课标要求数学知识梳理知识梳理1.1.数列数列aan n 前前n n项和的定义及表示项和的定义及表示一般地一般地, ,我们称我们称a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+an n为数列为数列 a an n 的前的前n n项和项和, ,用用S Sn n表示表示, ,即即S Sn n= = . .3.3.等差数列前等差数列前n n项和的性质项和的性质记等差数列记等差数列 a an n 中中, ,其前其前n n项和为项和为S Sn n, ,则则 a an n 中连续的中连续的n n项之和构成的数列项之和构成的数列S
3、Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n,S,S4n4n-S-S3n3n, ,构成公差为构成公差为n n2 2d d的等差数列的等差数列. .a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+an n数学自我检测自我检测C C1 1.(.(等差数列前等差数列前n n项和公式项和公式) )在等差数列在等差数列 a an n 中中, ,已知已知a a1 1=2,d=2,=2,d=2,则则S S5 5等于等于( ( ) )(A)10(A)10(B)20(B)20(C)30(C)30(D)40(D)40数学B B2.(2.(与等差数列性质结合的前与等差数列性质结合的前n
4、n项和的求法项和的求法) )记在等差数列记在等差数列aan n 中中, ,已知已知a a4 4+a+a8 8=16,=16,则该数列的前则该数列的前1111项和项和S S1111等于等于( ( ) )(A)58(A)58(B)88(B)88(C)143(C)143 (D)176(D)176数学D D解析解析: :因为因为S S2 2,S,S4 4-S-S2 2,S,S6 6-S-S4 4成等差数列成等差数列, ,所以所以S S2 2+(S+(S6 6-S-S4 4)=2(S)=2(S4 4-S-S2 2),),所以所以4+(S4+(S6 6-20)=2(20-4),-20)=2(20-4),所
5、以所以S S6 6=48.=48.故选故选D.D.3 3.(.(等差数列前等差数列前n n项和的性质项和的性质) )记等差数列的前记等差数列的前n n项和为项和为S Sn n, ,若若S S2 2=4,S=4,S4 4=20,=20,则则S S6 6等于等于( ( ) )(A)42(A)42(B)44(B)44(C)46(C)46(D)48(D)48数学答案答案: :-2-24.(4.(等差数列前等差数列前n n项和公式的应用项和公式的应用) )等差数列等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,且且S S3 3=6,a=6,a1 1=4,=4,则公差则公差d=d=.
6、.数学答案答案: :288288 5.(5.(等差数列前等差数列前n n项和公式的应用项和公式的应用) )等差数列等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,若若a a8 8=3,a=3,a1313=13,=13,则则S S2424= =. .数学 课堂探究课堂探究等差数列前等差数列前n n项和的基本运算项和的基本运算题型一题型一数学答案答案: : (1)25 (1)25(2)110(2)110数学题后反思题后反思 a a1 1,n,d,n,d称为等差数列的三个基本量称为等差数列的三个基本量,a,an n和和S Sn n都可以用这三个基本量都可以用这三个基本量来表示来表
7、示, ,五个量五个量a a1 1,n,d,a,n,d,an n,S,Sn n中可知三求二中可知三求二, ,即等差数列的通项公式及前即等差数列的通项公式及前n n项和公项和公式中式中“知三求二知三求二”的问题的问题, ,一般是通过通项公式和前一般是通过通项公式和前n n项和公式联立方程项和公式联立方程( (组组) )求求解解, ,这种方法是解决数列问题的基本方法这种方法是解决数列问题的基本方法, ,在具体求解过程中应注意已知与未知在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用的联系及整体代换思想的运用. .数学答案答案: : (1)A (1)A(2)30(2)30数学【备用例备用例1
8、 1】 已知已知 a an n 是等差数列是等差数列, ,S Sn n为其前为其前n n项和项和, ,nnN N* *,a,a3 3=16,S=16,S2020=20,=20,若若S Sn n=110,=110,则则n=n=. .答案答案: :1010或或1111数学等差数列前等差数列前n n项和的最值问题项和的最值问题 题型二题型二【教师备用教师备用】1.1.等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和公式一定是关于项和公式一定是关于n n的二次函数吗的二次函数吗? ?数学2.2.设等差数列等差数列aan n 的前的前n n项和和为S Sn n则S Sn n的最的最值情况与首情况与首项a
9、a1 1, ,公差公差d d的正的正负性性有什么关系有什么关系? ?提示提示: :a a1 1与与d d的正的正负性性S Sn n的最的最值情况情况a a1 10,d00,d0S S1 1是是S Sn n的最小的最小值a a1 10,d0,d0数列前若干正数列前若干正项或或0 0的和是的和是S Sn n的最大的最大值a a1 10,d00,d0S S1 1是是S Sn n的最大的最大值a a1 100数列前若干数列前若干负项或或0 0的和是的和是S Sn n的最小的最小值数学【例例2 2】 在等差数列在等差数列 a an n 中中, ,若若a a1 1=25,=25,且且S S9 9=S=S1
10、717, ,求求S Sn n的最大值的最大值. .数学题后反思题后反思 求解等差数列求解等差数列aan n 前前n n项和项和S Sn n的最值问题常用方法的最值问题常用方法(1)(1)二次函数法二次函数法: :即先求得即先求得S Sn n的表达式的表达式, ,然后配方然后配方. .若对称轴恰好为正整数若对称轴恰好为正整数, ,则则就在该处取得最值就在该处取得最值; ;若对称轴不是正整数若对称轴不是正整数, ,则应在离对称轴最近的正整数处取得则应在离对称轴最近的正整数处取得最值最值, ,有时有时n n的值有两个的值有两个, ,有时可能为有时可能为1 1个个. .(3)(3)寻求正、负项交替点法
11、寻求正、负项交替点法, ,即利用等差数列的性质即利用等差数列的性质, ,找到数列中正数项与负找到数列中正数项与负数项交替变换的位置数项交替变换的位置, ,其实质仍然是找到数列中最后的一个非正数项其实质仍然是找到数列中最后的一个非正数项( (或非负或非负数项数项),),然后确定然后确定S Sn n的最值的最值. .数学数学【思维激活思维激活】 (2014 (2014高考江西卷高考江西卷) )在等差数列在等差数列 a an n 中中,a,a1 1=7,=7,公差为公差为d,d,前前n n项项和为和为S Sn n, ,当且仅当当且仅当n=8n=8时时S Sn n取得最大值取得最大值, ,则则d d的
12、取值范围为的取值范围为. .数学【备用例备用例2 2】 在等差数列在等差数列 a an n 中中, ,已知已知a a1 1=20,=20,前前n n项和为项和为S Sn n, ,且且S S1010=S=S1515, ,求当求当n n取何值时取何值时, ,S Sn n有最大值有最大值, ,并求出它的最大值并求出它的最大值. .数学数学等差数列前等差数列前n n项和的性质及应用项和的性质及应用题型三题型三【例例3 3】 已知已知 a an n 为等差数列为等差数列, ,前前1010项的和为项的和为S S1010=100,=100,前前100100项的和项的和S S100100=10,=10,求前求
13、前110110项的和项的和S S110110. .数学数学题后反思题后反思 (1)(1)求数列的前求数列的前n n项和有着不同的途径项和有着不同的途径, ,特别是运用一些等差数列特别是运用一些等差数列的性质和等差数列前的性质和等差数列前n n项和的性质使问题解决变得很简单项和的性质使问题解决变得很简单. .数学数学数学数学a an n与与S Sn n的关系及其应用的关系及其应用题型四题型四数学题后反思题后反思 已知已知a an n与与S Sn n的关系的关系, ,求求a an n的步骤的步骤: :(1)(1)当当n2n2时时, ,用用a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1计算得到计算得到a an n; ;(2)(2)当当n=1n=1时时, ,用用a a1 1=S=S1 1计算得到计算得到a a1 1的值的值; ;(3)(3)检验检验(2)(2)中中a a1 1的值是否满足的值是否满足(1)(1)中得到的中得到的a an n, ,若满足若满足, ,则通项公式就是则通项公式就是a an n; ;若若不满足不满足, ,则用分段的形式表示则用分段的形式表示. .数学数学数学点击进入课时作业点击进入课时作业点击进入周练卷点击进入周练卷数学 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
